2025--2026学年甘肃渭源县第二中学高二下册期中考试数学试题 [含解析]

这是一份2025--2026学年甘肃渭源县第二中学高二下册期中考试数学试题 [含解析]，共44页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设，则（ ）
A. B. C. D.
3. 在数列中，若，则的值为（ ）
A. 2B. -2C. 1D. -1
4. 已知向量，则的最小值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
5. 为了得到函数的图象，只需把函数图象上所有点的（ ）
A. 横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）B. 横坐标变为原来的（纵坐标不变）
C. 纵坐标变为原来的倍（横坐标不变）D. 纵坐标变为原来的（横坐标不变）
6. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 某学校准备把3个高中数学联赛和3个高中物理联赛的名额分配到高二年级的甲、乙、丙三个班，每班恰好2个名额，则不同的分配方案共有（ ）
A. 6种B. 7种C. 8种D. 15种
8. 如图，已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线在第一象限的交点，且，则的最大值为（ ）

A. B. 4C. 8D.
二、多选题（每题6分，共18分）
9. 在三棱锥中，，，，平面，点为的垂心，且，则（ ）
A. 平面
B.
C. 三棱锥体积的最小值为
D. 三棱锥外接球表面积的最小值为
10. 记的内角的对边分别为下列说法中正确的有（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则为锐角三角形
D. 当为锐角三角形，且时，
11. 设函数，则（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数在区间上单调递增
D. 当时，方程在区间上所有实根的和为
三、填空题（每题5分，共15分）
12. 已知曲线在点处的切线与圆：相切，则__________．
13. 若，则___________．
14. 已知点，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，点在抛物线：上运动，过点作曲线的切线，切点分别为，，则的最小值为______．
四、解答题（5个小题，共77分）
15. 已知的三个顶点在半径为2的圆上，.
（1）求；
（2）若为锐角，求周长的取值范围.
16. 为了解观看某场“苏超”联赛与性别是否有关系，某机构随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况，得到如下表格：
（1）对照列联表，能否有的把握认为关注“苏超”赛事与性别有关？
（2）现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取6名市民参加“苏超”赛事知识问答，再从这6名市民中抽取3人参加抽奖活动，记这3人中女性人数为，求的分布列和期望．
附：，．
17. 在空间几何体中，四边形是边长为2的正方形，垂直于面，，．
（1）如图1，当面面时，证明：面；
（2）如图2，当二面角为时，求点到面的距离．
18. 已知双曲线E：的右焦点为F，离心率为2，过F且与x轴垂直的直线被该双曲线截得的弦长为6.
（1）求曲线E的方程；
（2）A、B、C为曲线E上的三个点，且A、B关于原点对称，直线BC过点F，若的面积为12，求直线BC的方程；
（3）已知，过点的直线l与E在y轴右侧交于不同的两点P、Q，则直线l上是否存在点T使得，？若存在，求出T的坐标，若不存在，说明理由.
19. 已知函数，其中为实数
（1）讨论的单调性；
（2）若对任意都有恒成立，求实数的取值范围；
（3）若，试判断的零点个数.
数学
满分为150分，考试时间为120分钟．
一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：绝对值不等式等价于：，
两边同时减去，得，故，
分式不等式等价于分子分母同号，
即：，解得，故，
所以.
2. 设，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：设，由题意得，
所以，
所以解得，所以.
3. 在数列中，若，则的值为（ ）
A. 2B. -2C. 1D. -1
答案：A
解析：
思路：根据数列的周期性即可求解.
解答过程：,
因此是周期数列，且周期为3，故
4. 已知向量，则的最小值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
答案：C
解析：
思路：利用向量垂直等价于数量积为0，计算出的关系，用关于的代数式表达，使用均值不等式求出最小值.
解答过程：，即,
，
当且仅当即时取等号.
5. 为了得到函数的图象，只需把函数图象上所有点的（ ）
A. 横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）B. 横坐标变为原来的（纵坐标不变）
C. 纵坐标变为原来的倍（横坐标不变）D. 纵坐标变为原来的（横坐标不变）
答案：A
解析：
解答过程：将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），即.
6. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据给定条件，利用作差法，结合对数换底公式及对数函数单调性比较大小.
解答过程：由
，得；
由
，得，
因此.
7. 某学校准备把3个高中数学联赛和3个高中物理联赛的名额分配到高二年级的甲、乙、丙三个班，每班恰好2个名额，则不同的分配方案共有（ ）
A. 6种B. 7种C. 8种D. 15种
答案：B
解析：
解答过程：两个数学名额为1个组，一个数学名额一个物理名额为1个组，两个物理名额为1个组，
再将这三个组分配到甲、乙、丙三个班有种分法；
高二年级的甲、乙、丙三个班各1个数学名额和各1个物理名额有1种分法；
综上所述：不同的分配方案共有种.
8. 如图，已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线在第一象限的交点，且，则的最大值为（ ）

A. B. 4C. 8D.
答案：A
解析：
思路：由椭圆的定义及双曲线的定义结合余弦定理可得的关系，由此可得，再利用三角换元求最大值.
解答过程：为第一象限的交点，设、，
则、，解得、，
在中，由余弦定理得：，
∴，∴，
∴，∴，∴，
设，，则，
当时，即，时，取得最大值.
二、多选题（每题6分，共18分）
9. 在三棱锥中，，，，平面，点为的垂心，且，则（ ）
A. 平面
B.
C. 三棱锥体积的最小值为
D. 三棱锥外接球表面积的最小值为
答案：ABC
解析：
思路：选项，利用垂心和平面的已知条件，可以找出与垂直的两条相交直线，由线面垂直的判定定理可以得出判断；选项，由三棱锥一定点处三条棱两两垂直，底面垂心的性质，代入即可得出判断；选项，先根据底面三条边求出三角形面积，进而表示出体积，由选项的结论，代入化简成一个参数的表达式，利用导数求出最值；选项，通过三棱锥一定点处三条棱两两垂直，可知三棱锥与此三条棱构成的长方体外接球的球心相同，进而求出球体半径，表示出球体表面积，利用基本不等式求出球体表面积的最小值.
解答过程：解：选项，由为的垂心可知，，又平面，
平面，所以，又因为，因此平面，
平面，所以.
同理，，又，，所以平面，
平面，所以，又因为，，所以平面，选项正确；
选项，由易知，，两两垂直，平面，点为的垂心，
，
由海伦公式知，
代入上式，两边平方，取倒数，化简可得，
代入，，，得，，
化简得，因此正确；
选项，由，，两两垂直，，，，根据勾股定理，
可得，，，
在中，由余弦定理可得，代入各边长，
化简得，所以，
所以，
因此，
两边同时平方得，由选项知，
设，，则，可得，，所以.
代入，化简得，
令，则，
当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增，所以当时，取最小值，为，
即的最小值为，因此的最小值为，正确；
选项，因为，，两两垂直，所以三棱锥的外接球球心与以，，为长宽高的长方体外接球的球心相同，
则外接球直接，所以，
所以外接球表面积为，由，
则,
由基本不等式可得，
当且仅当，即时等号成立，此时外接球表面积的最小值为，
因此错误.
10. 记的内角的对边分别为下列说法中正确的有（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则为锐角三角形
D. 当为锐角三角形，且时，
答案：ABD
解析：
思路：对A直接由正弦定理进行角化边及大边对大角定理可得；对B根据二倍角公式及正弦定理可得；对C可进行举反例判断；对D先将原不等式等价转化为，再结合正切函数的单调性判断可得.
解答过程：对选项A，根据正弦定理，，
因此，即三角形中大边对大角，故，A正确；
对选项B，由，得，
因为，所以，故，结合A的结论得B正确；
对选项C，举反例：取，，，满足条件，
但此时，是钝角三角形，C错误；
对选项D，原不等式等价于： ，
整理得：
利用三角恒等变换得，
因为是锐角三角形，​，
所以原不等式等价于：​.
又因为，所以，
因为函数在单调递增，
因此，原不等式成立，D正确.
11. 设函数，则（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数在区间上单调递增
D. 当时，方程在区间上所有实根的和为
答案：BCD
解析：
思路：先利用以及余弦函数的偶函数的性质判断周期和对称性，再求导讨论单调性.最后把方程转化为关于的方程，再列出区间内的全部根并求和.
解答过程：因为且 都是偶函数，
所以
故是函数的一个周期.
又
所以的最小正周期不是，而是.因此A错误.
对于B，任取，
，
由余弦函数的性质可得所以函数的图象关于直线对称，B正确.
对于C，因为，
所以
当时，
从而
于是故函数在区间上单调递增，C正确.
对于 D，令则方程化为即
因为且
所以在区间 上，方程只有唯一解
设则
于是
在区间内，方程的解为
方程的解为
故区间内全部实根为
这些根的和为
，
所以D正确.
综上，正确选项为BCD.
三、填空题（每题5分，共15分）
12. 已知曲线在点处的切线与圆：相切，则__________．
答案：
解析：
思路：利用导数求出曲线在点处的切线，再根据直线与圆的位置关系求出值.
解答过程：已知，求导得，则，
所以曲线在点处的切线为，即.
又切线与圆相切，所以，
整理得，解得.
13. 若，则___________．
答案：
解析：
思路：利用赋值法，令，和，即可求解.
解答过程：由题意得：
令，得，
令，得，
令，得，
所以，
所以.
14. 已知点，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，点在抛物线：上运动，过点作曲线的切线，切点分别为，，则的最小值为______．
答案：
解析：
思路：根据题意，求得曲线的方程，得出，结合两点间距离公式和函数的性质，即可求得的最小值，得到答案.
解答过程：设，已知，，则，整理得，
所以点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，所以.
如图所示：设，连接，，根据题意可知,,
且，,连接，可得四边形的面积为直角面积的2倍，且，
所以,可得,
设，则，
当，即与坐标原点重合时，取得最小值3，故的最小值为.
四、解答题（5个小题，共77分）
15. 已知的三个顶点在半径为2的圆上，.
（1）求；
（2）若为锐角，求周长的取值范围.
答案：（1）或
（2）解析：
思路：（1）由正弦定理可求得，可求；
（2）由正弦定理可得，结合三角恒等变换，以及的范围可求得周长的取值范围.
（1）由正弦定理可得，所以，
又因为，所以或.
（2）若为锐角，由（1）可知，
由正弦定理可得，
所以
，
因为，所以，
所以，所以，
所以，所以，
所以周长的取值范围为.
16. 为了解观看某场“苏超”联赛与性别是否有关系，某机构随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况，得到如下表格：
（1）对照列联表，能否有的把握认为关注“苏超”赛事与性别有关？
（2）现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取6名市民参加“苏超”赛事知识问答，再从这6名市民中抽取3人参加抽奖活动，记这3人中女性人数为，求的分布列和期望．
附：，．
答案：（1）有的把握认为关注“苏超”赛事与性别有关
（2）解析：
思路：（1）运用独立性检验判断赛事与性别关系；（2）先进行分层抽样，求概率后列分布列，利用期望公式求期望.
（1）假设：关注“苏超”赛事与性别无关，
依题意，
则假设不成立，即有的把握认为关注“苏超”赛事与性别有关.
（2）由题意可得，关注赛事的市民中男女比例为，
所以6人中抽取男性市民人，女性市民人，
则的取值为，
，
，
，
分布列如下表所示：
所以．
17. 在空间几何体中，四边形是边长为2的正方形，垂直于面，，．
（1）如图1，当面面时，证明：面；
（2）如图2，当二面角为时，求点到面的距离．
答案：（1）证明见解析
（2）解析：
思路：（1）取中点，连接，根据面面垂直的性质定理得到平面，进而得到，再根据线面平行的判定定理证明；
（2）利用点到面距离的向量求法进行求解.
（1）取中点，连接，，
又平面平面，平面平面，
平面，
又平面，，
平面，平面平面．
（2）过作平面于点，过作于点，连接则，为的中点，且，，
，，如图建系
，，，
，，
设平面的一个法向量，到面的距离为
，
18. 已知双曲线E：的右焦点为F，离心率为2，过F且与x轴垂直的直线被该双曲线截得的弦长为6.
（1）求曲线E的方程；
（2）A、B、C为曲线E上的三个点，且A、B关于原点对称，直线BC过点F，若的面积为12，求直线BC的方程；
（3）已知，过点的直线l与E在y轴右侧交于不同的两点P、Q，则直线l上是否存在点T使得，？若存在，求出T的坐标，若不存在，说明理由.
答案：（1）
（2）或或
（3）不存在，理由见解析
解析：
思路：（1）根据双曲线离心率公式和通径公式求解即可；
（2）根据直线与双曲线相交的弦长公式及三角形面积公式可得结果；
（3）先根据直线与双曲线的交点情况得到直线的斜率的范围，并结合条件得到点的坐标关于的表达式，接下来一种方法是通过消去得到点的坐标满足，再结合得到，最后验证对应的斜率不在范围内，另一种方法是将点的坐标直接代入得到关于的方程，最后验证该方程无范围内的解，从而得出结论.
（1）过右焦点且与轴垂直的直线为，代入双曲线方程得，
依题意有，又由离心率为，得，联立得，
所以曲线的方程为.
（2）设，由（1）得，所以，因为关于原点对称，
所以，可知直线的斜率不能为
（否则不存在），故可设其方程为，与双曲线方程联立，
整理得，可得且，
以及，所以，
解得或，所以直线的方程为或或.
（3）若直线斜率不存在，则直线与双曲线右支无交点，不合题意，
故可设直线方程为，与双曲线方程联立，
整理得，设，
则有且，以及，
其中，所以，结合其它不等式解得，
设，由得，即，
变形得到，将代入，
解得①，代入得②，
解法一：
由①有③，代入②得到④，再由
得，将④代入，整理得，
解得，再由③可得，
因为，，
所以不存在满足条件的点.
解法二：
由得即，
将①②代入该方程得到，
整理得，即，
令，则在区间上单调递减，
又，故当时，恒成立，
即方程在内无解，
所以不存在满足条件的点.
19. 已知函数，其中为实数
（1）讨论的单调性；
（2）若对任意都有恒成立，求实数的取值范围；
（3）若，试判断的零点个数.
答案：（1）当时，在上单调递增， 在上单调递减；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减.
（2） （3）1
解析：
思路：（1）求导，通过，，，讨论导数符号，即可求解；
（2）由（1）通过函数单调性，确定最值即可求解；
（3）由（1）得到函数的单调性，再结合零点存在性定理即可求解.
（1）定义域：，.
，
在上单调递增， 在上单调递减；
，
①，
在，上单调递增，在上单调递减；
②，，因为，所以，在上单调递增；
③，
在，上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）得， 如果， 在上单调递增，
当时，，
因为，所以成立；
当，在上单调递减，所以存在， ；不符合，
当，在上单调递增，在上单调递减；
所以存在， ，不符合，
综上，的取值范围是；
（3）由（1）得， 若，在，上单调递增，在上单调递减.
因为，
当，
，
因为，，所以，
所以，
所以，
又，且在上单调递增，
所以存在，使.
又因为，
当时， ， 即，，所以.
因为在上单调递减， 上单调递增，
所以当时，.
综上，有且只有一个零点.
性别
不关注赛事
关注赛事
合计
男性
25
150
175
女性
50
75
125
合计
75
225
300
0.01
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828
性别
不关注赛事
关注赛事
合计
男性
25
150
175
女性
50
75
125
合计
75
225
300
0.01
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0.001
6.635
7.879
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