2025--2026学年广东珠海市第二中学高二下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年广东珠海市第二中学高二下册期中考试数学试题 [含解析]，共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 圆的圆心到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A. B. 5C. 1D. 9
3. 已知是由，，组成的一个三位数，表示为，其中，，，均表示从1到5中的任意数，若以，，为三条边长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数共有（ ）
A. 65个B. 55个C. 47个D. 35个
4. 运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到，，三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为（ ）
A. 72B. 96C. 114D. 124
5. 已知双曲线的两个焦点分别为，，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A. 4B. 3C. 2D.
6. 为了响应国家节能减排的号召，甲、乙两个工厂进行了污水排放治理，已知某月两厂污水的排放量与时间的关系如图所示，下列说法正确的是（ ）
A. 该月内，甲乙两厂中甲厂污水排放量减少得更多
B. 该月内，甲厂污水排放量减少的速度是先快后慢
C. 在接近时，甲乙两厂中乙厂污水排放量减少得更快
D. 该月内存在某一时刻，甲、乙两厂污水排放量减少的速度相同
7. 设，是一个随机试验中的两个事件，且，，PAB=34，则有（ ）
A. 事件、相互独立B. PAB=38
C. D. PABA+B=19
8. 已知函数有且仅有三个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的）
9. 已知等比数列的前项和为，且，，等差数列满足，，下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. ，∃k∈N+，使得D. k=1nakbk=2n2n−3+3
10. 已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A. 函数的极小值点为
B.
C. 若函数有4个零点，则
D. 若，（），则
11. 现有甲、乙、丙、丁四人组成两队传球，其中甲、乙为队，丙、丁为队.已知甲、乙传给队友的概率为，丙、丁传给队友的概率为，且任一传球者会等可能地传球给非队友成员.现从甲开始传球，设传球次数为（，且），则（ ）
A. 传球次后，球在甲手中的概率和在乙手中的概率始终相等
B. 当时，球在乙手中的概率为
C. 传球次后，球在队手中的概率恒为一个常数
D. 设传球次后球在甲手中的概率为，则（）
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 求二项展开式中常数项为______.
13. 把四个球（标号为1～4号），随机放入编号为1～4号的四个盒子中.若球的编号与盒子的编号相同即为一个配对，记为总的配对个数，则______.
14. 已知定义在上的函数，满足，且，则不等式的解集是______
四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或是演算步骤）
15. 已知正项数列的前项和为，且（）.
（1）求证：数列是等差数列.
（2）令，求数列的前项的和最小值.
16. 如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为中点.
（1）判断直线与平面的位置关系，并说明理由.
（2）判断平面与平面是否垂直，如果是，请证明，如果不是，请说明理由.
（3）求直线与平面的距离.
17. 某个抽奖箱设置（）个白球和8个红球，若一次抽取2个球全是红球的概率为.
（1）求的值；
（2）某商场为了促进消费，推出购物优惠活动、消费者购物每满300元可参加一次抽奖（例如消费700元可抽两次），在抽奖箱里每次抽取3个球，每抽到一个红球返现30元：
①假设只抽一次，设取出红球的个数为，求的分布列；
②若该商场同时还推出购物享八五折优惠活动，假设某顾客消费900元，应该选择哪种优惠方式更划算，若某顾客消费1000元呢？
18. 如图，顶点在原点的抛物线的焦点坐标为，点，在上.
（1）求抛物线方程和的值；
（2），为上两点，的重心在直线上.
①证明：直线的斜率为定值；
②设直线与轴交于点，线段的中点为，线段的中点为，过点向直线作垂线，垂足为.证明：点在定圆上运动.
19. 函数
（1）求曲线：在处的切线方程.
（2）设
（ⅰ）当时，恒成立，求实数的取值范围.
（ⅱ）当时，在上的所有零点从小到大依次为，，…，，…求证.
数学
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 圆的圆心到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可.
解答过程：由题意得，即，
则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为.
故选：D.
2. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A. B. 5C. 1D. 9
答案：B
解析：
思路：用等差数列推论公式，若，则
解答过程：因为S9=9a1+a92=9×2a52=9a5=45 ，所以，故a3+a7−a5=2a5−a5=a5=5
3. 已知是由，，组成的一个三位数，表示为，其中，，，均表示从1到5中的任意数，若以，，为三条边长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数共有（ ）
A. 65个B. 55个C. 47个D. 35个
答案：C
解析：
思路：根据题意，分构成等边三角形和非等边等腰三角形，两种情况讨论，结合列举法，即可求解.
解答过程：若构成等边三角形，边长为1到5的三位数共5个，所以有个；
若构成等腰三角形，设腰长为，底边长为，其中且，
当时，，每种对应3个排列，共个；
当时，，每种对应3个排列，共个；
当时，，每种对应3个排列，共个；
当时，，每种对应3个排列，共个；
由分类计数原理得，共有个.
4. 运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到，，三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为（ ）
A. 72B. 96C. 114D. 124
答案：C
解析：
思路：根据题意，先将5人分为三组并分配到各个场地，再计算得出甲乙不在同一个场地的情况即可求解.
解答过程：将5名志愿者分为1，2，2，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，
则不同的安排方法有种.
将5名志愿者分为1，1，3，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，
则不同的安排方法有种.
故不同的安排方法共有种.
故C.
5. 已知双曲线的两个焦点分别为，，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A. 4B. 3C. 2D.
答案：C
解析：
思路：根据双曲线的焦点以及定义求解即可.
解答过程：双曲线的两个焦点为、，焦点在轴上，因此.
设焦点F1(0,−2) ，F2(0,2) ，已知点P(−3,2) 在双曲线上，
则∣PF2∣=(−3−0)2+(2−2)2=3 ，∣PF1∣=(−3−0)2+[2−(−2)]2=9+16=5 ，
因此∣∣PF1∣−∣PF2∣∣=∣5−3∣=2=2a ，得.
所以离心率为.
故选：C.
6. 为了响应国家节能减排的号召，甲、乙两个工厂进行了污水排放治理，已知某月两厂污水的排放量与时间的关系如图所示，下列说法正确的是（ ）
A. 该月内，甲乙两厂中甲厂污水排放量减少得更多
B. 该月内，甲厂污水排放量减少的速度是先快后慢
C. 在接近时，甲乙两厂中乙厂污水排放量减少得更快
D. 该月内存在某一时刻，甲、乙两厂污水排放量减少的速度相同
答案：D
解析：
思路：选项A，结合图象，比较两厂污水排放量减少量即可求解；选项B，由切线倾斜程度的大小比较可得；选项C，在接近时污水排放量减少快慢，可以用在处切线的斜率的大小比较近似代替，比较两曲线在处切线的斜率的绝对值大小即可得；选项D，利用导数的几何意义，存在某一时刻，甲､乙两厂污水排放量的瞬时变化率即切线的斜率相等，则甲､乙两厂污水排放量减少的速度相同.
解答过程：选项A，设ΔW=Wt=0−Wt=t0，
设甲工厂的污水排放量减少为，乙工厂的污水排放量减少为，
结合图像可知：，
所以该月内乙工厂的污水排放量减少得更多，故A错误；
选项B，作出如图所示表示甲厂曲线的条切线可知，
直线的倾斜程度小于的倾斜程度，直线的倾斜程度大于的倾斜程度，
而这说明该月内，甲厂污水排放量减少的速度并非先快后慢，
从图象的变化也可以看出，甲厂污水排放量减少的速度先快再慢后快，故B错误；

选项C，设为接近的时刻且，
从时刻到时刻，污水排放量平均变化率f=Wt=t0−Wt=t1t0−t1，
由导数的定义与几何意义可知，
在接近时，污水排放量减少快慢，可以用在处切线的斜率的大小比较近似代替.
设甲工厂在处切线的斜率为，乙工厂在处切线的斜率为，
结合图象可知，
所以在接近时，甲工厂的污水排放量减少得更快，故C错误；

选项D，如图，利用导数的几何意义，存在时刻，两曲线切线的斜率相等，
即甲､乙两厂污水排放量的瞬时变化率相同，
所以该月内存在某一时刻，甲､乙两厂污水排放量减少的速度相同.
故D正确.
7. 设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则有（ ）
A. 事件、相互独立B.
C. D.
答案：D
解析：
思路：利用独立事件、互斥事件的定义与概率公式即可判断选项A、B，利用条件概率的定义与公式即可判断选项C、D.
解答过程：对于A选项，由可得 PA=1−12=12，PAB=P(AB)P(B)=34⇒P(AB)=14，又，
所以，， 事件、不相互独立，故事件、不相互独立，
所以，选项A错误；
对于B选项，由A选项可知，事件、不相互独立，，
，，
所以，PAB=1−P(A+B)=14，所以，选项B错误；
对于选项C，由B选项可知，，PBA=P(BA)P(A)=11212=16，
所以，选项C错误；
对于选项D，由B选项可知，，，
所以，PABA+B=P(AB)P(A+B)=11234=19，
所以选项D正确.
8. 已知函数有且仅有三个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：令，利用导函数研究其单调性画出图象，将问题转化为一元二次方程的根的问题即可求解.
解答过程：因为有且仅有三个零点，则方程有且仅有三个根，
令，则，
由得；得；
则在单调递增，在上单调递减，则，
因为时；时，且时，
所以的函数图象如图：
因为不是的根，
所以有两个根，其中一个根位于，另一根位于或另一根是，
但方程的两根的乘积为，
所以一个根位于，另一根位于，
则，得，
故的取值范围是.
故选：C
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的）
9. 已知等比数列的前项和为，且，，等差数列满足，，下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. ，，使得D.
答案：BCD
解析：
思路：对于AB,根据题意，求出等比数列以及等差数列的通项公式分析判断，对于C，根据指数函数与一次函数的增长速度分析判断，对于D，根据错位相减法求解判断.
解答过程：设公比为，，则S3=b1(1−q3)1−q=7,S6=b1(1−q6)1−q=63 ，
两式作比得1+q3=9⇒q3=8⇒q=2 ，进而，因此，故选项B正确.
a1=1,a5=b4+1=23+1=9 ，因此公差 ，因此，选项A错误.
bk−ak=2k−1−2k+1 ，指数函数增长速度远快于一次函数，
当时bk−ak→+∞ .因此对任意，总能找到正整数使得，选项C正确.
则2Tn=1×21+3×22+5×23+⋯+2n−32n−1+2n−12n，
所以
，
因此，选项D正确.
10. 已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A. 函数的极小值点为
B.
C. 若函数有4个零点，则
D. 若，（），则
答案：ABC
解析：
思路：求导，利用导数判断的单调性，可以判断A；对于B：根据的单调性分析判断；对于C：根据偶函数性质分析可知：原题意等价于当时，函数和有2个交点，结合图象分析求解；对于D：构建，结合导数可得，结合极值点偏移分析证明.
解答过程：对于A，的定义域为，f′x=2x−2x=2(x+1)(x−1)x，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以是函数的极小值点，A正确；
对于B，令，则，
所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，所以，当且仅当时成立，
所以，又在上单调递减，
所以fln54>f14，B正确；
对于C，令，则，
若函数有4个零点，则函数和有4个交点，
又的定义域为，且，
所以是偶函数，图像关于轴对称，当时，y=fx=f(x) ，
所以原题意等价于当时，函数和有2个交点，
由A选项可知：当时，fxmin=f(1)=1 ，图像如图所示：
所以，C正确；
对于D，设，
则，
所以当时，，单调递增，
则，即，
若，（），不妨设，
则，且，在上单调递增，
所以，即，故D错误.
11. 现有甲、乙、丙、丁四人组成两队传球，其中甲、乙为队，丙、丁为队.已知甲、乙传给队友的概率为，丙、丁传给队友的概率为，且任一传球者会等可能地传球给非队友成员.现从甲开始传球，设传球次数为（，且），则（ ）
A. 传球次后，球在甲手中的概率和在乙手中的概率始终相等
B. 当时，球在乙手中的概率为
C. 传球次后，球在队手中的概率恒为一个常数
D. 设传球次后球在甲手中的概率为，则（）
答案：BC
解析：
思路：根据题意，分别求得甲传给乙、丙、丁的概率，乙传给甲、丙、丁的概率，丙传给甲、乙、丁的概率，丁传给甲、乙、丙的概率，结合选项，利用全概率公式，以及等比数列的性质，逐项求解，即可得到答案.
解答过程：由题意得，甲传给乙、丙、丁的概率分别为，乙传给甲、丙、丁的概率分别为，丙传给甲、乙、丁的概率分别为，丁传给甲、乙、丙的概率分别为，
对于A，当时，球从甲开始传，球在甲手中可分为三种情况：
当甲乙甲，其概率为；当甲丙甲，其概率为；
当甲丁甲，其概率为，所以概率为，
当时，球从甲开始传，球在乙手中时，可分为两种情况：
当甲丙乙，其概率为；
当甲丁乙，其概率为；
所以概率为，两者概率不相等，所以A错误；
对于C，设传球次后，球在队成员手中的概率为，
根据全概率公式，可得是常数，
由选项可知当传球2次后球在队手中的概率为，所以C正确；
对于D，事件：传球次后，球在甲手中；：传球次后，球在乙手中；
：传球次后，球在队队员手中，则，
设次传球后，球在乙手中的概率为，由C项知球在甲手中的概率为，
球在队队员手中时，下一次传球后，有的概率传到乙手中，
根据全概率公式得
，所以，
所以p′n−16是首项为 公比为的等比数列，
可得p'n−16=16⋅(−13)n−1，所以p′n=16+16⋅(−13)n−1=161+−13n−1，
所以传球次后球在甲手中的概率为pn=13−p′n=13−161+−13n−1=161−−13n−1，所以D错误.
对于B，当时，可得p′3=161+−132=527，所以B正确.
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 求二项展开式中常数项为______.
答案：135
解析：
解答过程：依题意，该二项式的通项公式为Tk+1=C6k1x6−k3x2k=3kC6kx−16−kx2k=3kC6kx3k−6，
令，得，故T3=32C62x0=32C62=9×6×52×1=135 .
13. 把四个球（标号为1～4号），随机放入编号为1～4号的四个盒子中.若球的编号与盒子的编号相同即为一个配对，记为总的配对个数，则______.
答案：
解析：
思路：由于表示配对的个数，由题意则可能取：0，1，2，4 ，并利用古典概型随机事件的概率公式及排列数与组合数，求出其分布列，根据期望公式求出所求．
解答过程：由题意可能取：0，1，2，4 ，则
，，
的分布列为：
14. 已知定义在上的函数，满足，且，则不等式的解集是______
答案：
解析：
思路：构造gx=e−xfx−sinx,由条件推出得在单调递减，再利用二倍角公式化简原不等式,整理变形为g2x>gπ，借助单调性得，结合定义域求出解集.
解答过程：已知定义在上的函数满足，
即，两边同乘可得，
观察可知左边为，右边为，
构造辅助函数，
求导得，
所以在上严格单调递减.
对原不等式进行化简可得.
即，再两边同除以，
整理得e−2x[f(2x)−sin2x]>2e−π，则，
又，则，
因此原不等式等价于.
因为在上严格单调递减，所以等价于.
因为定义域，解得，即不等式的解集为.
四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或是演算步骤）
15. 已知正项数列的前项和为，且（）.
（1）求证：数列是等差数列.
（2）令，求数列的前项的和最小值.
答案：（1）证明见解析
（2）解析：
思路：（1）利用的关系式，把转化成关于的递推公式，因式分解，利用等差数列的定义即可证明；
（2）求出的通项公式，利用等差数列的求和公式求出前项和的表达式，利用二次函数的性质，即可求解.
（1）由题意得，Sn=14(an+1)2(n∈N+) ，①
当，得，解得：，
当，得，②
得，Sn−Sn−1=an=14(an+1)2−14(an−1+1)2，
化简得，，进而得到，
，又由为正项数列得，，故有，
，所以，，
故数列是等差数列，又，所以.
（2）由（1）得，，易知为等差数列，
设的前项和为，故有Tn=n−18+2n−202=n2−19n ，
根据二次函数的性质，的对称轴为，
因为为正整数，明显地，取或时，有最小值，
故最小值为，
所以数列前项的和最小值为.
16. 如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为中点.
（1）判断直线与平面的位置关系，并说明理由.
（2）判断平面与平面是否垂直，如果是，请证明，如果不是，请说明理由.
（3）求直线与平面的距离.
答案：（1）平行，理由见解析
（2）不垂直，理由见解析
（3）解析：
思路：（1）取的中点，连接，可证四边形为平行四边形，得，再根据线面平行的判定定理可证；
（2）取的中点，连接，可证平面，得到，利用反证法及面面垂直的性质定理进行说明；
（3）转化为求点与平面间的距离，根据（2）问建立合适空间直角坐标系，根据点面距的向量公式可求出结果.
（1）取的中点，连接，因为为中点，
所以且，
因为，，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面；
（2）取中点，连接，
因为，，所以四边形为平行四边形，
又，所以四边形为矩形，，
因为是以为斜边的等腰直角三角形，所以，
又平面，所以平面，
因为，所以平面，所以，
所以，又，所以不垂直，
又，平面平面，
假设平面与平面垂直，则平面，，
与推出的不垂直相矛盾，所以平面与平面不垂直；
（3）由（2）可知平面，，又平面，
则平面平面，
以为原点建立如上图所示空间直角坐标系，则，
所以，所以 ，
所以，则，
设平面的一个法向量为，
则n⃗⋅BA⃗=−x+y=0n⃗⋅BP⃗=32y+32z=0，取，则，
所以d=n⋅BEn=12+54−345=55，
所以直线与平面的距离为
17. 某个抽奖箱设置（）个白球和8个红球，若一次抽取2个球全是红球的概率为.
（1）求的值；
（2）某商场为了促进消费，推出购物优惠活动、消费者购物每满300元可参加一次抽奖（例如消费700元可抽两次），在抽奖箱里每次抽取3个球，每抽到一个红球返现30元：
①假设只抽一次，设取出红球的个数为，求的分布列；
②若该商场同时还推出购物享八五折优惠活动，假设某顾客消费900元，应该选择哪种优惠方式更划算，若某顾客消费1000元呢？
答案：（1）
（2）①的分布列如下：
②消费元时，选择抽奖优惠的平均返现金额更大，消费元时，选择八五折优惠的平均返现金额更大.
解析：
思路：（1）由古典概型概率公式列方程即可求解；
（2）①先求出随机变量的所有取值，再根据超几何分布求出其概率，从而可求出分布列；②由分布列得到的数学期望，从而得到一次抽奖的期望返现，对于打折和抽奖，分别算出每种情况的优惠，然后对比即可.
（1）由题可得，抽奖箱内共有n+8 个球，一次抽取2个球全是红球的概率为；
即28n+8n+72=415，化简得到，
因为，解得.
（2）①的可能取值为，根据超几何分布的概率公式可得：
PX=0=C80C73C153=1×35455=113；PX=1=C81C72C153=8×21455=2465；
PX=2=C82C71C153=28×7455=2865；PX=3=C83C70C153=56455=865；
则的分布列如下：
②由①知的数学期望为EX=3×815=1.6 ，
则单次抽奖的期望返现为：元，
情况1：消费元
抽奖优惠：每满300 元抽次，可抽次，总期望返现为3×48=144 元，
八五折优惠：节省金额为900×(1−0.85)=135 元，
由于，故消费元时，选择抽奖优惠的方式更划算；
情况2：消费元
抽奖优惠：每满300 元抽次，可抽次，总期望返现仍然为3×48=144 元，
八五折优惠：节省金额为元，
由于，故消费元时，选择八五折优惠的方式更划算.
18. 如图，顶点在原点的抛物线的焦点坐标为，点，在上.
（1）求抛物线方程和的值；
（2），为上两点，的重心在直线上.
①证明：直线的斜率为定值；
②设直线与轴交于点，线段的中点为，线段的中点为，过点向直线作垂线，垂足为.证明：点在定圆上运动.
答案：（1），
（2）①证明见解析②证明见解析
解析：
思路：（1）根据焦点求出，进而得到抛物线方程，将点代入抛物线方程即可求出；
（2）①利用作差法及重心坐标公式证明即可；
②结合①设出直线方程及交点坐标，与抛物线方程联立，结合韦达定理求出点坐标，利用中点坐标公式求出点坐标，即可求出直线方程，求出直线方程恒过定点，结合集合关系即可证出在以为直径的定圆上运动．
（1）解：设抛物线方程为，
抛物线的焦点坐标为，
所以，解得，
因此，抛物线的方程为．
将代入抛物线方程：，又，故．
（2）①设，，
则的重心为，
由题意知，，则．
所以直线的斜率，为定值．
②因为直线的斜率不为零，
所以设直线的方程为．设，．
联立，整理得．
所以Δ=64+16n>0y1+y2=−8y1y2=−4n.
设为的中点，则：
，，
即．
直线与轴交点，，则中点．
由于，所以．
所以．
直线的斜率：，
直线的方程：，整理得.
令，代入方程，解得，
因此，直线经过定点．
因为，于，
所以在以为直径的定圆上．
19. 函数
（1）求曲线：在处的切线方程.
（2）设
（ⅰ）当时，恒成立，求实数的取值范围.
（ⅱ）当时，在上的所有零点从小到大依次为，，…，，…求证.
答案：（1）
（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析
解析：
思路：（1）利用导数的几何意义求切线方程即可；
（2）（ⅰ）求导，分、两种情况，结合最值讨论求解；
（ⅱ）先确定零点位置，通过放缩得，再令，利用导数可得时，，进而得到，再求和即可证明．
（1）解：，，解得，
则函数的定义域为，
，
又，，
所以切线的斜率为，切点坐标为，
切线方程为，即；
（2）（ⅰ），则，
因为，所以，，，
要使恒成立，即在上的最大值小于等于，
因为，
当时，，在上单调递减，
所以，满足恒成立；
当时，令，即，解得，
因为，所以存在，使得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以在处取得最大值，不满足恒成立，
综上，实数的取值范围是；
（ⅱ）证明：，，
令，则，
又，则，
当时，，
所以在上单调递减，则，
即在上无零点，又由的最小正周期为，
则与的函数图像如下：
易知在上分别有零点，
即，又，
则，
令，，
则在上单调递增，，
故时，，又，
所以，
则
．
0
1
2
4