2025--2026学年广东阳江市第三中学高二下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年广东阳江市第三中学高二下册期中考试数学试题 [含解析]，共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.)
1. 抛物线的焦点坐标是（ ）
A. B. C. D.
2. 记为等差数列的前n项和，若，，则（ ）
A. 11B. 9C. 8D. 5
3. 已知是等比数列的前项和，若，，则（ ）
A. 127B. 63C. D.
4. 等差数列的前项和为，满足，则（ ）
A. B.
C. D. 均为的最大值
5. 在曲线上的点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
6. 5名同学站成一排拍照，其中甲、乙两人必须相邻，则不同排法种数为（ ）
A. 24B. 48C. 72D. 96
7. 在等比数列中，，是函数的极值点，则（ ）
A. B. 3C. D.
8. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ）
A. B. 3C. D. 4
二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)
9. 已知等比数列的公比为，前项和为，若，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知函数，则（ ）
A. 有两个极值点
B. 有一个零点
C. 点是曲线的对称中心
D. 直线是曲线的切线
11. 若函数与函数的图象关于y轴对称，则（ ）
A. 与有相同的零点B. 为偶函数
C. 与有相同的极值点D. 对任意的，都有
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 若直线与曲线有且仅有一个公共点，则__________.
13. 将10个数从小到大排列，若这列数成等差数列，且所有奇数项的和为30，所有偶数项的和为40，则这列数的中位数等于__________.
14. 若函数有两个极值，则实数的取值范围为__________.
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.）
15. 已知，在处的切线与垂直，
（1）求实数a的值；
（2）求在区间上的值域．
16. 从等人中选出人排成一排.
（1）三人不全在内，有多少种排法？
（2）都在内，且必须相邻，与都不相邻，都多少种排法？
（3）不允许站排头和排尾，不允许站在中间（第三位），有多少种排法？（列式并用数字作答）
17. 设为等差数列的前项和，已知，.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，为数列的前项和，求.
18. 已知数列，，．
（1）求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
19. 设函数．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，．
数学
使用时间：2026年4月28日
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.)
1. 抛物线的焦点坐标是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：抛物线方程为，标准形式：，可得，解得，焦点坐标为.
2. 记为等差数列的前n项和，若，，则（ ）
A. 11B. 9C. 8D. 5
答案：A
解析：
解答过程：等差数列中，由，得，即，解得，
而，则公差，所以.
3. 已知是等比数列的前项和，若，，则（ ）
A. 127B. 63C. D.
答案：C
解析：
解答过程：设等比数列的公比为，则，
所以（舍去），
所以
4. 等差数列的前项和为，满足，则（ ）
A. B.
C. D. 均为的最大值
答案：C
解析：
思路：根据条件可得，，根据等差数列的求和公式，分析即可得答案.
解答过程：由题意，
所以．故C正确．
无法判断的正负，故A、B、D错误.
5. 在曲线上的点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
解答过程：，，
所以过点的切线方程为：，即.
6. 5名同学站成一排拍照，其中甲、乙两人必须相邻，则不同排法种数为（ ）
A. 24B. 48C. 72D. 96
答案：B
解析：
思路：应用捆绑法计算求解.
解答过程：将甲、乙视为一个整体，与其他3人共同组成4个“单位”，这4个单位的排列数为.
由于甲、乙两人内部可以互换位置，需额外乘以2，因此总排列数为.
7. 在等比数列中，，是函数的极值点，则（ ）
A. B. 3C. D.
答案：D
解析：
思路：对函数求导，根据极值点及根与系数关系得，再由等比数列的性质有，，即可得.
解答过程：由，则，
因为在等比数列中，是函数的极值点，
所以，故，且，
故，故.
故选：D
8. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ）
A. B. 3C. D. 4
答案：C
解析：
解答过程：设直线与曲线、曲线分别相切于点，，
设，则，，，
则，所以，即.
因为，
所以.
二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)
9. 已知等比数列的公比为，前项和为，若，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：BD
解析：
思路：利用题设等式进行等比数列的基本量运算，求得，代入公式即可一一判断.
解答过程：依题，，解得故A错误，B正确；
则，，故C错误，D正确.
故选：BD.
10. 已知函数，则（ ）
A. 有两个极值点
B. 有一个零点
C. 点是曲线的对称中心
D. 直线是曲线的切线
答案：BC
解析：
思路：利用导数y与零点存在性定理求解三次函数的极值点，零点，对称中心，切线问题.
解答过程：选项A：则恒成立，故单调递增，故不存在两个极值点，故选项A错误.
选项B:又单调递增，故有一个零点，故选项B正确，
选项C：故点是曲线的对称中心，故选项C正确，
选项D：令，即，
令，则令，
则
当则当切线斜率为切点为则切线方程为：与不相等，
当时同样切线方程不为，故选项D错误.
故选：BC.
11. 若函数与函数的图象关于y轴对称，则（ ）
A. 与有相同的零点B. 为偶函数
C. 与有相同的极值点D. 对任意的，都有
答案：ABD
解析：
思路：利用对称性求出，求出零点判断A；确定奇偶性判断B；求出极值点判断C；借助单调性及偶函数性质推理判断D.
解答过程：由函数与函数的图象关于y轴对称，得，
对于A，由，得，由，得，则与有相同的零点，A正确；
对于B，，则，
为偶函数，B正确；
对于C，由，求导得，当时，，当，，
函数有唯一极值点，由，求导得，当时，，
当，，函数有唯一极值点，C错误；
对于D，令，函数都是上的增函数，
则是上的增函数，当时，，则，
由为偶函数，得当时，，因此，都有，D正确.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 若直线与曲线有且仅有一个公共点，则__________.
答案：
解析：
思路：联立方程组得到，再结合题意建立方程，求解参数即可.
解答过程：联立方程组，可得，
因为直线与曲线有且仅有一个公共点，
所以，解得.
故
13. 将10个数从小到大排列，若这列数成等差数列，且所有奇数项的和为30，所有偶数项的和为40，则这列数的中位数等于__________.
答案：7
解析：
解答过程：，
所以，所以这列数的中位数等于
14. 若函数有两个极值，则实数的取值范围为__________.
答案：
解析：
思路：先确定函数的定义域，再求出函数的导数，根据导数与极值点关系计算即可.
解答过程：函数的定义域为，
，
函数在有两个极值，
在有两个不相等的实数根，
即在有两个不相等的实数根，
令，对称轴为，
要使在有两个不相等的实数根，
则需满足，解得，
综上，实数的取值范围为.
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.）
15. 已知，在处的切线与垂直，
（1）求实数a的值；
（2）求在区间上的值域．
答案：（1）2 （2）
解析：
思路：（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，根据两直线垂直的性质即可求得a的值；
（2）利用求导，判断函数的单调性，结合给定区间即可求得函数的值域.
（1）由求导得，
则在处的切线的斜率为，因切线与垂直，
故，解得.
（2）由（1）可得 ，
因，则当时，，当时，，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
又，
因,即,
故在区间上的值域为.
16. 从等人中选出人排成一排.
（1）三人不全在内，有多少种排法？
（2）都在内，且必须相邻，与都不相邻，都多少种排法？
（3）不允许站排头和排尾，不允许站在中间（第三位），有多少种排法？（列式并用数字作答）
答案：（1）1800
（2）144 （3）1560
解析：
思路：（1）根据全排列，去掉在内的情况即可由排列和组合求解，
（2）根据相邻和不相邻问题，利用捆绑法和插空法即可求解，
（3）分四类情况即可求解.
（1）从7人中任选5人排列共有种不同排法，三人全在内有种不同排法，
由间接法可得三人不全在内共有种不同排法；
（2）因A，B，C都在内，所以只需从余下4人中选2人有种不同结果，A，B必须相邻，有种不同排法，
由于C与A，B都不相邻，先将选出的2人进行全排列共有种不同排法，再将A、B这个整体与C插入到选出的2人所产生的3个空位中有种不同排法，
由乘法原理可得共有种不同排法；
（3）分四类：第一类：所选的5人无A、B，共有种排法；
第二类：所选的5人有A、无B，共有种排法；
第三类：所选的5人无A、有B，共有种排法；
第四类：所选的5人有A、B，若A排中间时，有种排法，
若A不排中间时，有种排法，共有种排法；
综上，共有1560种不同排法.
17. 设为等差数列的前项和，已知，.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，为数列的前项和，求.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）利用等差数列通项公式及前项公式列出方程组解出等差数列的首项和公差即可；
（2）先求出数列的通项公式，然后利用裂项相减法求和，可求出的值.
（1）等差数列中，，，
，解得，，
.
（2），，
.
18. 已知数列，，．
（1）求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
答案：（1）证明见解析，
（2）解析：
思路：(1)通过配凑可得到；(2)依据数列的特征，用错位相减法即可求得.
（1），且
因此，是以为首项，为公比的等比数列
（2）由（1）：，因此
令
两式相减得：
所以，.
19. 设函数．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，．
答案：（1）当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增；
（2）证明见解析.
解析：
思路：（1）先求出导函数，再对分情况讨论，分别求出函数的单调区间；
（2）由（1）可知当时，的最小值为，令，利用导数得到的最小值为，
所以，即证得.
（1）函数的导数为，
当时，恒成立，故，所以在上单调递增；
当时，令 ，得.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
综上所述：当时，在上单调递增；当时，在单调递减，在单调递增.
（2）由（1）知，当时，在处取得最小值，
因此，对任意，有.
只需证明 ，即
令，.
求导得，
，故在上单调递增.
由知，当时，，当时，，
所以在单调递减，在单调递增.
所以在处取得最小值.
因此，即成立，等号当且时取得.