2025--2026学年安徽芜湖皖江中学高一下册四月校内训练数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年安徽芜湖皖江中学高一下册四月校内训练数学试题 [含答案]，共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知是实系数方程的一个复数根，则（ ）
A. B. C. 1D. 9
2. 如图，点O为正六边形的中心，则（ ）
A. B. C. D.
3. 如图所示，为了测量某湖泊两侧，间的距离，李宁同学首先选定了与，不共线的一点，然后给出了三种测量方案(的角，，所对的边分别记为，，)：
①测量，，；②测量，，C；③测量，，．
则一定能确定，间距离的所有方案的个数为（ ）
A. 3B. 2
C. 1D. 0
4. 冰激凌一直被众多青少年视为夏日解暑神器，图中冰激凌可近似地看作圆锥和半球的组合体若半球部分的体积为，圆锥部分的侧面展开图是半圆形，且用塑料外壳将该冰激凌密封固定，则所用塑料的面积至少为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知向量，，则，，则下列表述正确的是（ ）
A. 存在唯一的实数对，使得B. 存在唯一的实数对，使得
C. 存在唯一的实数对，使得D. 存在唯一的实数对，使得
6. 如图，将半径为1的球与棱长为1的正方体组合在一起，使正方体的一个顶点正好是球的球心，则这个组合体的体积为（ ）
A. B. C. D.
7. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若角A的内角平分线AD的长为3，则的最小值为（ ）
A. 12B. 24C. 27D. 36
8. 魏晋时期的数学家刘徽撰写的《海岛算经》是中国最早的一部关于测量的数学著作，其中给出了测量建筑物高度的方法.如图，是某球形建筑物与水平地面的接触点（即切点），若在地面上与点共线的点处测得球形建筑物上点的最大仰角分别为和，且，则该球形建筑物的表面积为（ ）参考数据：，.
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 如图，是用斜二测画法画出的直观图，则（ ）
A. 是钝角三角形B. 的周长为
C. 的面积为D. 的面积为
10. 已知向量，，，则下列说法正确的有（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若与的夹角为钝角，则D. 在上的投影向量为
11. 在中，角，，所对的边分别为，，，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. ，，，则无解
C. 若，则为锐角三角形
D. 若，，则面积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设，若复数，满足，，则__________．
13. 在中，若，，，则的面积为__________．
14. 如图，已知四棱锥的底面ABCD为平行四边形，M是棱上靠近点D的三等分点，N是的中点，平面AMN交于点H，则，_______.
四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 如图在△ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，设＝，＝.
（1）用表示向量；
（2）若点F在AC上，且，求AF∶CF.
16. 如图一个半球，挖掉一个内接直三棱柱（棱柱各顶点均在半球面上），棱柱侧面是一个长为的正方形.
（1）求挖掉的直三棱柱的体积；
（2）求剩余几何体的表面积.
17. 在中，分别为角所对的边，且，角A的平分线交于D，且．
（1）求角A；
（2）若，求的长．
18. 如图，设Ox，Oy是平面内相交成（且角的两条数轴，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为斜坐标系.若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系xOy中的坐标，记为.已知在斜坐标系xOy中，，.
（1）证明：；
（2）当时，，求；
（3）当时，若向量，，已知，求函数的最值.
19. 如图，已知的面积为．
（1）求的大小；
（2）若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围；
（3）记的面积为，若，求的值．
数学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知是实系数方程的一个复数根，则（ ）
A. B. C. 1D. 9
答案：A
解析：
思路：根据虚根成对原理也是实系数方程的一个复数根，再由韦达定理计算可得.
解答过程：因为是实系数方程的一个复数根，
则也是实系数方程的一个复数根，
所以，解得，
所以.
故选：A
2. 如图，点O为正六边形的中心，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：结合图形特征根据平面向量的加法计算求解.
解答过程.
3. 如图所示，为了测量某湖泊两侧，间的距离，李宁同学首先选定了与，不共线的一点，然后给出了三种测量方案(的角，，所对的边分别记为，，)：
①测量，，；②测量，，C；③测量，，．
则一定能确定，间距离的所有方案的个数为（ ）
A. 3B. 2
C. 1D. 0
答案：A
解析：
思路：根据正余弦定理解三角形即可.
解答过程：对于①，利用内角和定理先求出，再利用正弦定理解出；
对于②，直接利用余弦定理即可解出；
对于③，先利用内角和定理求出，再利用正弦定理解出．
故选：A.
4. 冰激凌一直被众多青少年视为夏日解暑神器，图中冰激凌可近似地看作圆锥和半球的组合体若半球部分的体积为，圆锥部分的侧面展开图是半圆形，且用塑料外壳将该冰激凌密封固定，则所用塑料的面积至少为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：设半球半径为，圆锥母线长为，由 ，得，
又 ，故，
所以所用塑料的面积至少为
5. 已知向量，，则，，则下列表述正确的是（ ）
A. 存在唯一的实数对，使得B. 存在唯一的实数对，使得
C. 存在唯一的实数对，使得D. 存在唯一的实数对，使得
答案：C
解析：
思路：由题意，，由向量平行的充要条件判断A；由向量垂直的充要条件判断B；由向量相等的充要条件判断C，由向量模的计算公式判断D.
解答过程：因为向量，，则，，
对于A，当且仅当，即，
即，由此可知存在无数组实数对，使得，故A错误；
对于B，当且仅当，
即，即，
当时，该方程不成立，此时不存在实数对，使得，
当时，此时，由此可知存在实数对，使得，
当且时，此时存在无数对实数对，使得，故B错误；
对于C，当且仅当，解得，故C正确；
对于D，，
即，进而可得
故当或者时，此时有无数组实数对，使得，故D错误.
故选：C.
6. 如图，将半径为1的球与棱长为1的正方体组合在一起，使正方体的一个顶点正好是球的球心，则这个组合体的体积为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：该组合体可视作一个正方体和个球体的组合体，进而求出体积.
解答过程：由题意，该组合体是一个正方体和个球体的组合体，其体积为.
故选：A.
7. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若角A的内角平分线AD的长为3，则的最小值为（ ）
A. 12B. 24C. 27D. 36
答案：A
解析：
思路：先利用正弦定理化角为边，再结合余弦定理可求得，再利用等面积法结合基本不等式即可得解.
解答过程：因为，
所以，即，
所以，
又因，所以，
由，得，
所以，
则，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为.
故选：A.
8. 魏晋时期的数学家刘徽撰写的《海岛算经》是中国最早的一部关于测量的数学著作，其中给出了测量建筑物高度的方法.如图，是某球形建筑物与水平地面的接触点（即切点），若在地面上与点共线的点处测得球形建筑物上点的最大仰角分别为和，且，则该球形建筑物的表面积为（ ）参考数据：，.
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：首先根据直线和圆相切的几何性质，用表示和，由已知条件，列等式，即可求解.
解答过程：如图，设球心为，连接.
设球的半径为.在中，.
在中，，所以，
则，
所以该球形建筑物的表面积为.
故选：C
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 如图，是用斜二测画法画出的直观图，则（ ）
A. 是钝角三角形B. 的周长为
C. 的面积为D. 的面积为
答案：BC
解析：
解答过程：作出如图所示，由图可得是等腰直角三角形，A错误；
，，所以的周长为，B正确；
的面积为，C正确；的面积为，D错误．
10. 已知向量，，，则下列说法正确的有（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若与的夹角为钝角，则D. 在上的投影向量为
答案：BD
解析：
思路：根据向量共线的坐标表示判断A，根据数量积的运算律得到，再由数量积的坐标表示判断B，利用特殊值判断C，根据投影向量的定义判断D.
解答过程：对于A：因为，所以，解得，故A错误；
对于B：若，则，即，
所以，即，解得，故B正确；
对于C：当时，，此时与的夹角为，故C错误；
对于D：因为，，所以在上的投影向量为，故D正确.
故选：BD
11. 在中，角，，所对的边分别为，，，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. ，，，则无解
C. 若，则为锐角三角形
D. 若，，则面积的最大值为
答案：AD
解析：
思路：由正弦定理可判断选项A,B;举例可判断选项C；由余弦定理结合均值不等式求出，从而可判断选项D.
解答过程：选项A. ,由正弦定理可得，即，故正确.
选项B. 由，即，
所以满足条件的三角形有两个. 故不正确.
选项C. 当 ，，满足条件，但为直角三角形，故不正确.
选项D. 由余弦定理有,即（取当且仅当等号），即
所以，故正确.
故选：AD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设，若复数，满足，，则__________．
答案：
解析：
解答过程：已知，，.
.
所以.
所以.
13. 在中，若，，，则的面积为__________．
答案：
解析：
解答过程：在中，由正弦定理得：，因此，
则，
又因为，，所以是正三角形，
所以的面积.
14. 如图，已知四棱锥的底面ABCD为平行四边形，M是棱上靠近点D的三等分点，N是的中点，平面AMN交于点H，则，_______.
答案：##
解析：
思路：将四棱锥补为三棱柱，由求解.
解答过程：解：如图所示：
补全四棱锥为三棱柱，作，且，
因为ABCD为平行四边形，所以，
则，且，
所以四边形和四边形都是平行四边形，
因为N为中点，则延长AN必过点E，
所以A，N，E，H，M在同一平面内，
因为，所以，
又因为M是棱上靠近点D的三等分点，
所以，则，
故
四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 如图在△ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，设＝，＝.
（1）用表示向量；
（2）若点F在AC上，且，求AF∶CF.
答案：（1）.
（2）解析：
思路：（1）利用向量线性运算法则求解；
（2）设＝λ(0＜λ＜1)，由向量线性运算用表示出，再与已知比较求得后即可得．
（1）因为＝－＝，点D是AC的中点，
所以＝＝()，
因为点E是BD的中点，
所以＝(＋)＝＋＝－＋()＝.
（2）设＝λ(0＜λ＜1)，
所以＝＋＝＋λ＝，.
又＝，所以λ＝，
所以＝，所以AF∶CF＝4∶1.
16. 如图一个半球，挖掉一个内接直三棱柱（棱柱各顶点均在半球面上），棱柱侧面是一个长为的正方形.
（1）求挖掉的直三棱柱的体积；
（2）求剩余几何体的表面积.
答案：（1）
（2）解析：
（1）记球心为O，BC中点为E，连接AO，OE，AE，
由球的性质知是所在小圆直径，又是一个长为的正方形，
因此，球半径为，
挖掉的直三棱柱的体积；
（2）由（1）知，，，，半球表面积＝，
所以剩余几何体表面积为
半球表面积－＝．
17. 在中，分别为角所对的边，且，角A的平分线交于D，且．
（1）求角A；
（2）若，求的长．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）由正弦定理与和角公式化边为角，求得，即得角A；
（2）利用三角形角平分线定理求出，再根据面积相等列方程，求解即得的长.
（1）由和正弦定理，可得，
因，
则，
即，
因为，则得，
因，则．
（2）如图，因是的平分线，则，解得，
又，
则，
即，解得.
18. 如图，设Ox，Oy是平面内相交成（且角的两条数轴，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为斜坐标系.若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系xOy中的坐标，记为.已知在斜坐标系xOy中，，.
（1）证明：；
（2）当时，，求；
（3）当时，若向量，，已知，求函数的最值.
答案：（1）答案见解析
（2） （3）最小值，最大值
解析：
思路：（1）将分别用的组合来表示，根据点乘的定义计算即可证明.
（2）将用来表示，利用余弦定理可求的长度.
（3）由（1）可得的解析式，利用化简以后利用三角函数的性质可得的最值.
（1），
，
.
（2），
如图，中
.
（3），
由（1）可得，
令，则，
，
当时，，
当时，.
19. 如图，已知的面积为．
（1）求的大小；
（2）若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围；
（3）记的面积为，若，求的值．
答案：（1）
（2） （3）或
解析：
思路：（1）利用余弦定理以及三角形的面积公式，结合已知条件即可求出；
（2）利用正弦定理可得，由代入化简可得：，结合为锐角三角形求出的范围，从而求出的范围，由三角形面积公式求出的取值范围即可；
（3）设，在和中利用正弦定理化简可得：，结合三角恒等变换可得或，根据三角形面积公式以及正弦定理可得，将或代入化简即可.
（1）在中，由余弦定理可知：，
所以，
因为，所以，
化简得：，即，
因为，所以
（2）因为，，
由正弦定理可得：，解得：，
因为，，所以，
则，
又因为为锐角三角形，所以，则，
则，，故，
又，所以，
即的面积的取值范围为
（3）设，则，，，
在中，由正弦定理可得：，①
在中，由正弦定理可得：，②，
由于，，
所以①②化简可得：，
即，
即，
即，即，因为
所以或，解得：，或，
设，则，
在中，，
在中，，
所以，
由正弦定理可得：
当时，，，所以
当时，，，所以