2025--2026学年广东东莞市东莞中学高一下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年广东东莞市东莞中学高一下册期中考试数学试题 [含解析]，共44页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列命题中正确的是（ ）
A. 正四棱锥的侧面都是正三角形
B. 直四棱柱是长方体
C. 以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥
D. 用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台
2. 已知向量，则（ ）
A. A、B、C三点共线
B. A、B、D三点共线
C. A、C、D三点共线
D. B、C、D三点共线
3. 已知，是平面内的一组基底，若向量与共线，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知的内角所对的边分别为，若，则的形状为（ ）
A. 锐角三角形B. 直角三角形
C. 等腰三角形D. 等腰或直角三角形
5. 若，则复数z的共轭复数的虚部是（ ）
A. B. C. D.
6. 在中，，，点D为BC的中点，，则（ ）
A. 2B. 3C. D.
7. 如图，圆为的外接圆，，，则（ ）
A. 10B. 20C. 26D. 52
8. 已知，是两个单位向量，且，的夹角为，若，恒成立，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9. 下列说法中正确的是（ ）
A. 若，则是一个平行四边形B. 若，则
C. 对任一非零向量，是一个单位向量D.
10. 关于复数z，下面是真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. D. 若，则
11. 已知向量，，，，则（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 在方向上的投影向量的坐标为
D. 若向量与向量的夹角为锐角，则的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 如图，已知两座灯塔和与海洋观察站的距离都等于km，灯塔在观察站的北偏东的方向，灯塔在观察站的南偏东的方向，则灯塔与灯塔间的距离为________（km）.
13. 一梯形的直观图是如下图的等腰梯形O′A′B′C′，且上底为1，下底为3，高为1，则原梯形的面积为________.
14. 已知关于的方程有实根，则实数_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知复数，.
（1）若z为纯虚数，求m的值；
（2）若复数z对应的点位于第四象限，求m的取值范围.
16. 如图，在高为的正三棱柱中，，是棱上的点.
（1）求该正三棱柱的表面积以及三棱锥的体积；
（2）设为棱的中点，为棱上一点，求的最小值，并求此时线段的长度.
17. 如图，在等边中，，点在边上，且，过点的直线分别交射线，于不同的两点，.
（1）求的值；
（2）设，，求的最大值.
18. 某学校有一四边形地块，为了提高校园土地的利用率，现把其中的一部分作为学校生物综合实践基地．如图所示，，是中点，E，F分别在边、上，拟作为花草种植区，四边形拟作为景观欣赏区，拟作为谷物蔬菜区，和拟建造快速通道，，记．（快速通道的宽度忽略不计）

（1）若，求景观欣赏区所在四边形的面积；
（2）当取何值时，可使快速通道的路程最短?最短路程是多少?
19. 是直线外一点，点在直线上（点与点，任一点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，.在中，角，，的对边分别是，，，点在射线上.
（1）若是角的平分线，且，由点对施以视角运算，求的值；
（2）若，，，由点对施以视角运算，，求的周长；
（3）若，，由点对施以视角运算，，求的最小值.
数学
满分150分，时间120分钟、不准使用计算器.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列命题中正确的是（ ）
A. 正四棱锥的侧面都是正三角形
B. 直四棱柱是长方体
C. 以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥
D. 用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台
答案：D
解析：
思路：由正四棱锥，直四棱柱，圆锥，圆台结构特征结合题意可得答案.
解答过程：对于A，正四棱锥的侧面不一定是正三角形，可能是等腰三角形，故A错误；
对于B，若直四棱柱的上下底面不是矩形，则不一定是长方体，故B错误；
对于C，以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥，故C错误；
对于D，由圆台定义可得用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台，故D正确.
故选：D
2. 已知向量，则（ ）
A. A、B、C三点共线
B. A、B、D三点共线
C. A、C、D三点共线
D. B、C、D三点共线
答案：B
解析：
思路：先利用向量坐标运算得到相应的向量，再计算向量共线所满足的关系式，看是否为0，得到结论.
解答过程：A选项，由于，故不共线，
所以A、B、C三点不共线，A错误；
B选项，，
由于，故共线，A、B、D三点共线，B正确；
C选项，，
由于，故不共线，A、C、D三点不共线，C错误；
D选项，，故不共线，B、C、D三点不共线，D错误.
故选：B
3. 已知，是平面内的一组基底，若向量与共线，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：根据题意，得到，列出方程组，即可求解.
解答过程：由，是平面内的一组基底，向量与共线，
则存在实数使得，可得，解得.
故选：A.
4. 已知的内角所对的边分别为，若，则的形状为（ ）
A. 锐角三角形B. 直角三角形
C. 等腰三角形D. 等腰或直角三角形
答案：C
解析：
思路：由正弦定理边角互化，以及两角和差正弦公式，化简可得结果.
解答过程：由，可得，
，，
所以，，
因为，所以，即，
所以是等腰三角形.
故选：C.
5. 若，则复数z的共轭复数的虚部是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：借助复数运算法则计算后，结合共轭复数定义与虚部定义即可得.
解答过程：，
故，其虚部为.
6. 在中，，，点D为BC的中点，，则（ ）
A. 2B. 3C. D.
答案：A
解析：
思路：借助平面向量线性运算、模长与数量积关系计算即可得.
解答过程：由，
则，
即，整理得，
故.
7. 如图，圆为的外接圆，，，则（ ）
A. 10B. 20C. 26D. 52
答案：C
解析：
思路：取、中点、，连接、，可得，
，再利用数量积公式计算即可得.
解答过程：取、中点、，连接、，
由垂径定理可知，、，
则
.
8. 已知，是两个单位向量，且，的夹角为，若，恒成立，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：由向量模与夹角的公式得，进而结合向量的夹角范围求解即可.
解答过程：因为，是两个单位向量，且夹角为，，
又因为，
所以
，
又，所以，所以.
二、多项选择题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9. 下列说法中正确的是（ ）
A. 若，则是一个平行四边形B. 若，则
C. 对任一非零向量，是一个单位向量D.
答案：BCD
解析：
思路：对A：、、、四点可能共线；对B：由平面向量数量积定义即可得；对C：计算的模长即可得；对D：借助平面向量线性运算法则计算即可得.
解答过程：对A：、、、四点可能共线，故A错误；
对B：若，当是非零向量时，有，
当中有零向量时，规定零向量与任意向量都垂直，故B正确；
对C：对任一非零向量，，故是一个单位向量，故C正确；
对D：，故D正确.
10. 关于复数z，下面是真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. D. 若，则
答案：AB
解析：
思路：设，结合共轭复数定义、模长公式及复数运算法则逐项计算并判断即可得.
解答过程：设；
对A：若，则，即，
则，故A正确；
对B：若，则，故，则，故B正确；
对C：，，故C错误；
对D：虚数不能比大小，故D错误.
11. 已知向量，，，，则（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 在方向上的投影向量的坐标为
D. 若向量与向量的夹角为锐角，则的取值范围是
答案：ABC
解析：
思路：根据向量垂直的坐标运算可得选项A正确；根据向量相等可得选项B正确；利用投影向量的公式计算可得选项C正确；计算向量与向量同向时的值可得选项D错误.
解答过程：对于A选项，因为，则有，
所以，所以，解得，故A正确；
对于B选项，因为，所以，
即，解得，所以，故B正确；
对于C选项，在方向上的投影向量，故C正确；
对于D选项，向量与向量的夹角为锐角，
所以，，
所以，解得，
当向量与向量共线时，，
解得，此时，，
所以，向量与向量的夹角为，不符合题意，
所以的取值范围是.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 如图，已知两座灯塔和与海洋观察站的距离都等于km，灯塔在观察站的北偏东的方向，灯塔在观察站的南偏东的方向，则灯塔与灯塔间的距离为________（km）.
答案：
解析：
思路：利用余弦定理计算即可得.
解答过程：，
由余弦定理可得，
即，
故km.
13. 一梯形的直观图是如下图的等腰梯形O′A′B′C′，且上底为1，下底为3，高为1，则原梯形的面积为________.
答案：
解析：
思路：根据已知确定原梯形的边长且是直角梯形，进而求出其面积.
解答过程：由题意，且，，则，，，
所以原梯形是上下底分别为1，3，高为的直角梯形，则其面积为.
14. 已知关于的方程有实根，则实数_________．
答案：
解析：
思路：设是原方程的实根，代入方程后由复数相等的概念求解．
解答过程：设为方程有实根，
则，即，
所以，解得，
故答案为.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知复数，.
（1）若z为纯虚数，求m的值；
（2）若复数z对应的点位于第四象限，求m的取值范围.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）由z为纯虚数可知求解即可；
（2）根据复数对应的点在第四象限可得其实部为正，虚部为负，列出不等式，求解即可.
（1），
因为z为纯虚数，
有，解得；
（2）复数z对应的点的坐标为，
因为复数z对应的点位于第四象限，
所以，解得.
16. 如图，在高为的正三棱柱中，，是棱上的点.
（1）求该正三棱柱的表面积以及三棱锥的体积；
（2）设为棱的中点，为棱上一点，求的最小值，并求此时线段的长度.
答案：（1），
（2）的最小值为，此时
解析：
思路：（1）根据表面积、体积公式计算即可得；
（2）将侧面绕旋转至与侧面共面，当、、三点共线时，有最小值，且此时与相似，计算即可得解.
（1），；
（2）将侧面绕旋转至与侧面共面，如图所示：
当、、三点共线时，有最小值，
则，
此时与相似，
有，即，解得，
17. 如图，在等边中，，点在边上，且，过点的直线分别交射线，于不同的两点，.
（1）求的值；
（2）设，，求的最大值.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）借助平面向量线性运算法则，可用、表示出、，再利用平面向量夹角公式计算即可得；
（2）借助平面向量三点共线定理可得，再用表示后，利用二次函数性质计算即可得的最大值.
（1）由，则，
则，
则
；
（2）由，则，
又，，则，
由、、三点共线，则，故，
故，
当且仅当、时，等号成立，
故的最大值为.
18. 某学校有一四边形地块，为了提高校园土地的利用率，现把其中的一部分作为学校生物综合实践基地．如图所示，，是中点，E，F分别在边、上，拟作为花草种植区，四边形拟作为景观欣赏区，拟作为谷物蔬菜区，和拟建造快速通道，，记．（快速通道的宽度忽略不计）

（1）若，求景观欣赏区所在四边形的面积；
（2）当取何值时，可使快速通道的路程最短?最短路程是多少?
答案：（1）
（2）取，最短距离为．
解析：
思路：（1）由已知可得为中位线，由计算可得结论；
（2）由正弦定理分别可得，，计算可求的最小值.
（1）当时，，此时为中位线，
（2）在中，，，，
由正弦定理得，，∴．
在中，，，，
由正弦定理得，，∴
∴
，其中
令，∵，∴，
则
∵在单调递增，在单调递减，
∴在单调递增，∴当，即，时，
，
所以当取时，可使快速通道路程最短，最短距离为．
19. 是直线外一点，点在直线上（点与点，任一点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，.在中，角，，的对边分别是，，，点在射线上.
（1）若是角的平分线，且，由点对施以视角运算，求的值；
（2）若，，，由点对施以视角运算，，求的周长；
（3）若，，由点对施以视角运算，，求的最小值.
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）由新定义结合正弦定理即可求解；
（2）根据所给定义及条件得到，再由余弦定理求得即可求出，从而求出三角形的周长；
（3）依题意可得，由等面积法得到，从而得到，再由乘“1”法及基本不等式计算可得.
（1）因为是角的平分线，所以且在线段上，
所以，
又，所以；
（2）因为点在射线上，，且，所以在线段外，且，
所以，
所以，
在中，由余弦定理可得，
所以，即
解得或（舍去），
所以的周长为.
（3）因为，所以，则，
因为，所以，
又，所以，
又，所以，所以，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为.