2022-2023学年广东省东莞市第一中学高一下学期期中考试数学试题含答案

2022-2023学年广东省东莞市第一中学高一下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知i为虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【分析】根据给定条件，求出复数在复平面内对应点的坐标作答.

【详解】复数在复平面内对应的点在第二象限.

故选：B

2．一个田径队，有男运动员56人，女运动员42人，比赛后，立即用分层抽样的方法，从全体队员中抽出一个容量为7的样本进行尿样兴奋剂检查，其中男运动员应抽的人数为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】A

【分析】根据分层抽样运算求解.

【详解】由题意可知：男运动员应抽的人数为.

故选：A.

3．如图，用斜二测画法所画的一个平面图形的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的周长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由直观图还原可得原图形，结合斜二测画法求边长，再求其周长即可.

【详解】由直观图还原得到原图形如下，

由斜二测画法可得，，，

所以，，

所以四边形的周长为，即原平面图形的周长为.

故选：B.

4．在中，为边上的中线，为的中点．则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据平面向量的线性运算即可求解.

【详解】因为中，为边上的中线，为的中点，

所以，

故选：A．

5．如图，从气球上测得正前方的河流的两岸的俯角分别为，此时气球的高度是m，则河流的宽度等于（    ）

A．m B．m

C．m D．m

【答案】D

【分析】先求得，在中利用正弦定理即可求解.

【详解】由题可得，所以，则,

在中，，，

，

由正弦定理可得，即，解得.

故选：D.

6．卡夫拉金字塔（如图1）由埃及第四王朝法老卡夫拉建造，可通往另一座河谷的神庙和狮身人面像，是世界上最紧密的建筑．从外侧看，金字塔的形状可以抽象成一个正四棱锥（如图2），其中，点为的中点，则，所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】找出的平行线且与相交，并以此构造一个三角形，再根据几何关系求出三角形的三边，最后用余弦定理即可求解出，所成角的余弦值.

【详解】如图设点F为AB中点，连接EF，设，则，

在中，根据余弦定理可知：

即，

解得，，，

根据余弦定理可知，

因为，所以为，所成角的余弦值.

故选：C.

7．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，，，则球的体积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】将三棱锥放入长方体中，设长方体的长宽高分别为，确定，得到球半径，计算体积得到答案.

【详解】将三棱锥放入长方体中，设长方体的长宽高分别为，如图所示：

则，故，球的半径，

故体积为.

故选：D

8．已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，点O为其外接圆的圆心，已知，则边（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】C

【分析】取AC的中点D，得到OD⊥AC，利用向量的数量积可得，即可求解.

【详解】设AC的中点为D，因为点O为其外接圆的圆心，

所以OA=OB=OC，连接OD，由三线合一得：OD⊥AC，

则

即，由，解得.

故选：C.

二、多选题

9．下列四个命题中正确的是（    ）

A．若两条直线互相平行，则这两条直线确定一个平面

B．若两条直线相交，则这两条直线确定一个平面

C．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线

D．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线

【答案】ABC

【分析】由公理2及推论判断A、B、C选项，由直线的位置关系判断D选项.

【详解】公理2的推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面，选项A正确；

公理2的推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面，选项B正确；

空间四点不共面，则其中任何三点不共线，否则由公理2的推论1：直线与直线外一点确定一个平面，这空间四点共面，所以选项C正确；

若两条直线没有公共点，可以互相平行，不一定是异面直线，选项D错误.

故选：ABC

10．为丰富老年人的业余生活，某小区组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个兴趣社团，该小区共有2000名老年人，每位老人依据自己兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加朗诵社的老人有8名，参加太极拳社团的有12名，则（    ）

A．这五个社团的总人数为100

B．脱口秀社团的人数占五个社团总人数的20%

C．这五个社团总人数占该小区老年人数的4%

D．从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为40%

【答案】BC

【分析】A选项，根据参加朗诵社的老人有8名，占五个社团的总人数的，求出五个社团的总人数；B选项，求出参加太极拳社团的人数占五个社团的总人数的百分比，从而求出脱口秀社团的人数占五个社团总人数的百分比；C选项，用五个社团总人数除以2000求出百分比；D选项，来自脱口秀社团和来自舞蹈社团的概率之和为结果.

【详解】参加朗诵社的老人有8名，占五个社团的总人数的，故总人数为，A错误；

参加太极拳社团的人数为12，占五个社团的总人数的，

所以脱口秀社团的人数占五个社团总人数的，B正确；

这五个社团总人数占该小区老年人数的，C正确；

从这五个杜团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为，D错误.

故选：BC

11．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，有如下命题，其中正确的是（    ）

A．若，则为等腰三角形． B．若，则

C．若，则是钝角三角形． D．若，则为锐角三角形

【答案】BCD

【分析】根据诱导公式化简，即可判断A；根据正弦定理即可判断B；根据向量的数量积的定义即可判断C；将等式变形为，即可判断D.

【详解】A：由，得或，

得或，所以为等腰三角形或直角三角形，故A错误；

B：由，得（R为外接圆半径），

由正弦定理得，所以，故B正确；

C：由，得，即，即，

又，所以角C为钝角，则为钝角三角形，故C正确；

D：由，知c最大.则，有，

所以，即，所以角C为锐角，

又角C最大，所以为锐角三角形，故D正确.

故选：BCD.

12．已知圆锥的底面半径为1，高为，为顶点，，为底面圆周上两个动点，则（　　）

A．圆锥的体积为

B．圆锥的侧面展开图的圆心角大小为

C．圆锥截面的面积的最大值为

D．从点出发绕圆锥侧面一周回到点的无弹性细绳的最短长度为

【答案】AC

【分析】对于A：直接求出圆锥的体积即可判断；对于B：直接求出圆锥的侧面展开图的圆心角即可判断；对于C：先判断出圆锥截面为轴截面时，其面积最大，然后可判断；对于D：利用圆锥的侧面展开图可求解判断.

【详解】对于A：因为圆锥的底面半径为1，高为，所以体积，故A正确；

对于B：设圆锥的母线为l，则，

设圆锥的侧面展开图的圆心角为，由弧长公式得：，即，解得：，故B错误；

对于C：显然当圆锥截面为轴截面时，其面积最大，此时，故C正确；

对于D：由B可得该圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，

所以从点出发绕圆锥侧面一周回到点的无弹性细绳的最短长度为4，故D错误；

故选：AC

三、填空题

13．已知复数z满足，则的最大值为        ．

【答案】4

【分析】设，则且.结合复数的几何意义可得，即可求解.

【详解】设复数，则，且.

，

当时，取到最大值16，

所以.

故答案为：4.

14．已知向量在向量方向上的投影向量为，且，则  ．(结果用数值表示)

【答案】

【分析】首先根据投影公式求得，再代入数量积公式，即可求解.

【详解】因为向量在向量方向上的投影向量为，且，

所以，所以，

则．

故答案为：

15．如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这是水面恰好是中截面，则图1中容器水面的高度是      ．

【答案】/1.5

【分析】根据水的体积与棱柱体积的关系得出结论．

【详解】棱柱的体积公式是，其中是q底面积，是高．

在图2中，水面是中截面，水面以上部分是一个三棱柱，所以这个三棱柱的底面积是原来三棱柱底面的，从而这个小三棱柱的体积是大棱柱体积的（高一样），所以水的体积是大三棱柱体积的，那么图1中水面的高度是棱柱高的，即为．

故答案为：．

16．已知三棱锥的棱长均为4，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及三棱锥的三个侧面都相切，则球的表面积为          .

【答案】/

【分析】由等体积法求得内切球半径，再根据比例求得球的半径，则问题可解．

【详解】如图所示：

依题意得 ，

底面的外接圆半径为，

点到平面的距离为 ，

所以 ，

所以

设球的半径为，所以

则，得

设球的半径为，则，又 得

所以球的表面积为

故答案为：.

四、解答题

17．已知复数，

（1）当取什么值时，复数是纯虚数；

（2）当复数在复平面内对应的点位于第四象限时，求的取值范围．

【答案】（1） ；（2） .

【分析】（1）根据实部为零，虚部不为零得到方程，解得即可；

（2）依题意可得，再解一元二次不等式组即可；

【详解】（1）当时，解得或，解得且，即时，复数为纯虚数．

（2）当复数在复平面内对应的点位于第四象限时，，解得或，解得，所以

18．在斜三角形中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．

(1)求角的大小；

(2)若，且上的中线长为，求斜三角形的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦定理将已知式子进行化简，再利用余弦定理即可求出角的大小；

（2）根据为为上的中线得，结合余弦定理求出，进而求出面积.

【详解】（1）因为，

所以由正弦定理可得：，

即，

所以，

又，所以，

所以.

（2）因为为上的中线，所以，

即，

所以，

即，

所以     ①，

由余弦定理可得：，

所以      ②

①-②得：，

所以.

19．在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且满足.

(1)求的值;

(2)若为线段上任意一点，求的最小值.

【答案】(1);(2)

【解析】（1）以为基底，将数量积运算通过向量的线性运算，转化成关于基底的运算；

（2）先确定的位置，即，再令，从而将表示成关于的二次函数，利用二次函数的性质，即可得答案.

【详解】(1)在梯形中，因为，，所以，

;

(2)令，

则，即，

令，则，，

所以当时，有最小值.

【点睛】本题考查向量的线性运算、向量数量积的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将最值问题转化为函数的最值问题.

20．如图，洪泽湖湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台P，已知射线AB，AC为湿地两边夹角为120°的公路（长度均超过2千米），在两条公路AB，AC上分别设立游客接送点M，N，从观景台P到M，N建造两条观光线路PM，PN，测得千米，千米．

(1)求线段MN的长度；

(2)若，求两条观光线路PM与PN之和的最大值．

【答案】(1)千米

(2)千米

【分析】（1）在中，利用余弦定理运算求解；

（2）在中，利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，进而可得结果.

【详解】（1）在中，由余弦定理得，，

即，可得，

所以线段MN的长度千米．

（2）设，因为，所以，

在中，由正弦定理得，

因为＝，

所以，

因此

＝，

因为，所以，

所以当，即时，取到最大值千米．

21．如图，在棱长为4的正方体中，E是上的动点，F是CD的中点.

(1)求三棱锥的体积；

(2)若E是的中点，求证：平面.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由正方体的性质可知平面，即点到平面的距离为，最后根据锥体的条件公式计算可得.

（2）连接交于点，连接，，，即可得到四边形是平行四边形，从而得到，即可得证.

【详解】（1）解：在正方体中，平面，

所以点在上运动时，到平面的距离为4，

所以.

（2）解：连接交于点，连接，，，

因为，且，，且，所以且，

所以四边形是平行四边形，

所以，

又因为平面，平面，

所以平面.

22．如图，四边形为正方形，平面，，．

(1)求证：平面；

(2)求与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质、判定推理作答.

（2）把所求角问题转化为与平面所成角，再利用等体积法求出点到平面的距离即可求解作答.

【详解】（1）连接交于，如图，

由四边形为正方形，得，

又平面，平面，则，

而，即B，D，E，F四点共面，又，且平面，

所以平面.

（2）因为，则与平面所成角等于与平面所成角，

显然，，，

在中，由余弦定理得，

，因此，

设点到平面的距离为，

由平面，知，而，，则平面，

又，平面，平面，

则平面，即有点F到平面的距离为AB长2，又，

由，得，即，解得，

所以与平面所成角的正弦值为．