湖北省荆州市沙市中学2025-2026学年高二下学期5月阶段检测数学试题（Word版附解析）

这是一份湖北省荆州市沙市中学2025-2026学年高二下学期5月阶段检测数学试题（Word版附解析），共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1. 在等差数列中，，则（ ）
A. 108B. 62C. 56D. 54
2. 已知的展开式中各项系数的和为2，则展开式中含项的系数为（ ）
A. B. 120C. D. 240
3. 设等比数列的前项和为，若，则（ ）
A. B. 3C. 1D.
4. 某市高二学生参加2026年4月期中考试，数学成绩近似服从正态分布，全市共有10000名考生，据此估计，该市期中考试数学分数介于75到115之间的人数为（ ）
参考数据：若，则，，.
A. 6636B. 8186C. 8400D. 9759
5. 已知盒中有6个灯泡，其中4个正品，2个次品．每次取出1个，取出后不放回，直到取出2个正品为止．设X为取出的次数，则（ ）
A. B. C. D.
6. 用4个1、3个2、3个3组成一个十位数，则3个2相邻的十位数的个数为（ ）
A. 280B. 420C. 720D. 1680
7. 已知为圆上的不同两点，过两点分别作圆的切线，且两切线的交点在直线上，则的最小值为（ ）
A. B. 4C. 6D.
8. 如果方程能确定是的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数，隐函数的求导方法如下：在方程中，把看成的函数，则方程可看成关于的恒等式，在等式两边同时对求导，然后解出即可，例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得，那么曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题
9. 某学校有甲、乙、丙三个社团，人数分别为、、，现采用分层抽样的方法从中抽取人，进行某项兴趣调查.已知抽出的人中有人对此感兴趣，有人不感兴趣，现从这人中随机抽取人做进一步的深入访谈，用表示抽取的人中感兴趣的学生人数，则（ ）
A. 从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为人、人、人
B. 随机变量
C. 随机变量的数学期望为
D. 若事件“抽取的3人都感兴趣”，则
10. 已知双曲线：的渐近线与圆：相切，记的左、右焦点分别为，，为上一点，且，与圆交于，两点，则（ ）
A. 的离心率为2B. 的渐近线方程为
C. D. 若，则
11. 如图，过原点斜率为的直线与曲线交于两点以下结论中正确的有（ ）
A. 的取值范围是
B. 函数有两个极值点
C. 当时先减后增且恒为负
D.
三、填空题
12. 在10件产品中有5件合格品，5件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到合格品的概率为______
13. 对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，______．
14. 已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率不为零的直线与C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与y轴交于点E，若，则________．
四、解答题
15. 已知数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
16. 如图，在多面体中，平面平面，四边形为直角梯形，四边形为平行四边形，．
（1）证明：；
（2）若点是中点，求点到平面的距离．
17. 泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，其中为自然对数的底数．
（1）当时，泊松分布可以用正态分布来近似，当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为．若，求的值；
（2）设，当且时，二项分布可近似看作泊松分布，即，其中.
某工厂生产件电子元器件，次品率为，各元件是否为次品相互独立，记为产品中的次品数，按泊松分布近似计算．
（i）若，求产品中恰有2件次品的概率；
（ii）求使得最大时的值．
（参考数据：；若，则有，，）
18. 如图，椭圆的左、右顶点分别为，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程：
（2）过点作两条互相垂直的直线、与椭圆交于两点．
（ⅰ）证明直线过定点，并求出该定点坐标：
（ⅱ）求面积的最大值．
19. 已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若，求的最大值；
（3）若函数有零点，证明：．