2025--2026学年山东省济南第三中学等高一下册期中学情检测数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年山东省济南第三中学等高一下册期中学情检测数学试题 [含答案]，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题:每小题5分，共40分.每题的四个选项，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数（i为虚数单位），则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
2. 下列命题正确的是（ ）
A. 三个点可以确定一个平面B. 一条直线和一个点可以确定一个平面
C. 两条直线可以确定一个平面D. 长方体一定是直四棱柱，正四棱柱一定是长方体
3. 在中，内角、、的对边分别为、、，，，，则（ ）
A. B. C. 或D.
4. 圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知平面向量，，则向量在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
6. 在中，若，，，则三角形解的个数为（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 不确定
7. 如图，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（ ）
A. B. C. D.
8. 图1为迪拜世博会中国馆，建筑名为“华夏之光”，外观取自中国传统灯笼，寓意希望和光明.它的形状可视为内外两个同轴圆柱.某爱好者制作了一个迪拜世博会中国馆的实心模型（如图2），已知模型内层底面直径为，外层底面直径为，且内外层圆柱的底面圆周都在同一个球面上若该模型的表面积为，则此模型外接球的体积为（ ）

A. B. C. D.
二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数的实部为，则下列说法正确的是（ ）
A. 复数的虚部为B. 在复平面内对应的点位于第三象限
C. D. 复数的共轭复数
10. 已知向量，满足，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 存在非零实数，使得D. 向量与的夹角为
11. 如图，在棱长为1的正方体中，已知M，N，P分别是棱，，BC的中点，点满足，，下列说法正确的是（ ）

A. 平面
B. 若Q，M，N，P四点共面，则
C. 若，点在侧面内，且平面，则点的轨迹长度为
D. 若，则以为顶点，以过M、N、Q三点作该正方体的截面为底面的棱锥的表面积为
第Ⅱ卷 非选择题
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，若，则_________.
13. 如图，是水平放置的的直观图，则的周长为________．
14. 如图，在平面四边形中，，，，，则______，四边形的面积为______.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知复数．
（1）若为纯虚数，求的值；
（2）若为实数，求的值；
（3）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围．
16. 如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，，E是PD的中点．
（1）求证：BC∥AD；
（2）求证：CE∥平面PAB．
17. 如图，已知正方形的边长为2，F为的中点，.
（1）若，求的值；
（2）求的取值范围.
18. 已知为锐角三角形，分别为三个内角的对边, 且，
（1）求；
（2）若，的面积为，求的周长；
（3）若，求周长的取值范围.
19. 如图1，设半圆的半径为2，点三等分半圆，，，分别是，，的中点，将此半圆以为母线卷成一个圆锥如图在图2中完成下列各题.
（1）求在圆锥中的线段的长；
（2）求四面体的体积；
（3）若是的中点，在线段上是否存在一点，使得平面若存在，求的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由.
数学
第Ⅰ卷 选择题
一、单选题:每小题5分，共40分.每题的四个选项，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数（i为虚数单位），则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：由复数的除法运算消去分母的即可求解.
解答过程：由题意得，
所以的虚部为.
2. 下列命题正确的是（ ）
A. 三个点可以确定一个平面B. 一条直线和一个点可以确定一个平面
C. 两条直线可以确定一个平面D. 长方体一定是直四棱柱，正四棱柱一定是长方体
答案：D
解析：
思路：根据平面的基本性质求解.
解答过程：三个不共线的点可以确定一个平面，A错误；
一条直线和直线外一点可以确定一个平面，B错误；
两条异面直线不能确定平面，C错误.
长方体一定是直四棱柱，正四棱柱一定是长方体，D正确.
故选：D.
3. 在中，内角、、的对边分别为、、，，，，则（ ）
A. B. C. 或D.
答案：C
解析：
思路：利用正弦定理求解即可.
解答过程：因为，，，则，故，
由正弦定理得，
由于，故或.
4. 圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：设圆锥的底面圆半径为，由圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，
得该三角形面积为，解得，圆锥的母线，
所以该圆锥的侧面积为.
5. 已知平面向量，，则向量在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：，，，向量在上的投影向量为.
6. 在中，若，，，则三角形解的个数为（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 不确定
答案：C
解析：
思路：先求出，再由正弦定理求出角B即可得解.
解答过程：由题，所以，
又，所以，
所以且由正弦定理，
所以由得或，故三角形解的个数为2.
故选：C.
7. 如图，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据向量线性运算先利用表示，再表示，再根据求结论.
解答过程：因为是的中点，所以，
因为是的靠近的三等分点，所以，
所以．
8. 图1为迪拜世博会中国馆，建筑名为“华夏之光”，外观取自中国传统灯笼，寓意希望和光明.它的形状可视为内外两个同轴圆柱.某爱好者制作了一个迪拜世博会中国馆的实心模型（如图2），已知模型内层底面直径为，外层底面直径为，且内外层圆柱的底面圆周都在同一个球面上若该模型的表面积为，则此模型外接球的体积为（ ）

A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据圆柱的外接球性质以及几何体的表面积列式可得球的半径，进而可得球的体积.
解答过程：设内、外层圆柱的高分别为，外接球的半径为，
由题意可得：，解得，
所以此模型外接球的体积为.
二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数的实部为，则下列说法正确的是（ ）
A. 复数的虚部为B. 在复平面内对应的点位于第三象限
C. D. 复数的共轭复数
答案：ABC
解析：
思路：利用复数乘法运算，复数相关的概念，复数对应点的坐标的特性，复数模的计算公式和共轭复数的概念逐项分析即可.
解答过程：因为，且复数的实部为，
所以，解得：，所以，
对于A，由，所以复数的虚部为，故A正确；
对于B，由复数在复平面内对应的点为，该点位于第三象限，故B正确；
对于C，由，故C正确；
对于D，由复数的共轭复数，故D错误.
10. 已知向量，满足，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 存在非零实数，使得D. 向量与的夹角为
答案：ABD
解析：
思路：由，可判定A正确；利用向量模的计算公式，可判定B正确；结合向量共线的坐标表示，列出方程，求得的值，可判定C不正确；利用向量的夹角公式，可判定D正确.
解答过程：对于A，由，所以，所以A正确；
对于B，由，，所以，所以B正确；
对于C，由，若，可得，
解得，所以不存在非零实数，使得，所以C错误；
对于D，由，可得，且，
设向量与的夹角为，可得，
因为，所以，所以D正确.
11. 如图，在棱长为1的正方体中，已知M，N，P分别是棱，，BC的中点，点满足，，下列说法正确的是（ ）

A. 平面
B. 若Q，M，N，P四点共面，则
C. 若，点在侧面内，且平面，则点的轨迹长度为
D. 若，则以为顶点，以过M、N、Q三点作该正方体的截面为底面的棱锥的表面积为
答案：ACD
解析：
思路：对于A，由面面平行的性质可得；对于B，延展平面可得平面过的中点，可得；对于C，先找到的轨迹，再由几何关系算出长度；对于D，若，确定正六边形相关边长，进而求其表面积.
解答过程：
对于A，在正方体中平面平面，平面，故平面，故正确；
对于B，延展平面，结合平面的基本性质及正方体的结构特征得截面如图（2），易知平面过的中点，所以，错误；
对于C，如图（1），若，取的三等分点(靠近)，的中点，则，
平面，平面，故平面，同理平面，
又且都在平面，所以平面平面，
当点在线段上时，平面，则满足平面，所以即为的轨迹，
由，得，正确；
对于D，如图（2），，则正六边形的面积为，的面积为，所以棱锥的表面积为，故正确.
故选：ACD
第Ⅱ卷 非选择题
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，若，则_________.
答案：0
解析：
解答过程：因为向量，所以，
若，则，解得.
13. 如图，是水平放置的的直观图，则的周长为________．
答案：
解析：
思路：根据斜二测画法的规则得到直角三角形的直角边长，用勾股定理求出斜边长可得结果.
解答过程：根据斜二测画法的规则可知，，，，
所以，
所以的周长为.
故答案为.
方法提示：关键点点睛：掌握斜二测画法的规则是解题关键.
14. 如图，在平面四边形中，，，，，则______，四边形的面积为______.
答案： ①. ②.
解析：
思路：在中，利用余弦定理，求得和，得到，再由两角差的正弦公式，求得，结合三角形的面积公式，即可求解.
解答过程：在中，，，且，
由余弦定理得，
可得,
又由，
可得
因为，
则，
所以,
，
所以四边形的面积为.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知复数．
（1）若为纯虚数，求的值；
（2）若为实数，求的值；
（3）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围．
答案：（1）
（2）或
（3）解析：
思路：（1）（2）（3）利用复数的定义，以及复数的几何意义，列出相应的关系式，即可求解.
（1）由复数，因为复数为纯虚数，可得，解得．
（2）由复数为实数，可得，
解得或．
（3）由复数在复平面内对应的点位于第二象限，则满足，
解得，即的取值范围为．
16. 如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，，E是PD的中点．
（1）求证：BC∥AD；
（2）求证：CE∥平面PAB．
答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：
思路：（1）根据线面平行的性质定理即可证明；
（2）取PA的中点F，连接EF，BF，利用中位线的性质，平行四边形的性质，以及线面平行的判断定理即可证明．
（1）在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，BC⊂平面ABCD，
平面ABCD∩平面PAD＝AD，∴BC∥AD．
（2）取PA的中点F，连接EF，BF，∵E是PD的中点，
∴EF∥AD，，
又由（1）可得BC∥AD，且，∴BC∥EF，BC＝EF，
∴四边形BCEF是平行四边形，∴EC∥FB，
∵EC⊄平面PAB，FB⊂平面PAB，
∴EC∥平面PAB．
17. 如图，已知正方形的边长为2，F为的中点，.
（1）若，求的值；
（2）求的取值范围.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）建立平面直角坐标系，表示出，进而根据求解即可；
（2）先结合（1）表示出，进而求解即可.
（1）如图所示，以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，
因为，则，解得.
（2）由（1）知，，，
则，
当时，，即的取值范围是.
18. 已知为锐角三角形，分别为三个内角的对边, 且，
（1）求；
（2）若，的面积为，求的周长；
（3）若，求周长的取值范围.
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式推出，可求得答案；
（2）由三角形的面积公式求出，代入余弦定理可求出，即可求出的周长.
（3）由正弦定理表示出，结合两角差的正弦公式可化简得到，确定角的范围，结合正弦函数性质即可求得答案.
（1）在中，因为，
所以，即，
因为所以，故 ，则；
（2）因为的面积为，即，
所以.
由余弦定理得.
解得, 所以周长为.
（3）由正弦定理得，即，
则，
因为为锐角三角形，则 ，故，
所以，则，
故，
故周长的取值范围为.
19. 如图1，设半圆的半径为2，点三等分半圆，，，分别是，，的中点，将此半圆以为母线卷成一个圆锥如图在图2中完成下列各题.
（1）求在圆锥中的线段的长；
（2）求四面体的体积；
（3）若是的中点，在线段上是否存在一点，使得平面若存在，求的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由.
答案：（1）
（2） （3）在线段OB上存在点E，且=3，证明见解析
解析：
思路：（1）将此半圆以为母线卷成一个圆锥后，点、为圆锥的底面圆周的三等分点，为等边三角形，通过外接圆半径计算边长，再由计算中位线的长度；
（2）将此半圆以为母线卷成一个圆锥后，母线长为原半圆半径，底面圆周长为原半圆弧长，计算出半径后可以计算出圆锥高，体积即可求解；
（3）通过中位线、平行四边形来构造出线面平行，从而找到点.
（1）在图中，设圆锥的底面圆半径为，
则，解得，
因为在图1中，点、三等分半圆，
所以在图中，点、为圆锥的底面圆周的三等分点，
所以为等边三角形，所以，所以，
又因为点、分别是、的中点，
所以；
（2），
圆锥的高，
所以，
所以，
即四面体的体积为；
（3）在线段OB上存在点E，且，使得平面ABC，
理由如下：如图，取AC的中点F，且D是AN的中点，连接DF，
所以，
取CB的四等分点G，使，连接GE，
因为，所以，，
所以，，
所以四边形DFGE是平行四边形，所以
又平面ABC，平面ABC，所以平面