2025--2026学年广东深圳高级中学高二下册期中考试数学试题 [含解析]

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一､单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知等差数列的公差为，若，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
2. 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，则不同排列方式共有（ ）
A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种
3. 若函数的图象与直线相切，则实数（ ）
A. B. 1C. 0D. 2
4. 甲､乙､丙､丁､戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的”从这两个回答分析，5人的名次排列可能的不同情况有（ ）种.
A. 27B. 36C. 54D. 60
5. 甲､乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5.已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率是（ ）
A. B. C. D.
6. 苏轼，字子瞻，号东坡居士，眉州眉山（今四川省眉山市）人，北宋文学家､书法家､画家，历史治水名人.现有苏轼的6本不同诗集全部奖励给3名同学，每人至少分得一本，则共有（ ）种分配方案
A. 90B. 120C. 360D. 540
7. 某次数学测试有8道单选题（4选1）.小王能完整做对其中5道题，剩余3道题中，有2道题有思路，且做对的概率都是0.8，有1道题完全没有思路，且猜对的概率是0.25.从中任选1道题，小王做对该题的概率为（ ）
A. 0.8B. C. D.
8. 已知函数，若恒成立，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知随机变量的分布列如下表所示，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知双曲线的左､右焦点为，点为右支上一动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 双曲线与双曲线有相同的渐近线
B. 若，则的周长为
C. 若，则的面积为2
D. 若为圆上一点，则的最大值为7
11. 牛顿在《流数法》一书中给出了牛顿迭代法：用“作切线”的方法求方程的近似解.步骤如下：设是函数的一个零点，任取作为的初始近似值，曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值.一般地，曲线在点处的切线为，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值.在一定精确度下，用四舍五入法取值，当与的近似值相等时，该近似值即作为函数的一个零点的近似值.对于函数，用该方法近似计算方程的根，取初始近似值为，下列说法正确的是（ ）
A.
B. 直线的方程为
C.
D. 对任意非负整数
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若函数在处取得极值3，则__________.
13. 已知的展开式中的系数为0，则实数的值为__________.
14. 某高级中学举办数学学科周活动，为表彰数学建模比赛中表现优异的同学，学校给高中三个年级共分配9个表彰名额，每个年级至少一个名额.从所有可能的分配方案中随机选择一种，用表示这三个年级中分配的最少名额数，则的数学期望__________.
四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，求函数在区间上的最大值.
16. 已知的二项展开式有项.
（1）求该展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值；
（2）求该展开式中含的项；
（3）求该展开式中系数最大的项.
17. 定义函数为数列的“生成函数”，且．
（1）求的通项公式；
（2）求．
18. 甲､乙两名同学进行做题游戏，甲同学做试题和，乙同学做试题，已知甲同学做对试题的概率为，做对试题的概率为，同时做对试题和的概率为；乙同学做对试题的概率为，且甲､乙两名同学做题结果互相不受影响.
（1）求甲同学做对试题没有做对试题的概率；
（2）求甲同学在没有做对试题的条件下做对试题的概率；
（3）若甲､乙两名同学做对试题的题数之和为，求的分布列.
19. 用表示函数的导函数，若对定义域内任意不相等的两个数，都有成立，则称函数为函数；若对定义域内任意不相等的两个数，都有不等式（或都有不等式）成立，则称函数为函数.
（1）证明：若，则为函数；
（2）若（为自然对数的底数），问是函数还是函数？证明你的结论.
（3）若有两个不同的零点.
（i）求实数的取值范围；
（ii）证明.
数学
满分150分，用时120分钟
一､单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知等差数列的公差为，若，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
答案：B
解析：
解答过程： 由，得，得，
故．
2. 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，则不同排列方式共有（ ）
A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种
答案：D
解析：
思路：利用“元素相邻捆绑法”求解即可.
解答过程：将甲和乙看作一个整体，有种方法，
将甲乙组成的整体与丙、丁、戊进行排列，则有种方法，
根据分步乘法计数原理可得不同的排列方式有：种．
3. 若函数的图象与直线相切，则实数（ ）
A. B. 1C. 0D. 2
答案：B
解析：
思路：设出切点，结合导数的几何意义进行求解即可.
解答过程：设切点为，
由，
，
所以有，
所以切点为，代入中，得.
4. 甲､乙､丙､丁､戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的”从这两个回答分析，5人的名次排列可能的不同情况有（ ）种.
A. 27B. 36C. 54D. 60
答案：C
解析：
思路：首先根据条件得到排列的要求，再按照受限制元素优先的原则，进行排列，即可求解.
解答过程：由条件可知，甲和乙都不是第一名，乙也不是最后一名，
所以先排乙有3种方法，再排甲有3种方法，其他就是全排列种方法，
所以5人的名次排列有种方法.
5. 甲､乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5.已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：甲命中目标记为事件，目标至少被命中1次记为事件，然后根据条件概率公式计算.
解答过程：甲命中目标记为事件，目标至少被命中1次记为事件，则，
，，
所以.
6. 苏轼，字子瞻，号东坡居士，眉州眉山（今四川省眉山市）人，北宋文学家､书法家､画家，历史治水名人.现有苏轼的6本不同诗集全部奖励给3名同学，每人至少分得一本，则共有（ ）种分配方案
A. 90B. 120C. 360D. 540
答案：D
解析：
思路：先分组再分配，利用分步乘法计数原理进行计算.
解答过程：先将6本不同诗集分成3组，可分三种情况：
情况一：按分组：则有种；
情况二：按分组：则有种；
情况三：按分组：则有种；
所以6本不同诗集全部奖励给3名同学共有种分配方案，
故选：D
7. 某次数学测试有8道单选题（4选1）.小王能完整做对其中5道题，剩余3道题中，有2道题有思路，且做对的概率都是0.8，有1道题完全没有思路，且猜对的概率是0.25.从中任选1道题，小王做对该题的概率为（ ）
A. 0.8B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据独立事件的乘法公式以及互斥事件概率的加法公式,计算任一题做对概率.
解答过程：选做完整做对的题目且做对概率,
选做有思路的题目且做对概率,
选做完全没有思路且做对概率,
综上,任选一题能做对概率.
故选:B.
8. 已知函数，若恒成立，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据一次函数和指数型函数的单调性，结合零点的定义、构造函数法，利用导数的性质进行求解即可.
解答过程：因为，且函数和都是上的增函数，
所以要想恒成立，则需函数和的零点相同，
令，
令，
所以，则，
设，则，
当时，在上单调递增，
当时，在单调递减，
故，所以最大值为.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知随机变量的分布列如下表所示，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：AC
解析：
解答过程：对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，因为，故B错误；
对于C，因为，故C正确；
对于D，因为，故D错误.
10. 已知双曲线的左､右焦点为，点为右支上一动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 双曲线与双曲线有相同的渐近线
B. 若，则的周长为
C. 若，则的面积为2
D. 若为圆上一点，则的最大值为7
答案：ABD
解析：
思路：直接求解渐近线方程判断A；结合双曲线的定义求解即可判断B；设，则，结合勾股定理得，再求解面积判断C；根据题意得为双曲线的左焦点，再结合双曲线的定义求解即可．
解答过程：对于A：双曲线，渐近线方程为；
双曲线的渐近线方程为，故A正确；
对于B：由题意得，，
由双曲线的定义得，，
故的周长为，故B正确；
对于C：在右支上，设，则，
因为，所以，解得（负值舍去），
所以的面积为，故C错误；
对于D：圆的圆心的坐标为，半径为1，
易知为双曲线的左焦点；故，
则，
当为线段的延长线与圆的交点时等号成立，
所以的最大值为7，故D正确．
11. 牛顿在《流数法》一书中给出了牛顿迭代法：用“作切线”的方法求方程的近似解.步骤如下：设是函数的一个零点，任取作为的初始近似值，曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值.一般地，曲线在点处的切线为，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值.在一定精确度下，用四舍五入法取值，当与的近似值相等时，该近似值即作为函数的一个零点的近似值.对于函数，用该方法近似计算方程的根，取初始近似值为，下列说法正确的是（ ）
A.
B. 直线的方程为
C.
D. 对任意非负整数
答案：ACD
解析：
思路：根据题意，，，可判断AC；由切线方程判断B；由于，令利用导数求最值.
解答过程：A：函数，，
由牛顿迭代法可知曲线在点处的切线方程为，
令，即可得、，
，故A正确；
B：的方程为，
代入整理得到，故B错误；
C：由牛顿迭代法公式，得，
或通过将代入切线方程中，整理得C正确；
D：对任意非负整数，
作以及切线的图象可知对任意正整数，
故对任意非负整数，
令，
故，
从而，当且仅当时等号成立，故D正确.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若函数在处取得极值3，则__________.
答案：12
解析：
解答过程：因为，所以，
因为函数在处取得极值3，
所以，解得，
检验：当，时，函数，则，
所以当时，，函数在上单调递减，
当或时，，函数在，上单调递增，
所以函数在处取得极大值，
在处取得极小值，
经检验，满足题意，
所以.
13. 已知的展开式中的系数为0，则实数的值为__________.
答案：1
解析：
思路：根据二项式通项公式结合条件即得.
解答过程：，所以展开式中含的项为，
因为展开式中的系数为0，所以，解得.
14. 某高级中学举办数学学科周活动，为表彰数学建模比赛中表现优异的同学，学校给高中三个年级共分配9个表彰名额，每个年级至少一个名额.从所有可能的分配方案中随机选择一种，用表示这三个年级中分配的最少名额数，则的数学期望__________.
答案：
解析：
思路：根据题意，分析三个年级中分配的最少名额数的取值情况，及相应的分配方案数，得到相应的概率，根据数学期望的公式求得的数学期望.
解答过程：若三个年级名额数分别为，则，又每个年级至少一个名额，
所以，相当于9个球分成3份，且每份至少有一个球，即用2个隔板插入8个空，则有种，
由题意，则，且各年级人数为，
其中的情况有一种情况，即，
的情况有､
九种情况，即，所以，
综上，.
四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，求函数在区间上的最大值.
答案：（1）单调递增区间为，单调递减区间为
（2）解析：
思路：（1）将代入，求函数的导数即可求解.
（2）求的导数，令，再由即可求解.
（1）当时，，
令，解得：；令，解得：；
所以的单调递增区间为，单调递减区间为
（2）由得：，
令，解得对恒成立，
在递减，.
16. 已知的二项展开式有项.
（1）求该展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值；
（2）求该展开式中含的项；
（3）求该展开式中系数最大的项.
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）先根据二项式系数和为求出的值,再通过赋值求出多项式各项系数和,最后作比算出两者的比值.
（2）先写出二项展开式的通项公式,整理得到的指数表达式,令指数等于7解出,再把代回通项算出对应项.
（3）沿用已得的通项,取出各项系数构造相邻项系数大小的不等式组,化简不等式求出的取值范围,结合为自然数确定,进而求出系数最大的项.
（1）因为二项展开式有7项，所以，解得.
所以二项式系数和为，
令，得各项系数和为.
因此各项的系数和与各项的二项式系数和的比值为.
（2）由（1）可得展开式通项为.
令，解得.
代入通项得.
故含的项为.
（3）由（1）可得展开式通项为
设第项系数最大，则第项系数为.
列不等式组，即
化简得，解得，又，故.
系数最大的项为.
17. 定义函数为数列的“生成函数”，且．
（1）求的通项公式；
（2）求．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）利用已知条件求出的前项和，再结合数列的性质求出；
（2）先求出，再利用错位相减法求出．
（1）由已知可得，
故的前项和为，
当时，，
当时，，
满足，
．
（2）由可得，
令，则，
则，
，
．
18. 甲､乙两名同学进行做题游戏，甲同学做试题和，乙同学做试题，已知甲同学做对试题的概率为，做对试题的概率为，同时做对试题和的概率为；乙同学做对试题的概率为，且甲､乙两名同学做题结果互相不受影响.
（1）求甲同学做对试题没有做对试题的概率；
（2）求甲同学在没有做对试题的条件下做对试题的概率；
（3）若甲､乙两名同学做对试题的题数之和为，求的分布列.
答案：（1）
（2） （3）分布列见解析
解析：
思路：（1）利用事件拆分原理，把做对试题拆分为做对且做对、做对且做错两个互斥事件，用做对的总概率减去两题都做对的概率，直接求出做对却做错的概率.
（2）先由互斥事件概率公式求出做错且做对的概率，再算出做错试题的对立事件概率，代入条件概率公式，用交集概率除以条件事件概率算出对应条件概率值.
（3）先逐一算出甲做对题、题、题的概率，确定随机变量的所有取值，再结合乙做题的固定概率，分类枚举甲乙答对题目数量的组合情况，分别算出每个取值对应的概率，进而列出分布列.
（1）设甲同学做对试题为事件，甲同学做对试题为事件.
由题设可知，
所以，所以甲同学做对试题没有做对试题的概率为
（2）由题设可知.
又，所以.
故.
（3）根据题意甲做对题概率为.
甲做对一题的概率为
分析可得
（甲乙）
（甲乙或甲乙）
（甲乙或甲乙）
（甲乙）
可得的分布列为
19. 用表示函数的导函数，若对定义域内任意不相等的两个数，都有成立，则称函数为函数；若对定义域内任意不相等的两个数，都有不等式（或都有不等式）成立，则称函数为函数.
（1）证明：若，则为函数；
（2）若（为自然对数的底数），问是函数还是函数？证明你的结论.
（3）若有两个不同的零点.
（i）求实数的取值范围；
（ii）证明.
答案：（1）证明见解析
（2）是函数，证明见解析
（3）（i）（ii）证明见解析
解析：
思路：（1）求出、根据函数定义可得答案；
（2）根据可证明是函数；
（3）法1，（i）转化为有两个不同的解等价于直线与函数的图象有两个不同交点，利用导数判断出的单调性结合图象可得答案；（ii）由题意，由（2）知，得且两式相乘得证.法2（i）利用导数判断出的单调性求出最小值可得答案；（ii）不妨设，即证，根据在上单调递减只需证，构造，再利用导数判断出的单调性求出最值可得答案.
（1）由可得，
因，而，
即成立，
故为函数；
（2）是函数.证明如下：
因.要证明，即证.
不妨设，只需证，
令，则需证.
考虑函数，
，
则函数为上的增函数，
当时，，即
∴函数是函数；
（3）法1，
（i）有两个不同的零点等价于
方程有两个不同的解.
又.令，则.
因为函数是上的增函数，
所以有两个不同的解等价于直线与函数的图象有两个不同交点.
，当时，；当时，.
则在上单调递减，在上单调递增.故.
当时，时，.
故若直线与函数的图象有两个不同交点，
则.
又因为，是上的增函数，
故得，故实数的取值范围为.
（ii）由题意，则.
由（2）知，
故且两式相乘得：
，故得证.
法2
（i）函数的定义域为.
对求导得.
令，即，解得.
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增.
由上述单调性可知，在处取得极小值，也是最小值为.
当时，，当时，.
因为函数有两个零点，故只需，解得.
故的取值范围是.
（ii）不妨设，要证，即证.
因为在上单调递减，所以只需证.
又因为，所以只需证，
即证，令，
对求导，得
令，，
对求导得，
所以在上单调递增.
，故.
故在上单调递增，.
即，所以，所以，
即.
1
2
4
5
0.2
0.35
0.3
1
2
4
5
0.2
0.35
0.3
0
1
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0.15
0.35
0.35
0.15