山西省太原市2025-2026学年第二学期高一年级期下学期末学业诊断数学试题（含答案）

这是一份山西省太原市2025-2026学年第二学期高一年级期下学期末学业诊断数学试题（含答案），共27页。试卷主要包含了.选择题，.填空题，.解答题等内容，欢迎下载使用。
一 .选择题： A B D A C C B D
二.选择题： 9.AC 10.ABD 11.ACD
三 .填空题： 12.{(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)} 13.0.8 14.20π
四 .解答题： 15.解：(1)设乙种小麦样本数据的平均数为x, 方差为s², 由题意得
s²=[(65-68)²+(65-68)²+(67-68)²+(68-68)²+(70-68)²
… …8分
(2)由(1)得及题意可得，乙种小麦产量的平均数68千克大于甲种小麦产量的平均数67 千克，同时其方差7.8小于甲种小麦产量的方差20,说明乙种小麦的产量更高更稳定，更 具有推广价值. ………13分
16.解：(1)由题意得5×(0.02+0.02+0.03+0.08+a+0.01)=1, 所以a=0.04;……3 分 设这100名居民成绩的第一四分位数为x, 由频率分布直方图可得成绩在(70,80)的频率为 5×(0.02+0.02)=0.2,在[80,85]的频率为5×0.03=0.15,所以x∈(80,85),
所以估计该次竞赛成绩的第一四分位数为 … …7分
(2)由题意得采用样本量比例分配的分层抽样抽取5人，则应从成绩在(75,80)的居民中抽 取2人，分别记为A,B; 从成绩在(80,85)的居民中抽取3人，分别记为a,b,c.… …9 分 再从这5人中随机选出2人的样本空间为
Ω={( A,B),(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c),(a,b),(a,c),(b,c)}, … …11 分 设事件A= “这2人来自不同分组”,则A={(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c)},
由古典概型可得 ………15分 17. (1)证明：设点G 是AB的中点，连接EG,FG,∵ 点E 是BC 的中点，∴GE//AC,
∵GE 女平面ACD₁,ACc 平面ACD₁,∴GE// 平面ACD₁, ………2分
∵G,F 分别为正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 的棱AB,C₁D₁ 的中点，
∴AG//D₁F,AG=D₁F=1, ∴ 四边形AGFD₁ 为平行四边形， ∴GF//AD₁,
∵GFø 平面ACD₁,AD ₁ C 平面ACD₁,∴GF// 平面ACD₁, ………4分
∵GE∩GF=G,GEc 平面EFG,GFc 平面EFG,
∴平面EFG //平面ACD₁,
∵ EFc 平面 EFG ,∴ EF// 平面ACD₁ . ………8分
(2)连接BD₁, 设点B 到平面ACD₁ 的距离为d,
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 的棱长为2, ∴ AC=CD₁=AD₁=2 √2,
∴△ACD₁ 的面积 ,△ ABC 的面积 AB·BC=2,
∵VB-ACD₁=VD₁-ABC, ………15分
18.解：设甲选择A、B、C城市分别记为事件A₁,A₂,A₃ , 乙选择A、B城市分别记为事件B₁,B₂,
丙选择A、C城市分别记为事件C₁,C₂ , 则
(1)由题意得三人选择同一个城市旅游为事件A₁B₁C₁,
(2)由题意得三人选择三个不同城市旅游为事件A₁B₂C₂UA₂B₁C₂UA₃B₂C₁, ∴P(A₁B₂C₂UA₂B₁C₂UA₃B₂C₁)=P(A₁B₂C₂)+P(A₂B₁C₂)+P(A₃B₂C₁)
………3分
………6分
=P(A₁)P(B₂)P(C₂)+P(A₂)P(B₁)P(C₂)+P(A₃)P(B₂)P(C₁)
… … 10分
(3)由题意得三人中恰有两人选择A市旅游为事件A₁B₁C₂UA₁B₂C₁UA₂B₁C₁UA₃B₁C₁,
∴P(A₁B₁C₂UA₁B₂C₁UA₂B₁C₁UA₃B₁C₁)=P(A₁B₁C₂)+P(A₁B₂C₁)+P(A₂B₁C₁)+P(A₃B₁C₁) =P(A₁)P(B₁)P(C₂)+P(A₁)P(B₂)P(C₁)+P(A₂)P(B₁)P(C₁)+P(A₃)P(B₁)P(C₁)
… … 17分
19. (1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AC⊥BD,
∴AC⊥OE,AC⊥OB, ∴AC⊥ 平面 BOE, ∴AC⊥BE. ………4分
( 2 ) 设 点F 是 BE 的中点，连接AF,CF, ∵AE=AB,∴AF⊥BE,AF=√AE²-EF²=√4-EF²,
同理可得CF⊥BE,CF=√
∴∠AFC 是二面角A-BE-C
4-EF²,
的平面角，∴
∴EF=1,∴BE=2EF=2. … … 10分
(3)由题意得
………
12分
∵AB=BC,AE=CE,BE=BE,∴△ABE≌△CBE,∴
∵正方形ABCD 的边长为2,∴ 设三棱锥E-ABC 内切球的半径为r, 球心为M,
则VE-ABC =VM-ABC+VM-ABE+VM-CBE +VM-ACE,
… …15分
∴S=4πr²=16(17-12√2)π ………17分
注：以上各题其它解法请酌情赋分.