2025--2026学年辽宁省鞍山市第三中学高二下册5月期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年辽宁省鞍山市第三中学高二下册5月期中考试数学试题 [含解析]，共44页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：（本题共8个小题，每小题5分，共40分，每小题有4个选项，其中只有一项是正确的．）
1. 若，则（ ）
A. 3B. C. 6D.
2. 已知等比数列的公比不为1，且成等差数列，则数列的公比为（ ）
A. B. C. D. 2
3. 记等差数列的前项和为，则（ ）
A. 140B. 150C. 160D. 170
4. 若数列的前项和为，且满足，，，则的值为( )
A. 0B. 3C. 4D. 5
5. 已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
6. 设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A. B. eC. D.
8. 已知对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 设是等差数列，是其前项的和，且，，则下面结论正确的是( )
A. B.
C. 与均为的最大值D. 满足的的最小值为14
10. 记为数列的前项和．已知，则（ ）
A. B. 数列为等比数列
C. D.
11. 已知函数，对，使得成立．下列结论正确的是（ ）
A. ，使得B. 函数的最小值为0
C. 的取值范围为D. 过作的切线，有且只有一条
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 数列满足，则___________．
13. 已知函数在处取得极小值，则___________．
14. 已知函数，若对任意，且，都有恒成立，则实数的取值范围是________.
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 某影视数据平台对最近上映的电影《飞驰人生3》进行票房调研，记录了其上映后的累计票房情况．累计票房（单位：千万元）与上映天数（单位：天）的数据如下表所示：
（1）利用表中的数据，计算相关系数（结果精确到0.01），并推断两个变量的线性相关程度；
（2）求关于的经验回归方程，并预测上映40天时的累计票房（结果精确到0.01）．
参考公式：经验回归方程，其中，，相关系数．参考数据：，，，．
16. 已知等差数列的前项和为，且．是正项等比数列，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
17. 已知函数
（1）求函数的图象在点处的切线方程；
（2）求函数在区间的最大值和最小值；
（3）若曲线与直线有3个不同的交点，求实数的取值范围．
18. 已知公差不为零的等差数列满足，且成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：；
（3）若数列满足，证明：（e为自然对数的底）．
19. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，为的导函数.
（i）求实数的取值范围；
（ii）记较小的一个零点为，证明.
数学
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、单项选择题：（本题共8个小题，每小题5分，共40分，每小题有4个选项，其中只有一项是正确的．）
1. 若，则（ ）
A. 3B. C. 6D.
答案：B
解析：
思路：借助导数定义计算即可得.
解答过程.
2. 已知等比数列的公比不为1，且成等差数列，则数列的公比为（ ）
A. B. C. D. 2
答案：A
解析：
思路：设等比数列的公比为，根据题意，列出方程，得到，即可求解.
解答过程：设等比数列的公比为，其中且，
因为成等差数列，可得，所以，
又因为，可得，解得或（舍去），
所以等比数列的公比为.
3. 记等差数列的前项和为，则（ ）
A. 140B. 150C. 160D. 170
答案：B
解析：
思路：根据等差数列的性质，求得，得到，结合等差数列的求和公式，即可求解.
解答过程：因为，可得，可得，
又因为，由等差数列的性质，可得，
所以.
4. 若数列的前项和为，且满足，，，则的值为( )
A. 0B. 3C. 4D. 5
答案：C
解析：
思路：根据题意，求得数列前7项的值，得到数列是周期为6的数列，结合前六项的和为0，即可求解.
解答过程：方法一：
数列的前项和为，且满足，，，可得
，，，，
，，，
所以数列是周期为6的数列，其中，
所以. 故C选项正确.
方法二：
由可得，则数列前项和满足：
所以.
又因为，即.
所以数列是周期为6的数列，故. 故C选项正确.
5. 已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：
解答过程：由导数与单调性的关系判断即可．
思路：由函数的图象可知：
当时，，，此时单调递增；
当时，，，此时单调递减；
当时，，，此时单调递减；
当时，，，此时单调递增．
6. 设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：根据题意及等差数列的片段和性质，设，从而求出，，进而即可得到答案．
解答过程：由等差数列的片段和性质知，，，，···是等差数列，
由，不妨设，则，
所以，，，，···，依次为，，，，···，
所以，
所以．
7. 已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A. B. eC. D.
答案：C
解析：
思路：根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出．
解答过程：依题可知，在上恒成立，显然，所以，
设，所以，所以在上单调递增，
，故，即，即a的最小值为．
故选：C．
8. 已知对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：令，由题意可知：对任意恒成立，且，可得，解得，并代入检验即可.
解答过程：令，则，
由题意可知：对任意恒成立，且，
可得，解得，
若，令，
则，
则在上递增，可得，
即对任意恒成立，
则在上递增，可得，
综上所述：符合题意，即实数的取值范围为.
故选：A.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 设是等差数列，是其前项的和，且，，则下面结论正确的是( )
A. B.
C. 与均为的最大值D. 满足的的最小值为14
答案：ACD
解析：
解答过程：A选项：因为，所以A正确；
B选项：因为，，所以，所以B错误；
C选项：因为，是一个递减等差数列，当时，，所以当时，，故与均为的最大值，故C选项正确；
D选项：因为，，所以S13=13a1+a132=13a7=0 ，而S14=14a1+a142=7a7+a8=7a8