广东省阳江市第三中学2025-2026学年高二上学期开学数学试题 (原卷版+解析版)含答案解析

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一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【详解】因为集合是所有非正整数组成的集合，所以．
2．已知是定义在上的偶函数，那么的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D 【详解】因为是定义在上的偶函数，所以，解得，所以定义域为又，所以，所以，又，所以，所以.
3．若复数（为虚数单位），则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B 【详解】由.
4．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B【详解】由，，，所以.
5．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A【详解】因为，且，所以，，则.
6．已知向量，，若，则（ ）
A．4B．C．1D．
【答案】D 【详解】由得，解得.
7．一组不全相等的数据，去掉一个最大值，则下列数字特征一定改变的是（ ）
A．极差B．中位数C．平均数D．众数
【答案】C 【详解】A，由题意，去掉一个最大值后，剩下的数据中可能有数据等于原来的最大值，此时极差不变，A错误；B，中位数不一定改变，如原数据为1，2，2，3，中位数为2，去掉3后，数据为1，2，2，中位数还是2，B错误；C，设原平均数为，假设去掉最大值后平均数不变，则，
所以，解得，由原数据不全相等，可得，矛盾，所以平均数一定改变，C正确；
D，众数不一定改变，如数据为2，2，3，4，众数为2，去掉4后，众数仍为2，D错误．
8．已知为锐角，且，则的最大值（ ）.
A．B．C．D．
【答案】D【详解】因为为锐角，且，分式上下除以得，，，为锐角，，，当且仅当，即时取等号，最大值为．
二、多选题
9．已知复数，则（ ）
A．若复数z为实数，则 B．若复数z为纯虚数，则
C．当时， D．复数z在复平面内对应的点不可能在第二象限
【答案】ACD 【详解】对于A，依题意可得，即，则，故A正确；
对于B，依题意可得，故B错误；
对于C，依题意可得，所以，故C正确；
对于D，若复数z在平面内对应的点在第二象限，则，所以D正确.
10．已知一组数据如下：2022，2023，2024，2024，2025，2026，则（ ）
A．这组数据的极差为4 B．这组数据的方差为2
C．这组数据的众数等于平均数 D．这组数据的第70百分位数为2025
【答案】ACD 【详解】A：由数据知，极差为，对；
B：平均数为，则方差，错；
C：众数为，即与平均数相等，对； D：由，则数据的第70百分位数为，对.
11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数.例如：，.已知函数，，则下列叙述中正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数 C．在上是增函数 D．的值域是
【答案】BC 【详解】依题意，函数的定义域为，
对于A，，，，函数不是偶函数，A错；
对于B，，则函数是奇函数，B正确；
对于C，函数在上单调递增，则函数在R上是增函数，C正确；
对于D，由，得，则，的值域为，D错误.
三、填空题
12．已知圆柱的底面直径与球的半径均为2，且圆柱的侧面积与球的表面积相等，则圆柱的母线长为 .
【答案】8 【详解】设圆柱的母线长为，则圆柱的侧面积为，
易知球的表面积为，所以，解得.
13．已知平面向量，，若，则 ．
【答案】【详解】由向量，，得，由，得，解得，所以.
14．已知正三棱锥的各顶点都在体积为的球面上，正三棱锥体积最大时，该正三棱锥的高为 .
【答案】4【详解】根据题意可得，正三棱锥的外接球的半径 ，设正三棱锥的底面边长为 ，高为 ，
则正三角形的外接圆的半径为 ，所以 ，即 ，所以 ，又正三棱锥体积为
，当且仅当 即 时，等号成立，
所以当正三棱锥体积最大时，该正三棱锥的高为4.
四、解答题
15(13分)．已知函数，其中．
(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；(2)若时，的最小值为4，求的值．
【详解】（1），分；．分；由，，求得，，分；
函数的单调递增区间为．分；
（2）由时，，分；，分；，解得．分.
16(15分)．某制药厂生产一种治疗流感的药物，该药品有效成分的标准含量为/片．由于升级了生产工艺，需检验采用新工艺生产的药品的有效成分是否达标，现随机抽取了生产的10片药品作为样本，测得其有效成分含量如下：9.7，10，9.7，9.6，9.7，9.9，10.2，10.1，10，10.1．
(1)计算样本的平均数和方差；
(2)判断采用新工艺生产的药品的有效成分是否达标（若，则认为采用新工艺生产的药品的有效成分不达标；反之认为达标）．
【详解】（1），分；
分；
（2）因为，分；，分；
所以，故采用新工艺生产的药品的有效成分达标．分.
17(15分)．记的内角的对边分别为，且.
(1)求；(2)若的周长为，求的面积.
【详解】（1）由及正弦定理，
得分；又，得，分；
即分；
因为，所以分；
（2）由（1）得.由的周长为，得分；
由，分；
所以，即，分；
故，所以分.
18(17分)．如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，，分别是，的中点．
(1)求证：平面；(2)求证：平面；(3)求直线与平面所成角的正弦值．
【详解】（1）在中，，分别是，的中点，，分；；
又平面，平面，平面． 分；
（2）四边形是正方形，，分；
又平面，平面， ，分；
又，且平面，分；
平面．分；
（3）由（2）知，平面，为斜线在平面上的射影，为直线与平面所成的角．分；
由题意，在中，，，分；
，分；
，分；即直线与平面所成角的正弦值为．分.
19(17分)．（1）已知，，且，求的最大值；
（2）已知，，，求的最小值；
（3）已知，若对任意正数，，不等式恒成立，求实数的最小值.
【详解】（1）因为，，，所以，分；
当且仅当，即，时，取到最大值分；
（2）因为，所以，分;又因为，，所以，分;当且仅当，即时，等号成立.由得即当时，取得最小值分;
（3）因为，，所以恒成立等价于恒成立分;
又，所以，当且仅当时等号成立，分;
从而，解得（舍去）或，所以分.