2025--2026学年广东深圳市建文外国语学校高二下册期中考试数学试题 [含解析]

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一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 双曲线的离心率为（ ）
A. B. 2C. D.
2. 从1，2，3，…，15共15个数字中，甲、乙两人各取一数（不重复），若甲取到的数是5的倍数且甲取到的数大于乙取到的数，则不同的取法共有（ ）
A. B. C. D.
3. 已知数列的前项和，则（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
4. 已知函数f(x)=ex+2f'(0)sinx ，则 （ ）
A. B. C. D.
5. 在的展开式中，含的项的系数为（ ）
A. 74B. C. 64D.
6. 设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知圆，则该圆的面积为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知曲线的切线过原点，则此切线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知等比数列的前项和为，公比，，则（ ）
A. B.
C. D. 数列是公比为4的等比数列
10. 已知的展开式中，各项的二项式系数之和为128，则（ ）
A. B. 只有第4项的二项式系数最大
C. 各项系数之和为1D. 的系数为560
11. 已知函数，.下列结论正确的是（ ）
A. 函数不存在最大值，也不存在最小值B. 函数存在极大值和极小值
C. 函数有且只有1个零点D. 函数的极小值就是的最小值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同选法的种数是__________．
13. 已知随机事件满足P(A)=13,P(B|A)=12 ， 则_______ ．
14. 已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知等差数列中，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前和为，求的值(结果可以用幂的形式表示）.
16. 一市级重点中学选中了6名男教师和4名女教师共10名教师，其中1名主任（男）和1名副主任（女），现要组成6人支教小组，依下列条件各有多少种选派方法？
（1）6人支教小组中，有3名男教师和3名女教师；
（2）6人支教小组中，既有男教师，又有女教师；
（3）6人支教小组中，至少有1名主任参加；
（4）6人支教小组中既有主任，又有女教师．
17. 甲、乙两队进行一场排球比赛，设各局比赛相互间没有影响且无平局，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一队比另一队多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为．
（1）第二局比赛结束时比赛停止的概率；
（2）设X表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量X的分布列和数学期望．
18. 已知函数 ，是的导函数.
（1）求的值；
（2）求曲线在处的切线方程；
（3）求的最值.
19. 已知函数，
（1）当时，求函数的极值；
（2）求函数的单调区间；
（3）当时，若在时恒成立，求整数的最大值.
数学
满分150分，考试用时120分钟.
一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 双曲线的离心率为（ ）
A. B. 2C. D.
答案：D
解析：
思路：根据双曲线的标准方程，结合离心率的概念即可求解.
解答过程：由，得，
所以，得，
所以双曲线的离心率为.
故选：D
2. 从1，2，3，…，15共15个数字中，甲、乙两人各取一数（不重复），若甲取到的数是5的倍数且甲取到的数大于乙取到的数，则不同的取法共有（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：应用分类加法原理计算求解.
解答过程：1—15中，5的倍数为5，10，15，故甲只能取这3个数.
若甲取5时，乙需取比甲小的数，即1，2，3，4，共4种取法；
若甲取10时，乙需取比甲小的数，即1，...，9，共9种取法；
若甲取15时，乙需取比甲小的数，即1，2，3，...，14，共14种取法；
故根据分类加法计数原理共有种.
3. 已知数列的前项和，则（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
答案：C
解析：
思路：根据计算可得.
解答过程：因为，所以．
故选：C.
4. 已知函数 ，则 （ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：f'(x)=ex+2f'(0)csx ，令，得f'(0)=e0+2f'(0)cs0=1+2f'(0) ，
所以.
5. 在的展开式中，含的项的系数为（ ）
A. 74B. C. 64D.
答案：A
解析：
思路：利用二项式展开式来求指定项系数即可.
解答过程：由题知项的系数为．
故选：A.
6. 设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
思路：利用导函数与原函数之间的关系分析选项即可.
解答过程：由的图象可知，当时，函数单调递增，则，故排除C，D；
当时，先递增，再递减最后递增，所以所对应的导数值应该先大于0，
再小于0，最后大于0，排除B.
故选:A.
7. 已知圆，则该圆的面积为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：法一：将圆的一般方程化为标准方程，
由此可知圆的半径，所以该圆的面积S=πr2=5π .
法二：由圆的一般方程知，
所以圆的半径，所以该圆的面积S=πr2=5π .
8. 已知曲线的切线过原点，则此切线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：本题首先可以设切点坐标为，然后求出导函数以及切线的斜率为，并写出切线方程，最后根据切线过原点即可求出的值以及切线的斜率.
解答过程：设切点坐标为，
因为曲线，所以，切线的斜率为，
则切线的方程为，
因为切线过原点，所以，解得，
故此切线的斜率为，
故选：C.
方法提示：本题考查求曲线的切线的斜率，考查导函数的几何性质，函数在某点处的导函数值即函数在这点处的切线斜率，考查计算能力，是简单题.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知等比数列的前项和为，公比，，则（ ）
A. B.
C. D. 数列是公比为4的等比数列
答案：ACD
解析：
思路：首先求出，再由等比数列通项公式及求和公式判断B、C，由等比数列的定义判断D.
解答过程：因为，，所以，即A正确；
易知，可知B错误；
将首项和公比代入可得，故C正确；
又，，故数列是首项为，公比为的等比数列，故D正确．
故选：ACD
10. 已知的展开式中，各项的二项式系数之和为128，则（ ）
A. B. 只有第4项的二项式系数最大
C. 各项系数之和为1D. 的系数为560
答案：AD
解析：
思路：根据二项式系数之和为运算求解，进而判断A；根据二项式系数的性质分析判断B；令，求各项系数之和，进而判断C；对于D：结合二项式系数的通项分析判断.
解答过程：对于A：由题意可知：各项的二项式系数之和为，解得，故A正确；
可得，
对于B：因为，则第4项和第5项的二项式系数最大，故B错误；
对于C：令，可得各项系数之和为，故C错误；
对于D：因为二项展开式的通项为，
令，解得，
所以的系数为，故D正确；
故选：AD.
11. 已知函数，.下列结论正确的是（ ）
A. 函数不存在最大值，也不存在最小值B. 函数存在极大值和极小值
C. 函数有且只有1个零点D. 函数的极小值就是的最小值
答案：BCD
解析：
思路：利用导数研究函数的单调性，作出图形，求出函数的最小值，结合函数零点、极值的概念依次判断选项即可.
解答过程：，则，
令，令或，
所以函数在上单调递减，在和上单调递增，
且，，如图，

所以，函数在处取得极大值，在处取得极小值，
极小值即为最小值，且函数有且只有一个零点0.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同选法的种数是__________．
答案：10
解析：
解答过程：依题意有种.
13. 已知随机事件满足 ， 则_______ ．
答案：
解析：
思路：由概率的乘法公式求解.
解答过程：由概率的乘法公式：PAB=PA⋅PBA=13×12=16 ．
14. 已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围为______．
答案：
解析：
思路：根据函数的单调性与导数的关系，将问题转化为不等式恒成立的问题，再通过参数分离即可求出.
解答过程：函数的定义域为，，
因为函数在上单调递增，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
所以，令，则，
因为，所以，则，
故在上单调递减，
故，故的取值范围为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知等差数列中，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前和为，求的值(结果可以用幂的形式表示）.
答案：（1）；
（2）.
解析：
思路：（1）先求出数列的首项和公差，再求通项公式；
（2）先求数列的通项，再求前20项和.
（1）设等差数列的公差为，则a3=a1+2d=6a6=a1+5d=12，解得，
所以.
（2）由（1）知，当为偶数时，；当为奇数时，；
所以
=b1+b3+⋯+b19+b2+b4+⋯+b20
=41+43+⋯+419+5+9+⋯+41
=41−16101−16+5+41×102
.
16. 一市级重点中学选中了6名男教师和4名女教师共10名教师，其中1名主任（男）和1名副主任（女），现要组成6人支教小组，依下列条件各有多少种选派方法？
（1）6人支教小组中，有3名男教师和3名女教师；
（2）6人支教小组中，既有男教师，又有女教师；
（3）6人支教小组中，至少有1名主任参加；
（4）6人支教小组中既有主任，又有女教师．
答案：（1）
（2） （3）
（4）解析：
思路：（1）利用组合数的性质求解即可.
（2）（3）（4）先求出目标事件的对立事件概率，再求出目标事件的概率求解即可.
（1）由题意得从6名男教师里选3名有种选派方法，
从4名女教师里选3名有种选派方法，
由分步乘法计数原理得共有种选派方法.
（2）由题意得从10名教师里选6名有种选派方法，
而只有4名女教师，则6名教师里不可能全是女教师，
若全是男教师，有种选派方法，
故既有男教师，又有女教师的选派方法为种.
（3）由题意得从10名教师里选6名有种选派方法，
从不是主任的8名教师里选6名有种选派方法，
则至少有1名主任参加有种选派方法.
（4）由已知得从10名教师里选6名有种选派方法，
从不是主任的8名教师里选6名有种选派方法，
若有主任，且没有女教师，有种选派方法，
则既有主任，又有女教师有种选派方法.
17. 甲、乙两队进行一场排球比赛，设各局比赛相互间没有影响且无平局，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一队比另一队多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为．
（1）第二局比赛结束时比赛停止的概率；
（2）设X表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量X的分布列和数学期望．
答案：（1）
（2）分布列见解析，
解析：
思路：（1）由题意甲连胜2局或乙连胜2局，再求解概率即可；
（2）依题意知，X的所有可能值为2，4，6，再分别分析具体情况求分布列，结合数学期望的公式求解即可
（1）依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束．
所以有．
所以，第二局比赛结束时比赛停止的概率．
（2）依题意知，X的所有可能值为2，4，6.
表示当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束，
表示前二局的比分为1∶1，接下来有一队连胜2局，，
表示前二局的比分为1∶1且前4局的比分为2∶2，．
所以随机变量X的分布列为：
所以
18. 已知函数 ，是的导函数.
（1）求的值；
（2）求曲线在处的切线方程；
（3）求的最值.
答案：（1）；
（2）；
（3）最小值为，无最大值.
解析：
思路：（1）先求导，再代入求值；
（2）设，求的切线，即为的切线；
（3）研究导函数的单调性，进而判断导函数的正负，来研究原函数的单调性.
（1），
f′0=−0+2×0=0 ，f′π2=−1+2×π2=π−1
所以f′0+f′π2=π−1 .
（2）设gx=f′x=−sinx+2x ，则g′x=−csx+2 ，
g′π2=−0+2=2 ，gπ2=f′π2=π−1 ，
所以在处的切线方程为y−π−1=2x−π2，即.
（3）由（2）可知，g′x=−csx+2>0 ，
所以在上单调递增，
因为g0=−0+2×0=0 ，
所以，，即，单调递减
，，即，单调递增，
所以的最小值为f0=1+0−4=−3 ，无最大值.
19. 已知函数，
（1）当时，求函数的极值；
（2）求函数的单调区间；
（3）当时，若在时恒成立，求整数的最大值.
答案：（1）无极值 （2）当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（3）解析：
思路：（1）直接求导判断单调性即可；
（2）分和两种情况讨论；
（3）把问题转化为在时恒成立，进而转化为求的最小值，利用导数求出函数的极小值即可求解.
（1）当时，fx=lnx+12x2+3 ，
∵的定义域为，∴f'x=1x+x=1+x2x>0 恒成立，
∴在上单调递增，故函数无极值.
（2）∵f'x=1x+2ax=2ax2+1x,x>0，
令，
①当时，，，∴在 单调递增；
②当时，令，得或（舍）
当变化时， ，的变化情况如下：
∴在上单调递增，在上单调递减.
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（3）当时，，
依题意可得，在时恒成立，
即在时恒成立，
令，则F'x=x−lnx−2x−12，
令hx=x−lnx−2 ，则在时恒成立，∴在上单调递增，
又h3=1−ln30 ，
∴在上存在唯一实数，使得 ，即x0−lnx0−2=0⇒lnx0=x0−2 ，
∴当时， ，，单调递减；
当时， ，，单调递增；
∴当在处取得极小值，也是最小值.
∴Fmin(x)=F(x0)=x0lnx0+3x0−2x0−1=x0x0−2+3x0−2x0−1=x0+2x0−1x0−1=x0+2 ；
∴，
故整数的最大值为5.X
2
4
6
P
x
+
0
单调递增
52−12ln(−2a)
单调递减