安徽省芜湖市第一中学2025-2026学年高二下学期期中检测数学试题

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单选题
定义在 R 上的函数 f ( x) ，若 f (1) 
1
2026
，则lim
x0
f (1 2026x)  f (1)  （ ）
x
1
 1
2
C．2D．4
 x  2 y  2z 3 展开式中， xyz 的系数为（ ）
A． 32
B．32C． 24
D．24
下列运算正确的是（ ）
sin π   cs π
4x   x  4x1
12 12

x5    1 x6
lg x  1
56xln6
已知函数 f  x 
x
ln  x 1  x
，则 y  f  x 的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
离散型随机变量 X 的分布列如下：
X
1
2
3
4
P
m
0.3
n
0.2
若 E  X   2.7 ，则下列结论错误的是（ ）
A． m  n  0.5
C． D  X   0.81
B． E 3X 1  7.1
D． P  X  2  0.5
已知函数 f  x  x 1ex ，方程 f  x  a a  R 解的个数有两个，则a 的取值范围为（ ）
a   1
e2
 1
e2
 a  0
a   1 或a  0
e2
a   1
e2
某空间站由 A ， B ， C 三个舱构成，某次实验需要 5 名宇航员同时在 3 个舱中开展，每个人只能去 1 个舱，每个舱至少安排 1 名宇航员，其中宇航员甲只能去 A 舱，则不同的安排方法的种数为（ ）
A．35B．36C．42D．50
已知函数 f (x)  xex  ax  bex  ab(a  0) ，若 f (x)  0 ，则 b 1 最大值为（ ）
a
e2
e1
eD． e2
多选题
下列不等式中，在0, ∞ 上恒成立的是（ ）
2x  x2
sin x  x
ex  2x
ln x  1  1
x
已知事件 A，B，且 P  A  1 ， P B A  1 ， P B A  3 ，则（ ）
355
5
P B A  2
P  AB  1
15
5
P  AB   2
P  B  4
15
已知函数 f  x  ln x  1 
2
x  1
，则下列结论正确的是（ ）
f  x 的单调递增区间是0,1 ， 1, 
f  x 的值域为R
f lg2026 2027  f lg2027 2026  1
eb 1
若 f a  b ， a 0,1 ， b 0,  ，则aeb  1.
eb 1
填空题
已知曲线 y  x  lnx 在点1,1 处的切线与曲线 y  ax2  2a  3 x 1 只有一个公共点，则a  .
某小微企业制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是1.6πr2 分，其中 r（单位：cm）是瓶子的半径，已知每出售 1mL 的饮料，可获利 0.4 分，且能制作的瓶子的最大半径为 6cm，当每瓶饮料的利润
最大时，瓶子的半径为cm．
已知1 2026x100  2026  x100  a  a x  a x2 L a x99  a x100 ，若存在k 0, 1, 2, L, 100 使得
01299100
ak  0 ，则k 的最大值为．
解答题
已知函数 f (x)  1 x3  3x2 10x 1 ．
3
求曲线 y  f (x) 在( 0, 1) 处的切线方程；
若 P 是曲线 y  f (x) 上一动点，求 y  f (x) 在 P 处的切线 l 的倾斜角θ的取值范围．
某学校有 A，B 两家餐厅，经过统计分析发现：学生第一天会随机地选择一家餐厅用餐，然后前一天选
择了 A 餐厅的学生第二天选择 A
1
餐厅的概率为 4 ，选择 B
3
餐厅的概率为 ；前一天选择
4
B 餐厅的学生第二
2
天选择 A 餐厅的概率为 1 ，选择 B
餐厅的概率也是 1 ，如此往复.记同学甲第 n
天选择 B 餐厅的概率为 pn .
2
求同学甲第二天选择 B 餐厅的概率；
证明：数列 p  3  为等比数列，并求出 p .
 n5 n

已知函数 f (x)  m x2  x  ln x (m  R) .
2
当m  2 时，求函数 f ( x) 的单调区间；
若x  0 ，不等式 f (x)  x2 恒成立，求实数m 的取值范围.
一辆汽车上有n 个座位，编号从 1 到n ．现在编号为 1 到n 的乘客依次上车，编号为 1 的乘客比较顽皮，上了车后是随机等可能的选择座位坐下，编号为 2 的乘客上了车后会先看看 2 号座位有没有人，如果有， 那么他从剩下的空座位中随机等可能的选择座位坐下，如果 2 号座位没有人，那么他就在 2 号座位坐下， 编号为 3 及后面的乘客的选择座位方式与 2 号相同，即自己对应的号码座位上有人，则从剩下座位中随机 等可能挑选座位坐下，如果自己对应的号码座位上没有人，则坐在自己对应号码的座位上．
当n  4 时，求 4 号乘客坐在编号 4 号座位上的概率 P ；
当n  4 时，设 X 为刚好坐在了自己座位上的乘客数（规定：编号为i 的乘客坐在了编号为i 的座位上为坐在了自己的座位上），求随机变量 X 的期望．
已知函数 f  x  ax  ex 1.
讨论 f  x 的极值；
已知 a  1 ，函数 f ( x) 有两个不同的零点 x1 , x2  x1  x2  和一个极值点 x0 ，记 A x1 , f  x1 ， B  x2 , f  x2  ，
C  x0 , f  x0 ，试判断 AC 与 BC 的大小关系，并说明理由.
参考答案
1．A
2．C
3．D
4．C
5．D
6．B
7．D
8．A
BCD
ABC
ABD
2
0 或 1
6
14．49
15．（1）方法一：由导数的定义及几何意义可得

1 (Δx)3  3(Δx)2 10Δx
f (0)  lim
f (Δx)  f (0)  lim 3
 lim 1 (Δx)2  3Δx 10   10 ．
Δx0Δx
Δx0Δx
Δx0  3

方法二： f (x)  x2  6x 10 ，则 f (0)  10
所以在 P(0,1) 处的切线方程为 y 1  f (0)(x  0) ，整理得 y  10x 1
（2）设 P  x, y  ，在 P 处的切线斜率为 f  x  x2  6 x  10 ，即k  f (x)  (x  3)2 1  1，由斜率k  tanθ， k  1 ，
 4 2 
且θ[0, π) 得，θ  π , π  .

16．（1）设 Bi  “同学甲第 i 天选择 B 餐厅”， i  1, 2,3,n
B1
根据题意可知： P  B   1 ， P B B   1 ， P B  3 .
12
由全概率公式可得
2 12
24
P  B   P  B  P B B   P B  P B
  1  1  1  3  5
212 1
12
22248
B1
即同学甲第二天选择 B 餐厅的概率为 5 .
8
n
nn
（2）设 B  “甲第 n 天选择 B 餐厅”，则 p
 P  B  ， P B   1 p ， n  N*  ，
nn
当n  2 时，由全概率公式可得
pn  P  Bn   P  Bn Bn1   P Bn Bn1 
 P  Bn1  P  Bn | Bn1   P Bn1  P Bn | Bn1 
 1 p 3 1 p
   1 p 3
2 n14
n1
4 n14
则 p   1 p 3 ，
n4 n14
整理得 p
 3   1 p
 3  3   1  p
 3 

n54
n1
454 
n15 
又因为 p  3   1

 0 ，
1510
所以 p  3  是以 1 为首项，  1 为公比的等比数列，
 n5 104

31
1 n1
所以 pn    .
5 10  4 
17．（1）函数 f (x)  m x2  x  ln x 的定义域为(0, ) ，
2
当m  2 时， f (x)  x2  x  ln x ，所以 f (x)  2x 1 1  (2x 1)(x 1) ，
xx
当 x (0,1) 时， f ( x)  0 ， f ( x) 在( 0, 1) 上为减函数，
当 x (1, ) 时， f ( x)  0 ， f ( x) 在(1, ) 上为增函数，
综上所述： f ( x) 在( 0, 1) 上为减函数，在(1, ) 上为增函数；
（2）若x  0 ，不等式 f (x)  x2 恒成立，
则 m  1 1  ln x 对 x  0 均成立，所以 m  (1 1  ln x )

2xx2
2xx2
max
令 g(x)  1 1  ln x ，
xx2
则 g(x)   1  x  2x ln x   1  1 2 ln x  1 2 ln x  x ，

x2(x2 )2
x2x3x3
令h(x)  1 2 ln x  x ，显然h(x)  1 2 ln x  x 为(0, ) 上的减函数，又h(1)  1 2 ln11  0 ，
所以 x (0,1) ， h(x)  0 ， g( x)  0 则 g ( x) 在( 0, 1) 上为增函数，
当 x (1, ) 时， h(x)  0 ， g(x)  0 则 g ( x) 在(1, ) 上为减函数，
所以 g(x) g(1)  1 1  ln1  2 ，所以 m  2 ，所以m  4 ，

max112
所以实数m 的取值范围为(4, ) .
18．（1）设 1 号乘客坐在i 号位上时，4 号乘客坐在 4 号位的概率为 Pi ，则 P  P1  P2  P3  P4 ，
P  1 ， P  1  1  1  1   1 ，

1424  33 2 8
P  1  1  1 ， P  0 ，
34284
所以 P  1  1  1  0  1 .
4882
（2）随机变量 X 所有可能的取值为 0，1，2，4；
P  X  4  1  6 ，
424
P  X  2  1  1  1  1  1 1  11 ，
4 342424
P  X  1  1  1  1  1  1 1 1  1  6 ，
4 3 24 34224
P  X  0  1  1  1  1 ，
4 3 224
所以 E  X   6  4  11  2  6 1 1  0  13 .
242424246
19．（1）由 f  x  ax  ex 1，得 f  x  a  ex ，当a  0 时，对任意 x ,  ， f  x  0 ， 所以 f  x 在,  单调递减，无极值；
当a  0 时，令 f  x  0 ，得 x  ln a ；令 f  x  0 ，得 x  ln a .
f  x 在, ln a 单调递增，在ln a,  单调递减，
函数 f  x 在 x  ln a 处取得极大值，极大值为a ln a  a 1，无极小值，综上所述， a  0 时，无极值；
a  0 时，在 x  ln a 处取得极大值，极大值为a ln a  a 1，无极小值；
（2） a  1 ，函数 f  x 有两个不同的零点 x1 , x2  x1  x2  和一个极值点 x0 ，
由（1）知 f  x 在, ln a 单调递增，在ln a,  单调递减，故 x0  ln a 为 f  x 的极大值点，极大值 f ln a  a ln a  a 1 ，令m a  a ln a  a 1， a  (1, ) .
则ma  ln a  0 ，故m(a) 在(1, ) 单调递增，故 f (ln a)  m(a)  m(1)  0 ，又注意到 f (0)  0 ，故 x  0 为 f  x 的一个零点，
此外 f (2 ln a)  2a ln a  a2 1  n(a) ， a  (1, ) ，
则na  2(ln a 1 a) ，记s(a)  ln a 1 a ， a  (1, ) ，
则sa  1 1  1 a  0 ，所以s(a) 在(1, ) 上单调递减，所以s(a)  s(1)  0 ，
aa
即na  0 ，故n(a) 在1,  单调递减，故a 1, ∞ ， f (2 ln a)  n(a)  n(1)  0 . 由零点存在性定理，知 f  x 有零点t ln a, 2 ln a ，因为ln a  0 ，所以 x1  0, x2  t ，则 A0, 0 ， B  x2 ,0 ， C ln a, f (ln a) .
设 D ln a, 0 ，则 BD  x2  ln a, AD  ln a ，显然 x2  2 ln a ， x2  ln a  ln a ，所以 BD  AD ，
AD 2  CD 2
CD 为V ABC 的高，由勾股定理得 BC BD 2  CD 2 , AC ，
故 BC  AC .