辽宁省鞍山市普通高中2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题（Word版附解析）

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1．5天内某校当天新增感冒人数y与每日温差x（单位：℃）的数据如下表：
由于保存不善，有1个数据模糊不清，用m代替，已知y关于x的经验回归方程为，则（ ）
A．13B．14C．15D．12
2．已知为等差数列的前n项和，，则（ ）
A．60B．120C．180D．240
3．已知数列满足，则的通项公式为（ ）
A．B．
C．D．
4．汉诺塔（Twer f Hani），是一个源于印度古老传说的益智玩具. 如图所示，有三根相邻的标号分别为A、B、C的柱子， A柱子从下到上按金字塔状叠放着个不同大小的圆盘，要把所有盘子一个一个移动到柱子B上，并且每次移动时，同一根柱子上都不能出现大盘子在小盘子的上方，请问至少需要移动多少次？记至少移动次数为，例如：，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．为等差数列
C．为等比数列D．
5．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）
A．B．C．D．
6．定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数.记，人们在研究学习过程中，发现：三次整式函数都有对称中心，其对称中心为（其中）.已知函数.若关于点对称，则（ ）
A．4B．3C．D．1
7．已知函数，数列满足，且数列是单调递增数列，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，若关于x的方程有四个不同的根（），则的最大值是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．若样本数据的方差为2，则数据的方差为17
B．一组数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5
C．用决定系数比较两个模型的拟合效果时，若越大，则相应模型的拟合效果越好
D．以模型 去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和2
10．关于等差数列和等比数列，下列说法不正确的是（ ）
A．若数列为等比数列，且其前项的和，则
B．若数列为等比数列，且，则
C．若数列为等比数列，为前项和，则，，，…成等比数列
D．若数列为等差数列，，则最小
11．已知函数，则（）
A．在上单调递增B．是函数的极大值点
C．既无最大值，也无最小值D．当时，有三个零点
三、填空题
12．设为数列的前项积，若，且，当取得最大值时，________．
13．已知函数，则______．
14．对芯片的性能要求很高，传统的硅基芯片在逐渐接近工艺之后面临的技术限制很多，某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进，试产期每天都需要同步进行产品检测，检测方式包括智能检测和人工检测，选择检测方式的规则如下：第一天选择智能检测，随后每天由计算机随机等可能生成数字“”或“”，连续生成次，把次的数字相加，若和小于，则该天检测方式和前一天相同，否则选择另一种检测方式．设表示事件第天该企业产品检测选择的是智能检测，则_________
四、解答题
15．已知数列的前项和为，且；等差数列满足;；
(1)求和的通项公式；
(2)求数列的前项和．
16．为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查.统计其中200名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表.
(1)若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，
不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联；
(2)从每周体育锻炼5次及以上的锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人，
再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，求ξ的分布列与期望；
参考公式：
附：
17．已知函数，且
(1)求值;
(2)求平行于直线且与函数曲线相切的直线方程；
(3)若，求函数的单调区间．
18．已知为数列的前项和，为数列的前项和，为数列的前项和；；，且；；
(1)求的通项公式；
(2)若，求的最大值；
(3)证明：
19．已知函数，．
(1)当时，求证：；
(2)若在上有两个零点，求实数的取值范围；
(3)若函数有两个极值点，证明：．
x
5
7
8
9
11
y
9
m
15
17
20
年龄次数
每周0∼2次
33
22
22
23
每周3∼4次
12
17
25
22
每周5次及以上
3
3
12
6
α
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
1．B
用中心点坐标代入计算.
【详解】由，，
所以，解得.
故选：B.
2．B
根据等差数列的性质和前n项和公式运算.
【详解】因为数列为等差数列，所以，
所以，所以．
故选：B.
3．B
由题中等式，可得，再结合时，可得.
【详解】当时，有，所以，
当时，由，，
两式相减得，
此时，，也满足，
所以的通项公式为.
故选：B.
4．C
由题意可得，判断A；归纳得到，结合等差数列以及等比数列的概念可判断B，C；求出，判断D.
【详解】由题意知若有1个圆盘，则需移动一次：
若有2个圆盘，则移动情况为：，需移动3次；
若有3个圆盘，则移动情况如下：
，共7次，故，A错误；
由此可知若有n个圆盘，设至少移动次，则,
所以，而，故为等比数列，
故即，该式不是n的一次函数，
则不为等差数列，B错误；
又，则，，则为等比数列，C正确，
，D错误，
故选：C
5．C
【详解】因为，，
设切线斜率为，则，
又因为切线与直线垂直，
所以，即，解得.
6．A
先对求二阶导数，令其为求出对称中心横坐标，确定对称中心为，利用三次函数中心对称性质，结合与的数值和等于两倍中心纵坐标，推出,关于对称，进而算出.
【详解】已知，导函数，
再求出二阶导函数，令，解得，
代入得，对称中心为，
由函数图像中心对称性质可知，
由题意可知关于点对称，
可知的中点为，故.
7．A
由数列是单调递增数列可知当时，单调递增，当时，单调递增，且，列出不等式，解不等式即可.
【详解】数列是单调递增数列，
可知当，时，单调递增，即或，解得；
当时，单调递增恒成立，
且，即；
解得，
所以若数列是单调递增数列，则，
故选：A.
8．A
数形结合，把四个不同的根用表示，借助导数讨论函数的最值解决问题.
【详解】图，

由图可知当且仅当时，方程有四个不同的根，
且，由题：，，
设则
，令，
故在递增，在递减，.
故选：A.
9．BCD
根据方差的性质即可判断A；根据百分位数计算公式即可判断B；根据决定系数的概念即可判断C；根据非线性回归方程的求法并结合对数运算性质即可判断D.
【详解】对A：若样本数据的方差为2，则数据的方差为，故A错误；
对B：，则其第80百分位数是，故B正确；
对C，根据决定系数的含义知越大，则相应模型的拟合效果越好，故C正确；
对D，以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，
则，由题线性回归方程为，则，故的值分别是和2，故D正确.
故选：BCD.
10．CD
求出的值判断A；利用等比数列的性质计算判断B；举例说明判断C；求出与公差的关系判断D.
【详解】对于A，由，得，数列为等比数列，
则，解得，经验证符合题意，A正确；
对于B，等比数列中，由，得，则，B正确；
对于C，等比数列的公比，为偶数时，，，，，…不成等比数列，C错误；
对于D，设等差数列的公差为，由，得，
整理得，当时，没有最小值，D错误.
故选： CD
11．BD
先将用分段函数表示出来，再根据各个选项，利用导数研究其单调性、极值点、最值及零点即可.
【详解】由题意得，
所以，
对于A，当时，，
所以在上单调递减，故A错误;
对于B，当时，，当时，，当时，,
所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，
所以是函数的极大值点，故B正确;
对于C，当时，，当时，,
又,
的大致图象如图所示，
的值域为,
所以有最小值，无最大值，故C错误;
对于D，当时，在上单调递增,
因为,
所以,
所以在上有一个零点;
当时，在上单调递增，在上单调递减,
又，当时，.
结合的大致图象（如上图），
在有一个零点，在上有一个零点，
综上，当时，有三个零点，故D正确.
故选：BD.
12．8
先求出等比数列的通项公式，然后求出积，整理后，结合指数函数性质、二次函数性质分析得出结论.
【详解】由题易知，，∵，∴，
故是公比为的等比数列，
∵，∴，
故.∴，
∴，
要使取得最大值，则为偶数，且取最小值，
由二次函数知识知，当或9时，取最小值，只有，使得为偶数符合要求，
故.
13．12
将原函数看成两部分相乘，再运用导数的运算法则求解即可.
【详解】由题意，，所以．
故答案为：12
14．
先由题意得次数字的和服从二项分布，进而得，再由全概率公式得，进而再构造等比数列可得.
【详解】因为连续生成次数字“”或“”，每次生成“”或“”的概率均为,
所以次数字的和服从二项分布,
所以,
,
所以第天为智能检测的条件下第天为智能检测的概率：，
第天为人工检测的条件下第天为智能检测的概率：，
由全概率公式得
,
所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，所以
15．(1)，；
(2)
（1），，两式相减即可得是等比数列，进而求的通项公式，再结合条件;及是等差数列求解即可；
（2）分组后采用错位相减法求和即可.
【详解】（1）由已知，当时，，即，．
当时，，，
两式相减，得，即，，
∴由等比数列的定义知，数列是首项，公比的等比数列，
∴数列的通项公式为．
；；，
设等差数列的公差为，则,
所以；
（2）由第（1）问，，
∴设，①
①，得，，②
∴①-②，得，
，
另一部分的前n项和为
所以.
16．(1)认为体育锻炼频率的高低与年龄有关；
(2)分布列为：
【详解】（1）零假设：体育锻炼频率的高低与年龄无关.
由题得列联表如下：
，
根据小概率值的独立性检验推断不成立，
即认为体育锻炼频率的高低与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.01．
（2）由表知，利用分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在，内的人数分别为1，2，
依题意，的所有可能取值分别为为0，1，2，
所以，
，
，
所以的分布列：
所以的数学期望为.
17．(1)
(2)，
(3)单调递增区间为和；单调递减区间
（1）求导，令，得到，再结合即可求解；
（2）设切点，由导数的几何意义求得切点坐标，即可求解；
（3）求导，由，即可求解.
【详解】（1）当时，， ，
对求导： ；
令，得；
整理得： ；
故；
又，
代入中， ，
得；
（2）由（1）；
求导；
直线的斜率；
设切点，因为平行直线，
所以；，或
当时切点，切线
当时切点，切线
故切线方程为：和；
（3）；
；
令则，；
当或时，单调递增
当时；单调递减
单调递增区间为和；单调递减区间.
18．(1)；
(2)5；
(3)证明见解析.
（1）由递推公式可知， 数列为等差数列，再根据题中的条件求解即可；
（2）分别计算和，再验证即可；
（3）裂项相消法计算，再用放缩法即可证明.
【详解】（1），得，所以数列为等差数列，
则，所以，又，所以，
设的公差为，则解得，
所以的通项公式是.
（2）由（1）知，所以，
，
，
令，得，
设，则数列是递增数列，
又，，
所以的最大值为5．
（3），
所以
，所以.
19．(1)证明见解析
(2)．
(3)证明见解析
【详解】（1）由，得．要证，只需证．
令，则．
当时，，则单调递减；当时，，则单调递增.
所以函数在取得极小值也是最小值，因此，
所以，即，因此．
（2）若，在上单调递增，因为在上有两个零点，所以.
由得，令，则，
所以，，时，；时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
有极大值，也就是最大值为，
又，无限趋近时，无限趋近于0，
所以在上有两个零点时，，解得，
故的取值范围是．
（3）因为有两个极值点，
所以，有两个实数根，
所以，，可得，
设，将代入，得，
所以，
所以要证，只需证，，即．
设，则．
令，则，
所以在上为增函数．
又，所以时，，在上为增函数．
所以，即成立，
所以成立．0
1
2
P
青年
中年
合计
体育锻炼频率低
55
45
100
体育锻炼频率高
35
65
100
合计
90
110
200
0
1
2
P