2025--2026学年安徽芜湖市第一中学高二下册期中教学质量检测数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年安徽芜湖市第一中学高二下册期中教学质量检测数学试题 [含答案]，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 定义在R上的函数，若，则（ ）
A. B. C. 2D. 4
2. 展开式中，的系数为（ ）
A. B. 32C. D. 24
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知函数，则的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
5. 离散型随机变量X的分布列如下：
若，则下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知函数，方程解的个数有两个，则的取值范围为（ ）
A. B. C. 或D.
7. 某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（ ）
A. 35B. 36C. 42D. 50
8. 已知函数，若，则最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列不等式中，在上恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知事件A，B，且，，，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的单调递增区间是，
B. 的值域为
C.
D. 若，，，则.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则__________.
13. 某小微企业制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径，已知每出售1mL的饮料，可获利0.4分，且能制作的瓶子的最大半径为6cm，当每瓶饮料的利润最大时，瓶子的半径为______cm．
14. 已知，若存在使得，则的最大值为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）若P是曲线上一动点，求在P处的切线l的倾斜角的取值范围．
16. 某学校有A，B两家餐厅，经过统计分析发现：学生第一天会随机地选择一家餐厅用餐，然后前一天选择了A餐厅的学生第二天选择A餐厅的概率为，选择B餐厅的概率为；前一天选择B餐厅的学生第二天选择A餐厅的概率为，选择B餐厅的概率也是，如此往复.记同学甲第n天选择B餐厅的概率为.
（1）求同学甲第二天选择B餐厅的概率；
（2）证明：数列为等比数列，并求出.
17. 已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
18. 一辆汽车上有个座位，编号从1到．现在编号为1到的乘客依次上车，编号为1的乘客比较顽皮，上了车后是随机等可能的选择座位坐下，编号为2的乘客上了车后会先看看2号座位有没有人，如果有，那么他从剩下的空座位中随机等可能的选择座位坐下，如果2号座位没有人，那么他就在2号座位坐下，编号为3及后面的乘客的选择座位方式与2号相同，即自己对应的号码座位上有人，则从剩下座位中随机等可能挑选座位坐下，如果自己对应的号码座位上没有人，则坐在自己对应号码的座位上．
（1）当时，求4号乘客坐在编号4号座位上的概率；
（2）当时，设为刚好坐在了自己座位上的乘客数（规定：编号为的乘客坐在了编号为的座位上为坐在了自己的座位上），求随机变量的期望．
19. 已知函数.
（1）讨论的极值；
（2）已知，函数有两个不同的零点和一个极值点，记，，，试判断与的大小关系，并说明理由.
数学
考试时间120分钟
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 定义在R上的函数，若，则（ ）
A. B. C. 2D. 4
答案：A
解析：
思路：利用导数的定义求解即可.
解答过程：已知，由导数的定义可以知道，
设，当时，.且
所以
2. 展开式中，的系数为（ ）
A. B. 32C. D. 24
答案：C
解析：
思路：根据二项式展开式计算求解.
解答过程：展开式中，的项为.
故选：C.
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：
思路：根据导数运算公式，即可求解.
解答过程：A.，故A错误；B.，故B错误；
C.，故C错误；D.，故D正确.
故选：D
4. 已知函数，则的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：
思路：结合函数的定义域和的单调性判断即可.
解答过程：由题意可得，解得且，即定义域为，可排除D，
设，则，
所以当时，；当时，，即，
所以当时，，可排除A；当，，可排除A，
综上，C为正确选项.
故选：C
5. 离散型随机变量X的分布列如下：
若，则下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：
思路：根据分布列的性质得，再由期望的求法列方程求得，最后结合期望的性质、方差公式及概率的性质判断各项的正误.
解答过程：由题设，则，A对；
由，则，联立，
所以，则，D错；
，B对；
，C对.
故选：D
6. 已知函数，方程解的个数有两个，则的取值范围为（ ）
A. B. C. 或D.
答案：B
解析：
解答过程：由，求导得，令，解得，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故在处取得最小值.
再分析函数极限处取值，当时，，，乘积趋近于，所以；当时，.
方程有两个解等价于直线与图象有两个交点，结合最小值及函数极限趋势，可得.
7. 某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（ ）
A. 35B. 36C. 42D. 50
答案：D
解析：
思路：以舱的人数为分类依据，将 5 人分配到 A、B、C 三个舱中，分别计算各类分组与排列的方法数，最后求和得到总安排数.
解答过程：有四类不同的安排情形：
①甲单独在舱，其余四人分成两组，一组1人，一组3人，安排在舱，
有种不同的安排方法；
②甲单独在舱，其余四人平均分成两组每组人，安排在舱，
有种不同的安排方法；
③舱安排人，其余三人分成两组，一组人，一组人，安排在舱，
有种不同的安排方法；
④舱安排人，其余二人分成两组，安排在舱，
有种不同的安排方法；
综上，不同的安排方法共有种.
方法提示：本题是分类加法计数原理 + 分组分配问题，核心方法是按特殊元素或位置分类，结合均匀 或不均匀分组与排列计算.
8. 已知函数，若，则最大值为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：令，解得，分和三种情况讨论，推出，得，构造函数，利用导数即可求解.
解答过程：函数，
由，得，
当时，由，得或，由，得，
不满足；
当时，由，得或，由，得，
不满足；
当时，函数成立，符合条件，
因此，则，
令，求导得，由，得；由，得，
则函数在上单调递增，在上单调递减，故.
所以最大值为.
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列不等式中，在上恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
答案：BCD
解析：
思路：举出反例可得A错误；BCD选项，构造函数，求导，得到函数单调性，结合最值可得结论.
解答过程：A选项，当时，，A错误；
B选项，令，，则且不恒为0，
故在上单调递减，
又当时，，故，
故在上恒成立，B正确；
C选项，，，则，
当得，当得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
，所以，
所以，C正确；
D选项，令，，
则，令得，令得，
故在上单调递减，在上单调递增，
，故，
所以，D正确.
10. 已知事件A，B，且，，，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：ABC
解析：
思路：结合条件概率公式，由，再由得到，进而求解判断各个选项.
解答过程：因为，所以，A选项正确；
由题意，，B选项正确；
因为，所以，所以，C选项正确；
又因为，所以，
所以，D选项错误；
故选：ABC.
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 的单调递增区间是，
B. 的值域为
C.
D. 若，，，则.
答案：ABD
解析：
解答过程：由导函数在定义域上恒成立即可判断A；由函数单调性和函数值情况即可判断B；由f1x+f(x)=0 即可分析判断C；将eb+1eb−1−b 转化变形为ln1eb−1−21eb−1得到f(a)=f1eb即可分析判断D.
思路：A选项，的定义域为，在定义域上恒成立，
故的单调递增区间是，，A正确；
B选项，当时，，当时，；
当时，，当时，趋向于，
故的值域为，B正确；
C选项，时，f1x+f(x)=−lnx−1+2xx−1+lnx−1−2x−1=−2+2=0 ，
又，所以flg20262027+flg20272026=0 ，C错误；
D选项，
，
又，故，故f(a)=f1eb，
因为，所以，又，在上单调递增，
故，即，D正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则__________.
答案：或
解析：
思路：根据导函数与斜率的关系求出切线方程，联立曲线和切线方程，根据方程只有一个解求解即可.
解答过程：因为，所以，
所以当时，，即切线的斜率为2，
所以由点斜式得即，
联立整理得，
因为切线与曲线只有一个公共点，
所以方程只有一个根，
当时，方程为只有一个根，满足题意；
当时，，即，解得，
综上或，
故答案为: 或.
13. 某小微企业制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径，已知每出售1mL的饮料，可获利0.4分，且能制作的瓶子的最大半径为6cm，当每瓶饮料的利润最大时，瓶子的半径为______cm．
答案：
解析：
思路：写出利润关于的函数，利用导函数求出利润最大时的的取值.
解答过程：设每瓶饮料获得的利润为，依题意得，，，于是，递减；，递增，是极小值点，于是在，只可能使得最大.
故
14. 已知，若存在使得，则的最大值为__________．
答案：49
解析：
思路：先写出和展开式的通项，然后求出，讨论为偶数和奇数时的正负，并列出不等式求出解集即可.
解答过程：展开式的通项为.
展开式的通项为.
已知，
所以是的系数，由上述两个展开式可知.
当为偶数时，；
当为奇数时，.
若，则，即.
因为指数函数在上单调递增，所以，
解得，又因为是奇数，所以.
故49.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 已知函数．
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）若P是曲线上一动点，求在P处的切线l的倾斜角的取值范围．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）方法一：利用导数的意义求解即可；方法二：直接根据求导法则计算；
（2）利用导数得，其值域就是切线斜率取值范围，计算即可．
（1）方法一：由导数的定义及几何意义可得
．
方法二：，则
所以在处的切线方程为，整理得
（2）设，在P处的切线斜率为，
即，由斜率，，
且得，.
16. 某学校有A，B两家餐厅，经过统计分析发现：学生第一天会随机地选择一家餐厅用餐，然后前一天选择了A餐厅的学生第二天选择A餐厅的概率为，选择B餐厅的概率为；前一天选择B餐厅的学生第二天选择A餐厅的概率为，选择B餐厅的概率也是，如此往复.记同学甲第n天选择B餐厅的概率为.
（1）求同学甲第二天选择B餐厅的概率；
（2）证明：数列为等比数列，并求出.
答案：（1）
（2）证明见解析，
解析：
思路：（1）运用全概率公式计算即可
（2）设第n天选择B餐厅的概率，与通过全概率公式得到有关概率的递推公式，变成数列问题，配凑即可证明.
（1）设“同学甲第i天选择B餐厅”，
根据题意可知：， ，.
由全概率公式可得
即同学甲第二天选择B餐厅的概率为.
（2）设“甲第n天选择B餐厅”，则，，n∈N∗，
当时，由全概率公式可得
则，
整理得pn−35=−14pn−1+34−35=−14pn−1−35
又因为，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以.
17. 已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
答案：（1）在上为减函数，在上为增函数
（2）.
解析：
思路：（1）求导可得，可求单调区间；
（2）分离变量，可得，令，求得的最大值即可.
（1）函数的定义域为，
当时，，所以，
当时，，在上为减函数，
当时，，在上为增函数，
综上所述：在上为减函数，在上为增函数；
（2）若，不等式恒成立，
则对均成立，所以
令，
则，
令，显然为上的减函数，
又，
所以，，则在上为增函数，
当时，，则在上为减函数，
所以，所以，所以，
所以实数的取值范围为.
18. 一辆汽车上有个座位，编号从1到．现在编号为1到的乘客依次上车，编号为1的乘客比较顽皮，上了车后是随机等可能的选择座位坐下，编号为2的乘客上了车后会先看看2号座位有没有人，如果有，那么他从剩下的空座位中随机等可能的选择座位坐下，如果2号座位没有人，那么他就在2号座位坐下，编号为3及后面的乘客的选择座位方式与2号相同，即自己对应的号码座位上有人，则从剩下座位中随机等可能挑选座位坐下，如果自己对应的号码座位上没有人，则坐在自己对应号码的座位上．
（1）当时，求4号乘客坐在编号4号座位上的概率；
（2）当时，设为刚好坐在了自己座位上的乘客数（规定：编号为的乘客坐在了编号为的座位上为坐在了自己的座位上），求随机变量的期望．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据独立事件和互斥事件概率公式进行求解即可；
（2）根据独立事件和互斥事件概率公式，结合数学期望公式进行求解即可.
（1）设1号乘客坐在号位上时，4号乘客坐在4号位的概率为，
则，
，，
，，
所以.
（2）随机变量所有可能的取值为0，1，2，4；
，
，
，
，
所以.
19. 已知函数.
（1）讨论的极值；
（2）已知，函数有两个不同的零点和一个极值点，记，，，试判断与的大小关系，并说明理由.
答案：（1）时，无极值；时，的极大值为，无极小值；
（2），理由见解析
解析：
思路：（1）求导，分和两种情况，得到函数单调性，确定函数的极值；
（2）在（1）基础上，结合零点存在性定理得到零点的范围，得到与的大小关系.
（1）由，得，
当时，对任意，，
所以在单调递减，无极值；
当时，令，得；令，得.
在单调递增，在单调递减，
函数在处取得极大值，极大值为，无极小值，
综上所述，时，无极值；
时，在处取得极大值，极大值为，无极小值；
（2），函数有两个不同的零点和一个极值点，
由（1）知在单调递增，在单调递减，
故为的极大值点，极大值，
令，.
则，故在单调递增，故，
又注意到，故为的一个零点，
此外，，
则，记，，
则，所以在上单调递减，所以，
即，故在单调递减，故，.
由零点存在性定理，知有零点t∈lna,2lna，因为，所以x1=0,x2=t ，
则，，.
设，则，显然x2