2025--2026学年辽宁省鞍山市第三中学等校高一下册5月期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年辽宁省鞍山市第三中学等校高一下册5月期中考试数学试题 [含解析]，共44页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知角的终边经过点，则的值等于
A. B. C. D.
2. 已知向量，，且，则实数的值为（ ）
A. B. 2C. D.
3. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度
4. 已知，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知函数，的部分图象如图所示，两点之间的距离为10，且，则函数的值为（ ）
A. B. 3
C. D. 0
6. 下列四个函数：①；②；③；④，其中既是偶函数且最小正周期为的函数个数为（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
7. 已知函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数是定义域为R的奇函数，，且当时， ，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在中，，，，则（ ）
A. B. 边上的中线长
C. 边上的角平分线长D. 外接圆的面积为
10. 在中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则为直角三角形
B. 若为锐角三角形，则
C. 若，，，则符合条件的有两个
D. 若，则为等腰直角三角形
11. 已知，下列说法正确的是（ ）
A. 若，在区间上单调
B. 若关于直线对称，则
C. 若，且为的一个对称中心，则
D. 若，当时，函数取得最大值，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数的单调递减区间为_____________．
13. ______．
14. 已知为圆心，点是圆上一点，点是圆内部一点．若，且，则的取值范围是___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知，．
（1）求的值；
（2）若，，求的值．
16. 中，角、、的对边分别为、、，.
（1）若为锐角三角形，其面积为，，求的值；
（2）若，求的值.
17. 如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，点在上(异于点，)，过作，，垂足分别为，，记，四边形的周长为，面积为．
（1）分别求出和l关于的函数解析式，并将解析式化简为的形式，其中；
（2）当为何值时，有最大值？并求出最大值．
18. 已知向量，．
（1）若向量在向量上的投影向量为，求实数的值；
（2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围；
（3）对，求证：当取得最小值时，．
19. 如图，游客从某旅游景区的景点A处下至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟．在甲出发2分钟后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1分钟后，再从B匀速步行到C，假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC长为1260米，经测量，，其中A，C均为锐角．
（1）求索道AB的长；
（2）问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知角的终边经过点，则的值等于
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：由三角函数的定义可求出的值.
解答过程：由三角函数的定义可得，故选A.
方法提示：本题考查三角函数的定义，解题的关键在于三角函数的定义进行计算，考查计算能力，属于基础题.
2. 已知向量，，且，则实数的值为（ ）
A. B. 2C. D.
答案：B
解析：
思路：由向量垂直的坐标表示求解即可.
解答过程：由，得，即，解得.
3. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度
答案：D
解析：
思路：把变为就可以看出怎么平移.
解答过程：∵，∴把函数的图象向右移个单位就可得到函数的图象.
故选D.
方法提示：本题考查三角函数的图象变换，属于基础题.
4. 已知，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：求出，即可得出的值.
解答过程：由题意，，
，
∵，
∴，
∴，
∴.
5. 已知函数，的部分图象如图所示，两点之间的距离为10，且，则函数的值为（ ）
A. B. 3
C. D. 0
答案：B
解析：
思路：结合图象及已知条件得到，结合求出解析式，得到，再根据图象及周期分析判断即可.
解答过程：因为，两点之间的距离为10，所以周期，则.
又，，所以，则.
又，所以，所以，，解得，.
又，所以或.
当时，，
当时，.
结合图象及周期可知，应在上升图象上，所以应取最大值，即.
6. 下列四个函数：①；②；③；④，其中既是偶函数且最小正周期为的函数个数为（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
答案：C
解析：
解答过程：逐一分析4个函数的奇偶性与最小正周期：①：定义域为，，是奇函数，不符合条件.
②：定义域为，，是偶函数；由正弦函数图像及其对称特征知最小正周期，符合条件.
③：由，得，定义域为，，是偶函数；最小正周期，符合条件.
④：定义域为，关于原点对称，，是偶函数；最小正周期，符合条件.综上，符合条件的函数为②③④，共个.
7. 已知函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据正弦函数的单调性可知，当时，；在区间上只取得一次最大值，可得，列出不等式求解可得.
解答过程：由于函数在上单调递增，
，，
且，
解得且，所以；
又因为在区间上只取得一次最大值，
即时，；
所以，解得；
综上知，的取值范围是．
故选：B．
8. 已知函数是定义域为R的奇函数，，且当时， ，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：
思路：根据给定信息，确定函数的周期，再求出在上的解析式及单调性，再逐项分析判断.
解答过程：函数是定义域为R的奇函数，由，得，
即，
则，函数周期为4.
当时，，则，
因此当时，，函数在上单调递增.
对于AB，，而，
则，因此，AB错误；
对于C，，
而，因此，C错误；
对于D，，
而，因此，D正确.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在中，，，，则（ ）
A. B. 边上的中线长
C. 边上的角平分线长D. 外接圆的面积为
答案：BC
解析：
思路：对于A：根据向量的数量积求解即可；对于B：根据向量加法的平行四边形法则、向量数量积的运算律及向量的模求解即可；对于C：根据三角形面积关系及三角形面积公式求解即可；对于D：根据正余弦定理求解即可.
解答过程：选项A：向量与的夹角为，
所以，A错误.
选项B：设中点为，则，则
，
故边上的中线长，B正确.
选项C：设角的角平分线交于，利用面积关系，
即，
也即，解得，C正确.
选项D：由余弦定理得，即，
设外接圆半径为，由正弦定理，则.
所以外接圆的面积，D错误.
10. 在中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则为直角三角形
B. 若为锐角三角形，则
C. 若，，，则符合条件的有两个
D. 若，则为等腰直角三角形
答案：BC
解析：
思路：对于AD：举反例说明即可；对于B：根据正弦函数单调性分析判断；对于C：利用余弦定理运算求解.
解答过程：对于选项A：例如，，满足，
但此时不是直角三角形，故A错误；
对于选项B：因为为锐角三角形，则，即，，
且，则，，
又因为在内单调递增，
则，，
两式相加得 ，故B正确；
选项C：由余弦定理得，即，
整理可得，解得，
所以符合条件的三角形有两个，故C正确；
对于选项D：例如，满足，
但不是等腰直角三角形，故D错误.
11. 已知，下列说法正确的是（ ）
A. 若，在区间上单调
B. 若关于直线对称，则
C. 若，且为的一个对称中心，则
D. 若，当时，函数取得最大值，则
答案：BCD
解析：
思路：本题逐一分析四选项，A，代入换元判断区间内单调性判定错误，B，利用对称轴处函数取最值列等式平方求解参数得结果正确，C，由对称中心函数值为零求出正切值，再用齐次式算出二倍角正弦值成立，D，借助辅助角公式结合最值条件推导出与关系，利用三角恒等变换与角范围取舍正切值判定正确.
解答过程：选项A：时，
令，得
该范围横跨正弦函数减区间与增区间，故在此区间不单调，A错误；
选项B：关于对称，则为最值.
代入得，即.
两边平方化简得，B正确；
选项C：当时，，是对称中心，则.
即，.
，C正确；
选项D：当时，，时取最大值.
由辅助角公式，其中，
且，即.
取最大值时，，，
则，，
所以，
故.
由正切二倍角公式
整理得，解得.
因为，所以，因此选项D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数的单调递减区间为_____________．
答案：
解析：
思路：以为整体，利用正弦函数的标准单调递减区间构造不等式求解即可.
解答过程：令，解得，
所以函数的单调递减区间为.
13. ______．
答案：
解析：
思路：利用两角差的正切公式化简求值即可.
解答过程：解：
．
故答案为.
14. 已知为圆心，点是圆上一点，点是圆内部一点．若，且，则的取值范围是___________．
答案：
解析：
思路：根据点是圆内部一点及，结合向量数量积公式求出的范围，再根据模长公式求出的表达式，进而求解即可.
解答过程：因为点是圆上一点，，所以，
因为，
所以，
设与的夹角为，，
则，所以，
又，所以，
又点是圆内部一点，所以，
综上；
，
因为，所以，则，
所以.
故答案为.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知，．
（1）求的值；
（2）若，，求的值．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）利用，两边平方，即可求出的值，再根据同角三角函数的平方关系可求；
（2）求出的范围，得出的值，利用，结合两角差的余弦公式可求的值.
（1）∵，
∴，
解得：，又，所以，
∴.
（2）由题意及（1）得，
，，，，
∴ ，
∵，
∴，
∴
.
16. 中，角、、的对边分别为、、，.
（1）若为锐角三角形，其面积为，，求的值；
（2）若，求的值.
答案：（1）；（2）.
解析：
思路：（1）结合已知条件和正弦定理先求解出的值，再根据三角形的面积公式求解出的值，最后根据余弦定理求解出的值；
（2）根据已知条件先用表示出，然后利用余弦定理表示出，由此求解出之间的倍数关系，结合倍数关系即可计算出的值，即可求得的值.
解答过程：解：∵，∴，或
（1）∵，
，
（2），
，，∴，
∴，，，
17. 如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，点在上(异于点，)，过作，，垂足分别为，，记，四边形的周长为，面积为．
（1）分别求出和l关于的函数解析式，并将解析式化简为的形式，其中；
（2）当为何值时，有最大值？并求出最大值．
答案：（1），；
（2）当为时，面积S有最大值，最大值为.
解析：
思路：（1）根据给定的几何图形，求出面积及周期的函数关系，再利用三角恒等变换化成指定形式.
（2）由（1）的结论，利用正弦函数的性质求出指定区间上的最大值.
（1）由，扇形是半径为1，得，
则的面积，
由，得，
同理，
因此
，
所以S关于的函数解析式为；
，
所以关于的函数解析式为.
（2）由（1）知，由，得，
则当，即时，取得最大值，
所以当为时，面积有最大值，最大值为.
18. 已知向量，．
（1）若向量在向量上的投影向量为，求实数的值；
（2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围；
（3）对，求证：当取得最小值时，．
答案：（1）；
（2）；
（3）证明见解析．
解析：
思路：（1）利用投影向量公式，向量在向量上的投影向量为，代入坐标列出等式，即可求出参数；
（2）因为向量夹角范围为：，因为夹角为锐角，故范围为，代入夹角公式计算即可；
（3）根据模长公式得到关于的解析式，当取最小值时，的取值，进而根据向量数量积为0得到两向量垂直进行证明．
（1）向量在向量上的投影向量为，
因为，，代入可得：；
故，化简得：，解得；
（2）因为向量与的夹角为锐角，等价于，且向量与不共线，
故需满足：，解得：；
故的取值范围为；
（3）为关于的二次函数，
因为，所以时，取到最小值，
即在时取最小值；
此时；
故．
19. 如图，游客从某旅游景区的景点A处下至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟．在甲出发2分钟后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1分钟后，再从B匀速步行到C，假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC长为1260米，经测量，，其中A，C均为锐角．
（1）求索道AB的长；
（2）问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
答案：（1）；
（2）；
（3）（单位：m/min）．
解析：
思路：(1)在中，已知两角及其夹边，可求出第三个角通过正弦定理计算AB的长；
(2)甲乙最短距离时所在位置可以与A构成三角形，根据速度，可以求得路程，即三角形边长，利用余弦定理解三角形即可；
(3)通过路程除以速度计算时间，根据两人到达时间，列不等式，计算范围即可．
（1）在中，因为，，
所以，，从而：
，
由正弦定理，得．
（2）设乙在D处时，与E处的甲距离最近：
假设乙出发后，甲、乙两游客距离为，
此时，甲行走了，乙走了，
所以由余弦定理得：
，
即，
因为乙还在缆车上，故，即，
故当时，甲、乙两游客距离最短．
（3）由正弦定理，得．
乙从出发时，甲已走了，还需走710才能到达．
设乙步行的速度为，由题意得，
即，解得，
所以为使两位游客在处互相等待的时间不超过，
乙步行的速度应控制在（单位：）范围内．