2025--2026学年广东东莞市东莞中学高二下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年广东东莞市东莞中学高二下册期中考试数学试题 [含解析]，共44页。试卷主要包含了 已知函数，则， 随机变量X的分布列为， 函数的大致图象为， 若，且，则实数值为， 若函数等内容，欢迎下载使用。
一､单选题（每小题5分，共40分，请将答案填涂在答题卡相应位置）
1. 已知函数，则（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
2. 随机变量X的分布列为：
则（ ）
A. B. C. D.
3. 把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现正面”为事件B，则等于（ ）
A. B. C. D.
4. 函数的大致图象为（ ）
A. B. C. D.
5. 若，且，则实数值为（ ）
A. B. C. 或D. 或
6. 如图所示的五个区域中，现在要求在五个区域中涂色，现有四种颜色可供选择要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为（ ）
A. 64B. 72C. 84D. 96
7. 若函数（）在区间上单调递增，则实数的值可能是（ ）
A. B. C. 2D. 3
8. 将杨辉三角中的每一个额钱都换成得到如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形.莱布尼茨三角形具有很多参的性质，如从第行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果，那么下面关于莱布尼茨三角形的结论错误的是（ ）
A. 第行第个数是
B. 当是偶数时，中间的一项取得最小值，当是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最小值
C.
D.
二､多选题（每小题有两个或三个正确答案，每小题全部选择正确得6分，部分选对得部分分，错选或不选得0分，共18分，请将答案填涂在答题卡相应位置）
9. 已知函数，则（ ）
A. 有两个极值点
B. 当时，
C. 的零点个数为3
D. 不等式的解集为且
10. 为弘扬我国古代的“六艺”文化，某中学计划开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门校本课程，每月一门，连续开设六个月，则下列说法正确的是（ ）
A. 若学生甲和乙各自从中任选2门，则他们共有225种不同的选法
B. 若课程“乐”排在“书”前面，则课程共有240种排法
C. 若课程“射”“御”排在不相邻两个月，则课程共有480种排法
D. 若课程“数”不排在第一个月，课程“礼”不排在第六个月，则课程共有504种排法
11. 牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法一牛顿法.首先，设定一个起始点，如图，在处作图象的切线，切线与轴的交点横坐标记作：用替代重复上面的过程可得；一直继续下去，可得到一系列的数，，，…，，…在一定精确度下，用四舍五入法取值，当，近似值相等时，该值即作为函数的一个零点.若要求的近似值(精确到0.1)，我们可以先构造函数，再用“牛顿法”求得零点的近似值，即为的近似值，则下列说法正确的是（ ）
A. 对任意，
B. 若，且，则对任意，
C. 当时，需要作2条切线即可确定的值
D. 无论在上取任何有理数都有
三､填空题（每小题5分，共15分.请将答案填写在答题卡相应位置）
12. 某批产品来自 A、B两条生产线，A生产线占60%，次品率为4%；B生产线占40%，次品率为5%.现随机抽取一件进行检测，抽到的是次品的概率是________.
13. 除以1000，所得余数为______．
14. 已知函数有两个零点，则实数的取值范围是______．
四､解答题（本大题共5小题，共77分.请将答案填写在答题卡相应位置）
15. 已知函数.
（1）求函数在处的切线方程；
（2）求函数的单调区间和极值.
16. 已知的展开式的二项式系数和为.
（1）求的值；
（2）求展开式中的含有的项；
（3）求展开式中系数的绝对值最大的项.
17. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明.
18. 已知函数.
（1）若，，求实数a的取值集合；
（2）设，
（i）对任意正整数n，证明：函数有唯一的零点（记零点为）；
（ii）证明.
19. 十八世纪英国数学家布鲁克•泰勒提出了著名的泰勒公式，该公式利用了多项式函数曲线来逼近任意一个原函数曲线，该公式在近似计算.函数拟合、计算机科学上有着举足轻重的作用.如下列常见函数的阶泰勒展开式为：
，
，
，
其中，读作的阶乘.
这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性，比如用计算器计算，得到的值约为，用泰勒展开式前三项计算得到.
（1），，，比较的大小;
（2）当时，证明：；
（3）设，是否存在区间，使得的定义域为时，值域也为？若存在，求出所有的区间.
数学
一､单选题（每小题5分，共40分，请将答案填涂在答题卡相应位置）
1. 已知函数，则（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
答案：D
解析：
思路：求出的解析式，代入数据，即可得答案.
解答过程：由题意得，所以.
2. 随机变量X的分布列为：
则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：利用分布列的性质计算即可求解.
解答过程：由题意可得，解得，
所以.
故选：C.
3. 把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现正面”为事件B，则等于（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：应用独立事件概率乘积公式计算再根据条件概率公式计算求解.
解答过程：第一次出现正面的概率是，
第一次出现正面且第二次也出现正面的概率是，
则．
故选：A.
4. 函数的大致图象为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：m函数值的正负排除D，求出导函数确定函数的单调性，用排除法得正确结论．
解答过程：，当时，，，排除D．
则，
单调递减，单调递增，排除C，
故选：A.
5. 若，且，则实数值为（ ）
A. B. C. 或D. 或
答案：C
解析：
思路：利用赋值法即可求解.
解答过程：取，则，
取，则，因此，解得或，
故选：C
6. 如图所示的五个区域中，现在要求在五个区域中涂色，现有四种颜色可供选择要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为（ ）
A. 64B. 72C. 84D. 96
答案：B
解析：
解答过程：根据题意可知需要5步才能涂完，
第一步，涂区域，共有4种颜色可选；第二步，涂区域，共有3种颜色可选；
第三步，涂区域，共有2种颜色可选；
第四步，涂区域，
若和同色时，则第五步区域有2种颜色可选，
若和不同色时，区域只有一种颜色可选，则第五步区域有1种颜色可选，
利用分类加法和分步乘法计数原理可知共有种.
7. 若函数（）在区间上单调递增，则实数的值可能是（ ）
A. B. C. 2D. 3
答案：A
解析：
思路：将问题转化为在上恒成立，参变分离即可求解.
解答过程：由题可得，因为函数（）在区间上单调递增，
则在上恒成立，即在区间上恒成立，
令，在区间上单调递增，
要使恒成立，则不大于在此区间上的最小值，即，
结合选项可知实数的值可能是,故A正确.
8. 将杨辉三角中的每一个额钱都换成得到如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形.莱布尼茨三角形具有很多参的性质，如从第行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果，那么下面关于莱布尼茨三角形的结论错误的是（ ）
A. 第行第个数是
B. 当是偶数时，中间的一项取得最小值，当是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最小值
C.
D.
答案：D
解析：
思路：利用莱布尼茨三角形的定义可判断A选项；利用二项式系数的最值可判断B选项；利用组合数的性质可判断C选项；利用莱布尼兹三角形的性质可判断D选项.
解答过程：对于A选项，由题意可知第行第个数是，A对；
对于B选项，当是偶数时，中间的一项的二项式系数最大，此时中间的一项取得最小值取得最小值，
当是奇数时，中间的二项式系数相等且取到最大值，则中间的两项相等，且同时取得最小值，B对；
对于C选项，因为，故，C对；
对于D选项，由于每一个数均等于其“脚下”两个数之和，
则，D错.
故选：D.
二､多选题（每小题有两个或三个正确答案，每小题全部选择正确得6分，部分选对得部分分，错选或不选得0分，共18分，请将答案填涂在答题卡相应位置）
9. 已知函数，则（ ）
A. 有两个极值点
B. 当时，
C. 的零点个数为3
D. 不等式的解集为且
答案：AD
解析：
解答过程：，由，解得，
由，解得或，
所以在和上单调递减，在区间上单调递增，
所以，分别为的极小值点和极大值点，
则有两个极值点，故A正确；
因为，所以，
根据在区间上单调递增，所以，故B错误；
，，，
结合的单调性，作出的大致图象，由下图可知，有两个零点，故C错误；
结合图象可知不等式的解集为且，故D正确．
10. 为弘扬我国古代的“六艺”文化，某中学计划开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门校本课程，每月一门，连续开设六个月，则下列说法正确的是（ ）
A. 若学生甲和乙各自从中任选2门，则他们共有225种不同的选法
B. 若课程“乐”排在“书”前面，则课程共有240种排法
C. 若课程“射”“御”排在不相邻两个月，则课程共有480种排法
D. 若课程“数”不排在第一个月，课程“礼”不排在第六个月，则课程共有504种排法
答案：ACD
解析：
思路：利用组合数的公式可判断A，利用定序相除可判断B，利用插空法可判断C，分情况讨论可判断D.
解答过程：学生甲和乙各自从中任选2门，则他们共有种不同的选法，A正确；
课程“乐”排在“书”前面，可得课程共有种排法，B错误；
课程“射”“御”排在不相邻两个月，通过插空法，先排好其他的4门课程，有5个空位可选，在其中任选2个，安排课程“射”“御”共有种排法，C正确；
课程“数”不排在第一个月，课程“礼”不排在第六个月，利用分类加法计数原理，当“数”在第六个月时共有种；
当“数”既不在第一个月也不在第六个月时，共有种，
故课程“数”不排在第一个月，课程“礼”不排在第六个月，课程共有种排法，D正确．
故选：ACD
11. 牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法一牛顿法.首先，设定一个起始点，如图，在处作图象的切线，切线与轴的交点横坐标记作：用替代重复上面的过程可得；一直继续下去，可得到一系列的数，，，…，，…在一定精确度下，用四舍五入法取值，当，近似值相等时，该值即作为函数的一个零点.若要求的近似值(精确到0.1)，我们可以先构造函数，再用“牛顿法”求得零点的近似值，即为的近似值，则下列说法正确的是（ ）
A. 对任意，
B. 若，且，则对任意，
C. 当时，需要作2条切线即可确定的值
D. 无论在上取任何有理数都有
答案：BCD
解析：
思路：利用特殊情况判断选项A；求出曲线在处的切线方程与轴的交点横坐标，即可判断选项B；求出，，即可判断选项C、D
解答过程：A，因为，则，
设，则切线方程为，
切线与轴的交点横坐标为，所以，故A错误；
B，处的切线方程为，
所以与轴的交点横坐标为，故B正确；
C，因为，，
所以两条切线可以确定的值，故C正确；
D，由选项C可知，，所以无论在上取
任何有理数都有，故D正确.
故选：BCD
三､填空题（每小题5分，共15分.请将答案填写在答题卡相应位置）
12. 某批产品来自 A、B两条生产线，A生产线占60%，次品率为4%；B生产线占40%，次品率为5%.现随机抽取一件进行检测，抽到的是次品的概率是________.
答案：
解析：
解答过程：设“抽到的产品来自生产线”， “抽到的产品来自生产线”， “抽到的产品是次品”，
则．
13. 除以1000，所得余数为______．
答案：
解析：
思路：利用二项式定理展开即可求解．
解答过程：因为，
显然，展开式中从第二项开始都是1000的倍数，
所以它除以1000后余数为1．
故．
14. 已知函数有两个零点，则实数的取值范围是______．
答案：或
解析：
思路：函数的零点等价两个函数的交点，利用导数求出的单调性并作图象，求与的切点，根据图象即可求出符合题意的的取值范围.
解答过程：因为函数有两个零点，则有两个根，即与两个函数有两个交点.
，，则函数在上单调递减，在上单调递增.当；时，，则图象如图
设与的切点为，
则，，得或.
当或时，与有两个公共点；
故或.
四､解答题（本大题共5小题，共77分.请将答案填写在答题卡相应位置）
15. 已知函数.
（1）求函数在处的切线方程；
（2）求函数的单调区间和极值.
答案：（1）
（2）单调增区间为，，单调减区间为；极大值为，极小值为.
解析：
思路：（1）利用导数求出切线的斜率，即可写出切线方程；
（2）利用列表法求出单调区间和极值.
（1）函数的定义域为R.
导函数.
所以，，
所以函数在点处的切线方程为，即.
（2）令，解得：或.列表得：
所以函数的单调增区间为，；单调减区间为；
的极大值为，极小值为.
16. 已知的展开式的二项式系数和为.
（1）求的值；
（2）求展开式中的含有的项；
（3）求展开式中系数的绝对值最大的项.
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）利用二项式系数和公式，结合已知二项式系数和为64，直接解方程求出参数的值.
（2）先写出二项展开式的通项公式并化简幂次，令的指数等于3求出，再将代入通项公式，计算得出含的项.
（3）沿用通项公式，取系数的绝对值构造相邻两项的大小不等式组，约去阶乘化简不等式，求出的取值范围，再根据为自然数确定取值，最后代入通项求出系数绝对值最大的项.
（1）二项式系数和为，由题意得，解得.
（2）展开式通项为.
令，得.
故含的项为.
（3）由（2）可得展开式通项为.
设第项系数的绝对值最大，则第项系数的绝对值为.
列不等式组，即6!r!(6−r)!⋅2r≥6!(r−1)!(6−r+1)!⋅2r−16!r!(6−r)!⋅2r≥6!(r+1)!(6−r−1)!⋅2r+1.
化简得2(7−r)r≥1r+12(6−r)≥1，解得，又，故.
系数绝对值最大的项为.
17. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明.
答案：（1）见解析；（2）见解析.
解析：
思路：（1）先求函数导数，再根据导函数符号的变化情况讨论单调性：当时，，则在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减.
（2）证明，即证，而，所以需证，设g（x）=lnx-x+1 ，利用导数易得，即得证.
解答过程：（1） 的定义域为（0，+），.
若a≥0，则当x∈（0，+）时，，故f（x）在（0，+）单调递增.
若a＜0，则当时，时；当x∈时，.
故f（x）在单调递增，在单调递减.
（2）由（1）知，当a＜0时，f（x）在取得最大值，最大值为.
所以等价于，即.
设g（x）=lnx-x+1，则.
当x∈（0,1）时，；当x∈（1，+）时，.所以g（x）在（0,1）单调递增，在（1，+）单调递减.故当x=1时，g（x）取得最大值，最大值为g（1）=0.所以当x＞0时，g（x）≤0.从而当a＜0时，，即.
方法提示：利用导数证明不等式的常见类型及解题策略：（1）构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.
（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
18. 已知函数.
（1）若，，求实数a的取值集合；
（2）设，
（i）对任意正整数n，证明：函数有唯一的零点（记零点为）；
（ii）证明.
答案：（1）
（2）证明见解析
解析：
思路：（1）求导，根据函数的单调性求解函数的最值，即可得解.
（2）（i）根据导数，结合分类讨论，可得的单调性，即可求解零点，
（ii）先构造函数由导数证明不等式,进而利用该不等式以及，结合对数的运算性质即可求解.
（1）由可得，
记，则，
当时，此时在上单调递增，当时，此时在上单调递减，
故当时，取到最大值，且最大值为，故，
实数a的取值集合为.
（2）（i）证明：则，
当时，由得，此时无零点，不符合题意，
当时，单调递增，
由于，，
故在有唯一的零点，
综上可知：对任意正整数n，证明：函数有唯一的零点，
（ii）设，，
则当时，，在单调递减，
当时，在单调递增，
故，故当且仅当时取等号，
由得，
故，
所以，则，
又因为，所以
即，
再由可得，当且仅当时取等号，
由得，
，即，则，
当且仅当时取等号，
当时，
，
由得，
所以，
故，
则,当且仅当时取等号，
19. 十八世纪英国数学家布鲁克•泰勒提出了著名的泰勒公式，该公式利用了多项式函数曲线来逼近任意一个原函数曲线，该公式在近似计算.函数拟合、计算机科学上有着举足轻重的作用.如下列常见函数的阶泰勒展开式为：
，
，
，
其中，读作的阶乘.
这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性，比如用计算器计算，得到的值约为，用泰勒展开式前三项计算得到.
（1），，，比较的大小;
（2）当时，证明：；
（3）设，是否存在区间，使得的定义域为时，值域也为？若存在，求出所有的区间.
答案：（1）
（2）证明见解析 （3）存在，.
解析：
思路：（1）根据题意中常见函数的阶泰勒展开式，即可比较的大小；
（2）构造函数，求导，根据函数单调性，即可得证；
（3）由题知，，当时，显然成立，当真包含于时，结合函数单调性可得，即可判断此时不存在符合条件的区间，然后下结论即可.
（1）由题知，用泰勒展开式前三项计算，
则，
又，
，
所以.
（2）设，，
则，
所以在上单调递增，
所以，所以；
设，，
则，
令，，则在上单调递增，
令，，则在上单调递减，
又，，
所以，即，
综上，.
（3）易知，，
当时，显然成立；
当真包含于时，若，则函数最小值应大于，故，
则函数最大值小于，于是，因此.
同理，若，也能得到.
所以函数在区间上单调递减，
所以，于是，
变形有，
又函数在区间上为单调递增函数，且为奇函数，
故，所以可以化为，
由（2）可以知道没有两个解，
此时不存在区间满足条件.
综上所述，符合条件的区间只有.
X
1
2
3
P
a
X
1
2
3
P
a
x
1
3
+
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增