2025--2026学年安徽芜湖县第一中学高二下册4月质量检测数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年安徽芜湖县第一中学高二下册4月质量检测数学试题 [含答案]，共5页。试卷主要包含了 已知函数，则， 在的展开式中，含的项的系数为， 已知直线与，则“”是“”的等内容，欢迎下载使用。
1. 已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知等差数列中，其前项和为，则（ ）
A. 80B. 90C. 100D. 110
3. 在的展开式中，含的项的系数为（ ）
A. 90B. 100C. 110D. 120
4. 已知直线与，则“”是“”的（ ）
A. 充分且不必要条件B. 必要且不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
5. 已知4名女孩，2名男孩排成一排照相，则男孩不在两边的排法一共有（ ）
A. 144种B. 200种C. 224种D. 288种
6. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，满足的面积为，其中为坐标原点，为双曲线的半焦距，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2D.
7. 已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知三棱台中，平面平面，，底面满足且，点在棱上运动，则点到平面的距离的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，且第4项与第7项的二项式系数相等，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 展开式中的系数和等于二项式系数和
C.
D.
10. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若，则
C. 若，则
D. 若直线的斜率为，则的面积为
11. 已知数列满足若，数列和的前项和分别为和，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知圆，直线与圆的交点为.若，则__________.
13. 在的展开式中，含的项的系数为__________.
14. 已知正整数严格递增数列中，满足，且数列中各项数值为奇数的个数与数值为偶数的个数相等，若满足条件的不同数列的个数为36，则的值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. （1）计算的值；
（2）若，求的值.
16. 已知数列满足，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
17. 已知如图是由两个全等的梯形和沿着公共边折叠而成的立体图形，其中,.
（1）证明：；
（2）若，点为的中点，求直线与平面所成角的余弦值.
18. 已知椭圆的离心率为，椭圆的左､右顶点分别为.过点的直线与椭圆的交点分别为，当直线垂直于轴时，.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线的斜率与直线的斜率的乘积是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由；
（3）直线与直线的交点为，过坐标原点作平行于直线的直线与直线相交于点，求的值.
19. 已知函数.
（1）求在点处的切线方程；
（2）若恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时，证明.
数学
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：求导后计算即可得.
解答过程：，所以.
2. 已知等差数列中，其前项和为，则（ ）
A. 80B. 90C. 100D. 110
答案：B
解析：
解答过程：因为数列是等差数列，所以，可得.
3. 在的展开式中，含的项的系数为（ ）
A. 90B. 100C. 110D. 120
答案：D
解析：
解答过程：，
的二项展开式的通项为，
所以的系数为.
4. 已知直线与，则“”是“”的（ ）
A. 充分且不必要条件B. 必要且不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
答案：C
解析：
思路：借助直线平行的性质及充分条件与必要条件定义计算即可得.
解答过程：若，则，解得或，
当时，，两直线重合，不符；
当时，，符合题意；
所以，即“”是“” 的充要条件.
5. 已知4名女孩，2名男孩排成一排照相，则男孩不在两边的排法一共有（ ）
A. 144种B. 200种C. 224种D. 288种
答案：D
解析：
思路：分2名男孩相邻和不相邻讨论求解.
解答过程：根据题意，当2名男孩相邻不在两边时，排法有种方法；
当2名男孩不相邻不在两边时，有种方法；
所以一共有288种方法.
6. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，满足的面积为，其中为坐标原点，为双曲线的半焦距，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2D.
答案：A
解析：
解答过程：，整理可得，可得，
整理可得，可得，可得，可得.
7. 已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：不等式可整理为，
设函数，
令，解得：，，解得：，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
则，所以，
则实数的取值范围是.
8. 已知三棱台中，平面平面，，底面满足且，点在棱上运动，则点到平面的距离的最大值为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：取的中点，根据底面是以为直角顶点的等腰直角三角形，得到且．再利用面面垂直和棱台的相似关系建立空间直角坐标系，设在上的位置参数为，求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式把问题转化为二次函数最值问题．
解答过程：
取的中点，连接，因为，所以，
又因为，，所以，从而，
且是等腰直角三角形，故，
设为的中点．因为为三棱台，所以，
又因为，所以四边形为等腰梯形，故，
因为平面平面，且交线为，所以平面，
在等腰梯形中，，
由，得，
所以；
以为原点，， ，所在直线分别为 ， ，轴，建立空间直角坐标系，
则，，
由于三棱台的上、下底似，且，
所以，故，
因为点在棱上运动，故可设，
其中，则，
所以，
设平面 的法向量为，
，
令，则，
所以平面的法向量，
又，故点到平面的距离为，
即，
化简得，
因为，且，
所以当时，取得最小值，此时取得最大值，且.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，且第4项与第7项的二项式系数相等，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 展开式中的系数和等于二项式系数和
C.
D.
答案：ABC
解析：
解答过程：由题意可得，则，故A正确；
因为，所以展开式的二项式系数和为，当时，展开式中的系数和为，故B正确；
令，得，令，得，
两式相减可得，故C正确；
令，则，
令，则，所以，故D不正确.
10. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若，则
C. 若，则
D. 若直线的斜率为，则的面积为
答案：ACD
解析：
思路：根据抛物线基本性质(焦点坐标、焦半径公式)、焦点弦性质(倒数和公式)、直线与抛物线交点计算及三角形面积公式展开，逐一验证选项。
解答过程：焦点，可得，计算可得，选项A正确；
若，由焦半径公式，可得，代入得，故选项B错误；
根据倒数和公式可得，若，可得，选项C正确；
直线的方程，联立，可得，
则，点到直线的距离为，
所以的面积为，选项D正确.
11. 已知数列满足若，数列和的前项和分别为和，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：AC
解析：
思路：先由分段递推关系推出奇数项子列 、偶数项子列 的递推式，通过构造等比数列分别求出 通项，再依次代入验证 A、B 选项；接着利用等比求和分别求出 前 项和 、 前 项和 ，由 得到偶数项总前 项和公式，代入 验证 C，代入 验证 D，最终判定 A、C正确，B、D 错误.
解答过程：选项A：，可得，整理可得，可得数列为以为首项，以为公比的等比数列，
所以，可得，所以，故选项A正确；
选项B：，可得，整理可得，可得数列为以为首项，以为公比的等比数列，
所以，可得，所以，故选项B不正确；
选项C：，计算可得，可得，故选项C正确；
选项D：设数列的前项和为，
，
可得，故选项D错误；
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知圆，直线与圆的交点为.若，则__________.
答案：2
解析：
思路：应用点到直线距离结合弦长公式计算求解参数.
解答过程：圆的圆心为，
则圆心到直线的距离，
则，可得.
13. 在的展开式中，含的项的系数为__________.
答案：
解析：
解答过程：因为，
所以展开式的通项为，，
含项的系数为.
14. 已知正整数严格递增数列中，满足，且数列中各项数值为奇数的个数与数值为偶数的个数相等，若满足条件的不同数列的个数为36，则的值为__________.
答案：10
解析：
思路：对分类讨论，注意可以为偶数也可以为奇数，分类讨论的时候需注意奇数和偶数的数量，再利用组合数的运算法则进行计算.
解答过程：数列为严格递增的正整数，共6项，首项（奇数），末项，
要求数列中恰有3个奇数､3个偶数，
分情况讨论：
若为偶数，则最大项为偶数，即是数列中3个偶数之一，
还需从小于的偶数中选2个，从大于1且小于的奇数中选2个（1已固定），
小于的偶数共个，选2个：，大于1且小于的奇数共个，选2个：，
总数列个数为，即，计算可得；
若为奇数，则最大项为奇数，即是数列中3个奇数之一，
还需从大于1且小于的奇数中选1个，从小于的偶数中选3个，
设，则大于1且小于的奇数共有个，
从中选1个奇数的选择数为，小于的偶数共有个，从中选3个的选择数为，
由，得，无整数解，
综上所述，.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. （1）计算的值；
（2）若，求的值.
答案：（1）87；（2）
解析：
思路：（1）利用排列数公式、组合数公式计算可得答案；
（2）利用组合数公式计算可得答案.
解答过程：（1），
，
故原式；
（2）等式，
整理可得
计算可得，
整理可得，可得（舍去）.
16. 已知数列满足，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
答案：（1）；（2）.
解析：
解答过程：试题分析：（1）由于数列满足，且．可得时，，再利用等比数列的前项和公式即可得出．
（2），利用“裂项求和”即可得出．
试题解析：
（1）∵数列满足，且，
∴时，
.
当时也成立，∴.
（2），
∴数列的前项和
.
17. 已知如图是由两个全等的梯形和沿着公共边折叠而成的立体图形，其中,.
（1）证明：；
（2）若，点为的中点，求直线与平面所成角的余弦值.
答案：（1）证明见解析
（2）解析：
思路：（1）取点为上一点，，连接，得到证得平面，进而得到；
（2）以为轴，以为轴，以过点的平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，求出直线方向向量及平面法向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得.
（1）因为在梯形中，,.
所以，
取点为上一点，且，连接，
则易得
因为平面，所以平面，
又因为平面，所以；
（2）由（1）得
所以，又，
由余弦定理得,所以，
如图所示，以为轴，以为轴，以过点的平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系.
可得，
，
设平面的法向量为，
则,故可取
设直线与平面所成角为，
则
所以.
18. 已知椭圆的离心率为，椭圆的左､右顶点分别为.过点的直线与椭圆的交点分别为，当直线垂直于轴时，.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线的斜率与直线的斜率的乘积是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由；
（3）直线与直线的交点为，过坐标原点作平行于直线的直线与直线相交于点，求的值.
答案：（1）
（2）是，
（3）24
解析：
思路：（1）由直线垂直于轴时知椭圆经过点，结合离心率列出关于的方程组，解得即得椭圆方程；
（2）设直线的方程为，代入并根据韦达定理求得，再求出，将代入即得答案；
（3）由（2）中韦达定理可得到，分别求出直线、并联立得到，解得，设点的坐标为，根据点在和上，求出直线和的方程，进而求出点的坐标，即可求得.
（1）因为椭圆的离心率为，可得，即，①
因为过点的直线垂直于轴时截得弦长，
所以椭圆经过点.
所以，②
由①②解得，
所以椭圆的方程为；
（2）由（1）可知，设直线的方程为，
联立，可得，
可得，
直线的斜率分别为，
，
所以，
因为在直线：上，所以，
所以
，
代入式子可得；
（3）由（2）知，可得，所以，
直线的方程为，直线的方程为，
两条直线联立可得
则，
解得，所以设点的坐标为，
因为过原点平行于的直线斜率为，且点在上，
则，
故该直线的方程为，
点在上，则，
故直线的方程为.
联立，解得，
所以点的坐标为，
所以.
19. 已知函数.
（1）求在点处的切线方程；
（2）若恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时，证明.
答案：（1）
（2） （3）证明见解析
解析：
思路：（1）利用导数的几何意义，求得切线的斜率，从而求得切线的方程；
（2）根据恒成立，分离参数，得，构造函数，利用导数求得函数的最大值，即可得到实数的取值范围；
（3）原不等式等价于 ，构造函数，利用导数分析的单调性，可得，即原不等式得证.
（1）函数，则，
所以 .
所以切线方程为，即；
（2）因为恒成立，即恒成立，即.
令，
令，得，
当时，单调递增；当时，单调递减；
故在处取得极大值，即最大值，最大值为，
所以，即实数的取值范围为；
（3）当时，，原不等式等价于，即 .
令，则，
令，则 恒成立，
故在上单调递增.
，
所以存在唯一使得，即.
所以在上单调递减，在上单调递增，故.
，
令 ，
所以在上单调递增.
，
因此，即，
因此，恒成立，即 .