2024—2025学年度广东省深圳市高二上学期期中数学试题[含解析]

这是一份2024—2025学年度广东省深圳市高二上学期期中数学试题[含解析]，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知是空间的一组基底，则可以与向量，构成基底的向量是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在长方体中，化简（ ）
A．B．C．D．
3．已知两个向量，，且，则的值为（ ）
A．1B．C．6D．4
4．已知直线过点，且倾斜角为，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知点是圆外的一点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，空间四边形的每条边和对角线长都等于，点，，分别是，，的中点，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知直线过点（1，3），若与轴，轴的正半轴围成的三角形的面积为，则的值可能是（ ）
A．3B．4C．5D．6
8．已知圆：，过点的直线与轴交于点，与圆交于，两点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小
B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
C．若空间向量满足，则与夹角为钝角
D．若已知空间向量和，则在上的投影向量为
10．设椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与交于A，B两点，若，且的周长为8，则（ ）
A．B．的离心率为
C．可以为D．可以为直角
11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，．动点满足，设动点的轨迹为曲线，下列结论正确的是（ ）
A．的方程为
B．关于直线对称的曲线方程为
C．在上存在点，使得到点的距离为3
D．若，，则在上不存在点，使得
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知向量，向量，则与的夹角的大小为 .
13．圆和圆的位置关系是 ．
14．已知椭圆：（）的左，右焦点分别是，，下顶点为点，直线交椭圆于点，设的内切圆与相切于点，若，则的长为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知直线；.
（1）若，求的值；
（2）若，且直线与直线之间的距离为，求、的值．
16．在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，．
(1)求的长；
(2)若，分别为，的中点，求异面直线与的夹角余弦值．
17．如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，，一条直线经过与椭圆交于，两点．
(1)求焦点坐标，焦距，短轴长；
(2)若直线的倾斜角为，求的面积．
18．已知圆．
(1)若直线过点且与圆相切，求直线的方程；
(2)设直线与圆相交于，两点，点为圆上异于，的动点，求的面积的最大值．
19．如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，分别是的中点，点在直线上，且．
(1)证明：当时，有；
(2)当取何值时，直线与平面所成角最大？并求该角取最大值时的正切值；
(3)是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正弦值为，请详细说明理由．
答案
1．【正确答案】D
【详解】因为，，
又，
显然A，B，C三个选项中的向量都与共面，
而D选项中多了个，无论如何，是无法用线性表示的．
故选：D．
2．【正确答案】B
【分析】由空间向量的线性运算结合长方体的结构特征进行运算.
【详解】由长方体的结构特征，有，
则.
故选：B
3．【正确答案】C
【详解】由.
故选：C
4．【正确答案】D
【详解】直线的倾斜角为，直线的斜率，
则由直线点斜式方程可得直线方程为.
故选：D.
5．【正确答案】D
【详解】由题意得且，解得.故选：D
6．【正确答案】B
【分析】根据空间向量运算求得.
【详解】依题意，分别是的中点，
所以，
三角形是等边三角形，且边长为.
所以.
故选：B
7．【正确答案】D
【详解】由题意知直线在轴上的截距存在且大于，
设直线的方程为，
直线过点，可得，
所以，当且仅当，即取等号，故，
所以.
故选：D.
8．【正确答案】D
【分析】作出线段的中点，将转化为，利用垂径定理，由图化简得，只需求的范围即可，故又转化成求过点的弦长的范围问题.
【详解】

如图，取线段的中点，连接，则，
由，
因直线经过点，考虑临界情况，
当线段中点与点重合时（此时），弦长最小，此时最长，
为，（但此时直线与轴平行，点不存在）；
当线段中点与点重合时，点与点重合，最短为0（此时符合题意）.
故的范围为.
故选D.
【关键点拨】本题解题的关键在于结合圆的弦想到取其中点，将转化为，利用垂径定理，将所求式转化成，而求范围即求弦的长的范围即可.
9．【正确答案】ABD
【详解】A项，空间向量不能比较大小，
而空间向量的模是非负实数，可以比较大小，故A正确；
B项，由可得，
则，
即，故四点共面，故B正确；
C项，若与为两非零向量，共线且反向时，，
此时两向量的夹角为，不为钝角，故C错误；
D项，方向上与方向相同的单位向量为 ，
由投影向量的定义，则在上的投影向量为，故D正确.
故选：ABD.
10．【正确答案】AC
【分析】根据已知可得、，进而有，结合椭圆性质求相交弦长的范围及焦点三角形内角的范围判断各项的正误.
【详解】由，如下图周长为，故，
所以，椭圆离心率为，A对，B错；
当轴，即为通径时，且，
所以，故可以为，C对；
由椭圆性质知：当为椭圆上下顶点时最大，此时，
且，故，即不可能为直角，D错.
故选：AC
11．【正确答案】ABD
【分析】设，应用两点距离公式及已知得的方程为判断A；利用对称性求对称圆的圆心，即得对称圆的方程判断B；求出与圆心距离，结合半径判断C；应用点斜式写出的中垂线，应用点线距离及半径的关系判断中垂线与圆的位置关系判断D.
【详解】设，则，
所以，则，
整理得，A对；
由上，设对称圆的圆心为，则，
所以对称的曲线方程为，B对；
由到圆心的距离为，由圆半径，
所以到圆的最短距离为，故不存在，使到的距离为3，C错；
由中点为，且，则的中垂线为，
圆心到的距离，
故在上不存在点，使得，D对.

故选：ABD
12．【正确答案】
【详解】因为，，
所以，
因为，所以.
故答案为.
13．【正确答案】外切
【详解】因为圆的标准方程为：，
表示以为圆心，半径为的圆，
又圆的圆心为，半径为，
所以两圆圆心距为，正好等于半径之和，
所以两圆相外切，
故外切.
14．【正确答案】45/0.8
【详解】如图：

设的内切圆与、相切于点、，
由切线长定理可得：，，.
又，所以，所以.
由椭圆的定义可知：，
即，
故.
因为，所以.
设，则，，又，
所以在中，，
即.
故
15．【正确答案】（1）；（2）或.
【分析】
（1）由两直线垂直，可得斜率乘积为，列方程可得答案；
（2）由两直线平行，斜率相等可求出的值，再由两平行线间的距离公式列方程可求出的值
【详解】
解：（1）设直线的斜率分别为，则．
若，则，，
（2）若，则，
∴可以化简为，
又直线与直线的距离，
或，
综上.
16．【正确答案】(1)
(2)0
【详解】（1）如图：
以为空间向量的基底，则，且，.
因为，
所以.
所以.
（2）因为,
所以.故异面直线与的夹角余弦值为0.
17．【正确答案】(1)焦点坐标为，，焦距为，短轴长为；
(2).
【详解】（1）设长半轴、短半轴、焦距分别为，由已知方程得到，，所以，，由得，
故焦点坐标为，，焦距为，短轴长为；
（2）设Ax1,y1，Bx2,y2，
由已知得直线的方程为，与联立方程组得，
则，，
故，
令的面积为，所以.
18．【正确答案】(1)或
(2)
【分析】（1）确定圆心和半径，考虑直线斜率存在和不存在两种情况，根据直线与圆的位置关系得到答案.
（2）确定圆心到直线的距离，计算，，计算面积的最大值得到答案.
【详解】（1）圆：，圆心的坐标为，半径．
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
圆心到的距离，与圆相切；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
由直线与圆相切，得，解得，
所以直线的方程为．
综上所述：直线的方程为或．
（2）圆心到直线的距离，所以，
因为为圆上异于，的动点，所以点到直线的距离，
所以的面积，
当且，在圆心的两侧时，等号成立，
所以的面积的最大值为．
19．【正确答案】(1)证明见解析
(2)；.
(3)存在点；理由见解析
【详解】（1）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，.
，
，
，
，
，
，
无论取何值，总有.
（2）由题意知是平面的一个法向量.
，
又，
当时，取得最大值，
即取得最大值时，，此时.
（3）假设存在点满足题意，设是平面的一个法向量，
，，
由，得，
令，得，，
为平面的一个法向量.
又知平面的一个法向量为，
若存在点，使得平面与平面的夹角的正弦值为，
则，
化简得，解得，
故存在点满足条件.