湖北省部分名校2026届高三数学上学期10月考试试题含解析

这是一份湖北省部分名校2026届高三数学上学期10月考试试题含解析，共9页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，考试结束后，请将答题卡上交等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将答题卡上交．
一､选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将答题卡上此题对应选项的标号涂黑）
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用集合的交集和补集运算即可求解.
【详解】由可得，
所以，
故选：B
2. 已知复数满足，则（ ）
A. 8B. C. 5D.
【答案】D
【解析】
【分析】先利用对进行化简，再根据复数模的计算公式求解．
详解】，
，
，
故选：D．
3. 已知平面向量和满足，且在上的投影向量为，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用投影向量的定义即可求解.
【详解】由在上的投影向量为，可得，
因为，所以，
又因为，所以，
故选：C.
4. 已知函数的部分图象如图所示（为图象与轴的一个交点，为图象的一个最高点），且，则的一个对称中心可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可得函数的周期和振幅，进而可得函数的一个对称中心.
【详解】由，得，，所以，
所以，令，得，
所以当时，，所以是函数一个对称中心.
故选：B.
5. 已知事件和事件满足：，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据概率的加法公式求出，再利用条件概率公式计算求解．
【详解】，
，
．
故选：D．
6. 已知函数满足对任意实数都有，且当时，则（ ）
A. B. C. -1D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】利用双对称函数可推导出周期性，然后即可赋值求解.
【详解】由可得：，
又因为，所以，
则有，即函数的周期为2，
则，
故选：A.
7. 已知一正三棱柱的底面边长为6，其内部有一球与其各表面都相切，则该正三棱柱的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用正三棱柱的性质，结合勾股定理即可求得外接球表面积.
【详解】
边长为6的正三角形的内切圆半径为：，
所以正三棱柱的高为，
则外接球半径，
所以外接球的表面积为：，
故选：D.
8. 已知椭圆与抛物线，过点的两条互相垂直的直线与的另两个交点分别为，与的另两个交点分别为，记直线和的斜率分别为，则关于与之间的关系，下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用特殊位置可排除CD，利用联立方程组求解交点坐标，再求斜率，即可得出判断．
【详解】由题意可知两条互相垂直的直线斜率一定存在，
当两条垂直的直线斜率分别为时，如图;
此时易得，故CD错误；
由题意可设直线方程为，则直线方程为，
由与联立可得：，
解得或，此时，即，
同理由与联立可得，，
化简得：，
所以
再由与联立可得：，
解得或，此时，即，
同理由与联立可得，，
所以，
综上可得，
故选：A.
二､多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求的，请将答题卡上此题对应的上述选项的标号都涂黑）
9. 已知函数，下列说法正确的有（ ）
A. 在区间内的值域为
B. 函数的图象为中心对称图形
C. 过点且与图象相切的直线共有三条
D. 有三个零点
【答案】BD
【解析】
【分析】利用三次函数在该区间的单调性来求值域可判断A，利用中心对称恒等式可判断B，利用导数来表示切线，然后用经过点得到参数方程，通过解的个数来判断切线的条数即可判断C，通过三次函数的单调性与极值点可判断D．
【详解】求导得：,
由上可知在区间内的值域为，故A错误；
由，根据定义域为，
则
，
所以有，则函数的图象关于点对称，故B正确；
设函数在点处的切线方程为：，
由切线经过点，则，
整理得：，
令，则，
可得以下函数关系：
通过上表可判断：的零点只有个，
即方程的解只有个，
所以满足函数在点处的切线方程仅有条满足题意，故C错误；
函数的关系如下表：
根据上表结合三次函数图象可知：有个零点，故D正确；
故选：BD
10. 已知正实数满足，则下列结论正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据基本不等式及柯西不等式直接可得.
【详解】对于A：正实数满足，得，
即，所以，当且仅当，即时，等号成立，故A正确；
对于B：由，得，因，
所以，且.同理可得，且.
所以，所以B错误；
对于C：，
当且仅当，即时等号成立，所以C正确；
对于D：，由C可知，
所以，所以存在，使得，所以D错误.
故选：AC.
11. 已知中，，则下列结论正确的有（ ）
A. 平分B. 的面积的最大值为3
C. 内角可以为D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用正弦定理边化角结合几何法来证明角平分线，利用余弦定理来求角的余弦值，从而可利用基本不等式来求得最小值，从而可得角最大值，再利用面积公式可得函数求出最小值，最后利用余弦定理可证明，从而可判断各选项.
【详解】在中，设角所对的边分别为，
则由正弦定理得 ,
又因，所以，
过点作平行于交延长线于点，
根据平行可得，即，
所以，又因为，所以，
即，根据平行可知，
所以，即平分，故A正确；
由余弦定理得：，
因为，所以，故C错误；
由三角形面积公式可得：
取等号条件为，此时满足三角形的两边之和大于第三边，即，故B正确；
再由余弦定理得：
所以，故D正确；
故选：ABD.
三､填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分．请将每小题的正确答案填写在答题卡上对应的位置）
12. 曲线在点处的切线方程为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据导数的几何意义,先求得在点处的切线的斜率.进而结合点斜式即可求得切线方程.
【详解】曲线
则
所以在点处的切线的斜率为
由点斜式可得
故答案为:
【点睛】本题考查了导数的几何意义,直线方程的点斜式应用,属于基础题.
13. 如图是一个电子元器件，现将其表面涂上颜色，再将其拆散成28个单位正方体，置于一个不透明容器内充分搅匀，随机拿出一个单位正方体，记其涂色的表面数为，则的数学期望为__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用涂色表面数的个数分布，再结合古典概型，即可得的分布列，从而可求期望.
【详解】根据图形表面涂色可知：
一个单位正方体涂色表面数为5，3，2，1，0的分别有1个，8个，12个，5个，2个，
所以涂色的表面数为的分布列为：
则的数学期望为，
故答案为：
14. 过三棱锥的高的中点且与底面平行的平面内一动点满足：对任意都成立，其中是首项为1的正项数列的前项和．则：①__________．；②数列的通项公式为__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据题目所给向量关系进行变形，根据四点共面的推论，通过系数和为1解出；对于此等式可以通过三角关系来进行换元，构造进而求解.
【详解】由可得，
左右同时加上得，
即
设与底面交于点，由于点在过三棱锥的高的中点且与底面平行的平面内，
则，
由于四点共面，则，即，
，
设，则满足上式，
因为由题意知，
则，
所以，整理后可得整理后可得，
由得，即，
于是，
又可计算得，所以，
所以，
经验证也符合，所以.
故答案为：①；②.
四､解答题（本题共5个小题，共77分．请将每小题的解答过程写在答题卡上对应的位置，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15. 在中，内角对边分别为，且．
（1）求的大小；
（2）为边的中点，且，求的长．
【答案】（1）;
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边化角，再结合两角和正弦公式即可求解；
（2）利用中线向量公式，结合向量的数量积运算即可求解.
【小问1详解】
由正弦定理边化角可得：，
再利用三角形内角和可知：，
所以有，
整理得：，在三角形中，
所以有，
又因为，所以；
【小问2详解】
由中线向量可得：，
则，
所以.
16. 已知正项数列满足：．
（1）证明是等比数列，并求通项；
（2）若，求数列的前项和的表达式．
【答案】（1）证明见解析，；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据递推关系即可证明等比数列，进而求得通项公式；
（2）根据错位相减法直接求数列的前项和.
【小问1详解】
证明：由，得，
因为是正项数列，所以，即，
所以是公比为的等比数列，又，得，
所以.故
【小问2详解】
由（1）知，所以.
所以，
即，
，
所以 ，
所以.
故.
17. 如图，三棱柱中，底面是边长为的正三角形，侧棱，．
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）直接用线面垂直来证线线垂直可得；
（2）先计算相关的边的长，再建立空间直角坐标系求角可得.
【小问1详解】
如图
取的中点D，连.因为底面是正三角形，所以.
在中，由余弦定理得
，
所以，同理可得，得，
又因D是的中点，所以.
因，，，平面，平面，
所以平面，且平面，所以.
【小问2详解】
由（1）知，，
所以在直角三角形中，.
而在底面正三角形中.
在三角形，由余弦定理得，得.
再由（1）知平面，平面，所以平面平面，
平面平面，过点在平面内作，垂足为，则平面.
在直角三角形中，，.
由上面可知，以所在直线为x轴，以在底面内垂直直线为y轴，
以过A点垂直底面的直线为z轴，建立空间直角坐标系如图：
所以，，由棱柱的性质可得，，
所以，，
设平面的法向量为，则，得，
令，则，得，
设直线与平面所成角，所以.
故直线与平面所成角的正弦值为.
18. 如图双曲线的左右顶点分别为且，已知双曲线的离心率为2．
（1）求双曲线的方程．
（2）直线与双曲线交于两点且以线段为直径圆恰好经过点．
①证明：直线过轴上一定点，请求出点的坐标；
②若都在双曲线的右支，求的面积的最小值．
【答案】（1）
（2）①证明见解析；②9
【解析】
【分析】（1）根据已知条件，结合双曲线的性质求出，进而得出双曲线方程；
（2）①根据已知条件结合圆的性质得出，设直线方程为，联立双曲线方程，根据韦达定理得出坐标关系，结合垂直关系得出向量数量积为0，从而解出的值，求出点坐标证明结论；②利用①结论联立方程，运用韦达定理结合三角形面积公式得出三角形面积表达式，结合位于右支得出参数取值范围，构造函数求出面积最小值．
【小问1详解】
双曲线的左右顶点分别为且，
，，
，，
，
双曲线：．
【小问2详解】
①证明：直线与双曲线交于两点且以线段为直径的圆恰好经过双曲线左顶点，
，，
设直线的方程为，，
联立双曲线得，( )，
，
，，
，，解得或，若，则直线过，与题意矛盾舍去，故，
直线过．
②，，
，
由①知，直线：，
联立双曲线方程得( ),
，
都在双曲线的右支上，，，
，
，
令，则，代入得
，
令，，解得，
，
求导得，在时恒成立，
在单调递增，在时取最小值，，
的最小值为9．
19. 已知函数．
（1）试判断在区间内零点的个数并说明理由；
（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值集合；
（3）证明：对任意都有不等式成立．
【答案】（1）恰有一个零点；
（2）；
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）求导得，分析其单调性，再结合零点存在性定理即可得到其零点个数；
（2）设，求导后分，和讨论即可；
（3）等价转化为证明，再设新函数求导得其最小值即可证明.
【小问1详解】
，，
又，，函数在内单调递增，
又，
由函数零点存在性定理知函数在内恰有一个零点.
【小问2详解】
设，则，
设，则，
当时，此时，则，
当时，此时，则，
显然对成立，在内单调递增，
若，则，必存在使得时，，
则此时在内单调递增，从而有，与已知矛盾.
若，则，必存在使得时，，
此时在内单调递减，从而有，与已知矛盾.
当时，，
显然当，，，则，在内单调递减，
当时，，则恒成立（不恒为零），
则即在上单调递增，且，则在上恒成立，
在内单调递增，
，即，亦即对任意恒成立.
综上所述，实数的取值集合为．
【小问3详解】
要证对任意都有，
只需证明，
由（2）知，所以有，
即（当且仅当时等号成立），所以只需证明，
即证
记，则,
当时，，当时，，
，即，
对任意都有（当且仅当时等号成立）.
递增
递减
递增
递增
递减
递增
递增
递减
递增
5
3
2
1
0