湖北省荆州沙市中学2025-2026学年高一下学期6月阶段检测数学试题含答案

这是一份湖北省荆州沙市中学2025-2026学年高一下学期6月阶段检测数学试题含答案，共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．复数（是虚数单位）在复平面上所对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题为真命题的是（ ）
A．若，，，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
3．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．不等式的解集为（ ）
A．B．或
C．D．
5．已知为锐角，，，则=（ ）
A．B．C．D．或
6．设，是平面内两个不共线的向量，，，若A，B，C三点共线，则的最小值是（ ）
A．8B．6C．4D．2
7．如图，三棱锥中，为等腰直角三角形，斜边为PB的中点，则直线所成角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．13
8．在△ABC中，，则△ABC的面积的最大值为（ ）
A．14B．C．12D．
二、多选题
9．设为复数，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为
C．若为虚数，则也为虚数
D．若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为
10．△ABC满足，且，则（ ）
A．△ABC三个内角满足关系
B．△ABC的周长为
C．若的角平分线与AC交于D，则BD的长为
D．设E为△ABC外接圆上任意一点，则的最大值为
11．如图；正方体的棱长为2，是侧面上的一个动点（含边界）；点P在棱上；则下列结论正确的有（ ）

A．若；沿正方体的表面从点A到点P的最短距离为
B．若，三棱锥的外接球表面积为
C．若；，则点的运动轨迹长度为
D．若；平面被正方体截得截面面积为
三、填空题
12．若圆台的上下底面半径分别为1和4，侧面积为，则圆台的体积为________.
13．已知函数，若方程有4个根，，，，且，则实数的取值范围是____，的取值范围是______.
14．已知正△ABC的顶点A在平面内，点B，C均在平面外（位于平面的同侧），且在平面上的射影分别为B′，，，设BC的中点为D，则直线AD与平面所成角的正弦值的取值范围是______.
四、解答题
15．已知集合，
(1)求集合；
(2)若，，求实数m的取值范围．
16．已知向量，且，求：
（1）及；
（2）若的最小值为，求实数的值．
17．已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且
(1)求角C
(2)若，，CD为角C的平分线，求CD的长；
(3)若，求锐角△ABC面积的取值范围.
18．我国古代数学名著《九章算术》在“商功”一章中，将“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”称为“阳马”．现有如图所示一个“阳马”形状的几何体，底面ABCD是正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点

(1)平面AEF与平面PBC是否垂直？若垂直，请证明，若不垂直，请说明理由；
(2)求二面角的大小；
(3)若直线平面AEF，求直线AB与平面AEF所成角的正弦值．
19．类比思想在数学中极为重要，例如类比于二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图1，由射线PA，PB，构成的三面角，记，，，二面角的大小为，则．如图2，四棱柱中，▱ABCD为菱形，∠BAD=60°，，，且点在底面ABCD内的射影为AC的中点O．
(1)求的值；
(2)直线与平面ABCD内任意一条直线夹角为，证明：；
(3)过点B作平面，使平面平面，且与直线相交于点P，若，求值．
《湖北省沙市中学2025-2026学年高一下学期6月阶段检测数学试题》参考答案
12．
13．
14．.
15．【详解】（1）不等式，解得，即，
当时，，则，即，
所以.
（2）由（1）得，，
当，即时，，满足，则；
当，即时，由，得，解得，
综上，，
所以实数m的取值范围是.
16．【详解】（1）由题意，向量，
可得，
又由
所以.
（2）由（1）可得，
即，
令，所以，
对称轴为，
若，则，不符合题意；
若，则，解得（舍去）；
若，则，解得，
综上可得：.
17．【详解】（1）解：由及正弦定理得
所以
∴，∴
∵，∴
（2）解：设由得
.
解得，即角平分线CD的长度为
（3）解：设△ABC外接圆半径为R，由
，即，即，∴
所以△ABC的面积
∵，∴，
∴
∵，，，
∴，
∴，
∴，∴，
∴
18．【详解】（1）平面平面PBC．
理由如下：
因为平面ABCD，平面ABCD，
所以，
因为，又，平面，
所以平面PAB，故．
在△PAB中，，E为PB的中点，所以．
因为平面PBC，平面PBC，，
所以平面PBC．又平面AEF，
所以平面平面PBC．
（2）不妨设，计算可得，，
又，，，所以，
则，作于G，连结DG，又，，
可知，所以，
所以是二面角的平面角．

在中，由，
得，则，，
连结BD，知，在中，根据余弦定理，
得，
所以．
（3）因为直线平面AEF，平面PBC，平面平面，
所以直线直线EF．
又E为线段PB的中点，所以F为线段BC上的中点．
由（2）知，所以．
设BG与EF交点为H，连结AH，
由（1）知，平面平面PBC，平面平面，
所以平面AEF．
所以直线AB与平面AEF所成角为．
又由EF，F为BC上的中点，可得H为BG的中点，
可知，，又，
所以．
直线AB与平面AEF所成角的正弦值为．

19
【详解】（1）连接，由已知得平面ABCD，，
又平面，所以平面平面ABCD，
所以二面角的大小为90°，因为▱ABCD为菱形，∠BAD=60°，
所以∠BAC=30°，又，所以，
在中，，
由三面角余弦定理可得
.
（2）依题意可得，设平面ABCD内任一条直线为，
若过A点时，记AC与的夹角为（），
则，因为，
所以，
又，所以；
若不过A点时，过A点作使得，记AC与的夹角为（），
则，因为，
所以，
又，所以；
综上可得.
（3）连接，，
因为，平面，平面，所以平面，
同理可证平面，
又，平面，
所以平面平面，
因为平面平面，
所以平面平面，
又平面平面，又平面平面，
所以，又即，
所以四边形为平行四边形，
所以，显然P在的延长线上，
因为，所以，
所以，即.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
B
A
B
A
A
B
BCD
ABD
题号
11









答案
BCD