2025--2026学年山东省济宁市实验中学等校高一下册期中质量检测数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年山东省济宁市实验中学等校高一下册期中质量检测数学试题 [含答案]，共22页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 用斜二测画法画一个边长为4的正方形的直观图，则直观图的面积是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知是不共线的向量，且，则（ ）
A. 三点共线B. 三点共线
C. 三点共线D. 三点共线
4. 在中，，是角，所对的边，，，，则边的值为（ ）
A. B. C. D.
5. 在长方体中，分别为和的中点，则下列说法错误的是（ ）
A. 四点共面B. 三线共点
C. 与是异面直线D. 与是相交直线
6. 已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为（ ）
A. B. C. D.
7. 正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是，则该棱台的体积是（ ）
A. B. C. 28D. 56
8. 若复数满足，则（ ）
A. B. 2C. D. 3
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9. 已知复数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的虚部为1B.
C. D. 为纯虚数
10. 已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个半圆，则下列结论正确的是（ ）
A. 圆锥的侧面积为B. 圆锥的体积为
C. 圆锥的外接球的表面积为D. 圆锥的内切球的体积为
11. 在中，角所对的边分别为，．若为的垂心，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 的面积为
C. 边的最小值为D. 若，则为等腰三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量，若，则__________．
13. 某校兴趣小组想要测量某塔的高度，在塔附近选取了相距50米的（与该塔的塔底在同一水平面上）两个测量点，从点观测该塔塔顶的仰角为，从点观测该塔塔顶的仰角为，且，则这座塔的高度__________米．
14. 在中，角所对的边分别为，且，若，，则的取值范围是__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知复数满足．
（1）求复数；
（2）若复数是关于的方程的一个根，求实数的值．
16. 已知向量．
（1）求；
（2）求与的夹角．
17. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，且，且为的中点．
（1）求证：平面；
（2）设平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并证明．
18. 如图，在中，，与交于点．
（1）试用表示和；
（2）若．
（i）求的大小；
（ii）若以为底面的直三棱柱的所有顶点均在半径为的球的球面上，求直三棱柱的体积．
19. 在中，角所对的边分别为，且．
（1）求角的大小；
（2）若平分交于，且，求边上的高；
（3）若为锐角三角形，为边的中点，求中线长度的取值范围．
数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
答案：B
解析：
解答过程：因为，
所以复数在复平面内对应的点为，位于第二象限.
2. 用斜二测画法画一个边长为4的正方形的直观图，则直观图的面积是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：根据斜二测画法的原则可知，，，
所以对应直观图的面积为.
3. 已知是不共线的向量，且，则（ ）
A. 三点共线B. 三点共线
C. 三点共线D. 三点共线
答案：B
解析：
思路：利用平面向量共线定理依次判断即可.
解答过程：对于A，若共线，则存在实数使得，所以，
由于是不共线的向量，因此对应系数必须相等，即且，矛盾，因此不共线，故A错误；
对于B，，因此，
又因为向量与有一个公共点，因此三点共线，故B正确；
对于C，若共线，则存在实数使得，所以，
由于是不共线的向量，因此对应系数必须相等，即且，矛盾，因此不共线，故C错误；
对于D，，
若共线，则存在实数使得，所以，
由于是不共线的向量，因此对应系数必须相等，即且，矛盾，因此不共线，故D错误；
4. 在中，，是角，所对的边，，，，则边的值为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据正弦定理求解即可.
解答过程：由正弦定理得，，所以.
5. 在长方体中，分别为和的中点，则下列说法错误的是（ ）
A. 四点共面B. 三线共点
C. 与是异面直线D. 与是相交直线
答案：D
解析：
思路：根据已知证明即可判断A，利用平面的基本性质证明共点判断B，应用异面直线的定义判断C、D.
解答过程：由分别为和的中点，则，
而，故为平行四边形，
所以，则，故四点共面，A对，
由A知与共面，且，，所以与必交于一点，
若，即，而平面，则平面，
由，平面，则平面，
由平面平面，故，
综上，三线共点，B对，
由平面，平面，平面，，则与是异面直线，C对，
由平面，平面，平面，，则与是异面直线，D错.
6. 已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：利用在方向上的投影向量的定义求解.
解答过程：因为向量，
所以，，
所以在方向上的投影向量的坐标为.
7. 正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是，则该棱台的体积是（ ）
A. B. C. 28D. 56
答案：A
解析：
思路：将正四棱台补成正四棱锥，根据长度比例关系结合锥体的体积运算求解即可.
解答过程：将正四棱台补成正四棱锥，O为底面中心，如图所示，
则，，可得，，
所以该棱台的体积是.
8. 若复数满足，则（ ）
A. B. 2C. D. 3
答案：A
解析：
思路：首先分析题意，设出复数，求出复数的模找变量之间的关系，整体代入求解即可.
解答过程：设，则，
所以，
因为，所以
，即，
则
.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9. 已知复数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的虚部为1B.
C. D. 为纯虚数
答案：BC
解析：
解答过程：，故的虚部为，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
是实数，故D错误.
10. 已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个半圆，则下列结论正确的是（ ）
A. 圆锥的侧面积为B. 圆锥的体积为
C. 圆锥的外接球的表面积为D. 圆锥的内切球的体积为
答案：ACD
解析：
思路：对于AB，求出圆锥的母线长和高，即可求出侧面积和体积；对于C，求出外接球半径，即可得出外接球体积；对于D，求出内切球半径，即可得出内切球表面积.
解答过程：设圆锥的底面半径，母线长为，
则侧面展开图半圆的弧长等于圆锥底面周长，即，解得，
所以圆锥的高.
对于A：圆锥侧面积，A正确.
对于B：圆锥体积，B错误.
对于C：设外接球的半径为，球心在圆锥的高上，
由勾股定理得，，即，解得，
圆锥的外接球的表面积，C正确.
对于D：设内切球半径为，圆锥轴截面为边长为2的等边三角形，
则，解得.
所以内切球的体积为，D正确.
11. 在中，角所对的边分别为，．若为的垂心，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 的面积为
C. 边的最小值为D. 若，则为等腰三角形
答案：BCD
解析：
思路：化简得，利用余弦定理判断A；根据，可得，再由三角形面积公式判断B；由余弦定理和基本不等式判断C；设中点为，则，得三点共线，则判断D.
解答过程：根据题意，，即，
所以，
由于，则，A错误；
由，即，
所以，则，B正确；
由余弦定理，，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为，C正确；
设中点为，则，
所以三点共线，
因为为的垂心，即，则，
所以，则为等腰三角形，D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量，若，则__________．
答案：
解析：
解答过程：由向量，可得向量，
又，所以，解得.
13. 某校兴趣小组想要测量某塔的高度，在塔附近选取了相距50米的（与该塔的塔底在同一水平面上）两个测量点，从点观测该塔塔顶的仰角为，从点观测该塔塔顶的仰角为，且，则这座塔的高度__________米．
答案：
解析：
解答过程：设塔高米，
在中，从点观测该塔塔顶的仰角为，得，所以；
在中，从点观测该塔塔顶的仰角为，得，所以；
在中，已知，，
由余弦定理得，
得，
化简得，解得 或（舍去），
即塔高为米.
14. 在中，角所对的边分别为，且，若，，则的取值范围是__________．
答案：
解析：
思路：化简得，根据余弦定理，得，再对两边平方得，可解问题.
解答过程：由，得,
即
即，
根据余弦定理，，
得，
又，则，
得，
则.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知复数满足．
（1）求复数；
（2）若复数是关于的方程的一个根，求实数的值．
答案：（1）
（2）解析：
（1）因为，所以；
（2）因为复数是关于的方程的一个根，
所以，展开得，
所以，解得.
16. 已知向量．
（1）求；
（2）求与的夹角．
答案：（1）6 （2）
解析：
思路：（1）利用数量积的运算律计算即可；
（2）利用向量的夹角公式计算即可.
（1）已知向量
所以，，解得，
所以
（2）因为，
又因为．
所以，设与的夹角为，且，
所以，得，即与的夹角为.
17. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，且，且为的中点．
（1）求证：平面；
（2）设平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并证明．
答案：（1）证明见解析
（2）平面，证明见解析
解析：
思路：（1）取线段中点，利用中位线及已知平行关系构造平行四边形，从而证得，进而推出线面平行；
（2）由已证的线面平行及线在另一平面内，得两平面交线与该线平行，从而该交线平行于目标平面.
（1）证明：设为的中点，连接，．
又因为为的中点，所以，，
又因为，，所以，，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，
所以平面
（2）直线与平面平行，证明如下：
因为平面，平面，平面平面，所以，
又因为平面，平面，所以平面.
18. 如图，在中，，与交于点．
（1）试用表示和；
（2）若．
（i）求的大小；
（ii）若以为底面的直三棱柱的所有顶点均在半径为的球的球面上，求直三棱柱的体积．
答案：（1），
（2）（i）；（ii）
解析：
思路：（1）设，利用基底表示，再结合三点共线可求；
（2）（i）结合（1）以及数量积的运算律可得；
（ii）先利用余弦定理得，再利用正弦定理得出△外接圆半径，利用得出直三棱柱的高，即可利用体积公式计算.
（1）因为，所以．
设，则，
则，
又，三点共线，
所以存在实数使得，即，
因为不共线，所以，解得，
所以.
（2）（i）因为，
所以
，
解得，又，所以；
（ii）在△中，由余弦定理，
得到，解得，
所以△外接圆的直径为，解得，
设直三棱柱的高为，其外接球的半径为，
则，即，解得，
又△的面积为，
所以直三棱柱的体积为.
19. 在中，角所对的边分别为，且．
（1）求角的大小；
（2）若平分交于，且，求边上的高；
（3）若为锐角三角形，为边的中点，求中线长度的取值范围．
答案：（1）
（2） （3）．
解析：
思路：(1)根据正弦定理和辅助角公式计算即可；
(2)根据面积，结合余弦定理计算即可；
(3)利用向量法表示，结合三角函数求解取值范围.
（1）由正弦定理得
因为，
所以，
所以，
因为，所以，即
又所以
（2）因为平分交于，所以，
又，即，
化简得．
在△中，由余弦定理得 ，即，
所以 解得
又，所以，
所以边上的高为．
（3）因为为边的中点，所以，
所以，
由正弦定理得 ，所以，，
所以
因为△为锐角三角形，所以，即，
所以，所以，
所以，所以，
所以中线长度的取值范围是．