2026湖北省部分名校高三上学期9月月考数学试卷含解析

这是一份2026湖北省部分名校高三上学期9月月考数学试卷含解析，文件包含湖北省部分名校2025-2026学年高三上学期9月月考数学试卷原卷版docx、湖北省部分名校2025-2026学年高三上学期9月月考数学试卷含解析docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。
命制单位：新高考试题研究中心
考试时间：2025年9月18日下午15：00-17：00 试卷满分：150分
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据虚数单位i的性质求解，即得答案.
【详解】.
故选：C
2. 已知全集，，则集合B真子集的个数为（ ）
A. 15B. 16C. 31D. 32
【答案】A
【解析】
【分析】根据题干条件，求出集合B，代入公式，即可得答案.
【详解】因为，
所以，
因为，
所以，共4个元素，
所以集合B真子集个数为.
故选：A
3. 已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则的值为（ ）
A. B. C. 2D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】易知，且函数为偶函数，再由指数函数图象性质可求出的值即可.
【详解】由函数过原点可知，即可得，即；
又函数定义域为，且满足，可知函数为偶函数，
易知当时，趋近于0，所以函数趋近于,
因此可得，所以；
即.
故选：B
4. 当时，关于x的不等式有解的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出当时，关于x的不等式有解的充要条件，再根据充分不必要条件与充要条件的关系得出答案.
【详解】当时，关于x的不等式有解，
即在上有解.令，，
所以，则，
代入得，

当且仅当时取等号，此时，的最小值为6.
故当时，关于x的不等式有解的充要条件是，
所以满足题意的充分不必要条件是的真子集，选项中只有C符合
故选：C
5. 已知，，，，则的值为（ ）
A. 或B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意得，，进一步得的值为.
【详解】因为，，所以，
因为，，所以，
因为，所以，
所以
，
所以的值为.
故选：B.
6. 的展开式中的系数为（ ）
A. 162B. 168C. 180D. 185
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，求出展开式的通项公式，再利用多项式乘法法则求解.
【详解】二项式展开式的通项公式为，
所以的展开式中的系数为.
故选：B
7. 已知A、B是圆C：上的两点，且，点O为坐标原点，则的最小值为（ ）
A. 2B. 4C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】确定圆C的圆心和半径，进而确定点H在以C为圆心，半径为1的圆上，结合向量的模的几何意义以及圆的性质，即可求得答案.
【详解】由于，即，
故圆C的圆心为，半径为2，
设H为的中点，则，结合，得,
即点H在以C为圆心，半径为1的圆上；

又，则
而，
故的最小值为，则的最小值为，
故选：D
8. 已知，，则与的大小关系为（ ）
A. B. C. D. 不确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，构造函数，利用单调性并结合零点存在性定理确定的大小关系，再利用指数函数、幂函数单调性比较大小.
【详解】令函数，
函数在R上都单调递增，则函数在R上单调递增，
同理函数在R上单调递增，而，，
则；，，则，
即，所以.
故选：C
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题列出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 已知是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】BD
【解析】
【分析】利用线面的位置关系的性质定理逐项分析判断即可.
【详解】选项A：若，，则或或直线n与平面相交，故A选项不正确；
选项B：若，则在平面内存在一条直线，使得，
又，根据线面垂直定义得，所以，故选项B正确；
选项C：若，，则或，故C选项不正确；
选项D：若，，则，选项D正确；
故选：BD.
10. 已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若，，则（ ）
A. B.
C. D. 若，则的面积为8
【答案】ABD
【解析】
【分析】由正余弦定理、三角形面积公式及三角函数公式依次判断各选项.
【详解】对于A，由，可得，，
所以，故A正确；
对于B，由于，结合正弦定理可得，
即，所以，故B正确；
对于C，由，则，
，解得，故C错误；
对于D，由，得，解得，
则，由正弦定理得，解得，
所以的面积为，故D正确.
故选：ABD.
11. 甲乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，乙的卡片上分别标有数字2，4，6.两人进行三轮比赛.在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的一方获胜并得1分，数字小的一方得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用），则（ ）
A. 第一轮甲获胜的概率为
B. 在第一轮甲获胜的条件下，第二轮甲获胜的概率为
C. 乙的总得分不小于2的概率为
D. 甲的总得分的期望为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据枚举法和古典概型的概率公式判断A；根据条件概率公式计算判断B；利用间接法计算概率判断C；根据离散型随机变量的期望公式计算判断D；
【详解】对于A，根据题意第一轮两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，所有可能组合有种：
，
甲获胜的情况是甲的数字大于乙的数字，有3种，所以甲获胜的概率为，A正确；
对于B，设“第一轮甲获胜”为事件，“第二轮甲获胜”为事件，
由上可知第一轮甲获胜概率为，
第一轮甲获胜且第二轮甲获胜的概率
，
根据条件概率公式，B错误；
对于C，乙的总得分不小于2，即乙至少赢2轮，
乙赢0轮：三轮甲都获胜，由题意可知枚举法所以种三轮选卡的排列，
此时甲的排列需满足每轮甲的数字大于乙的数字，
因为甲中1小于乙排列中4，2，6无论怎么排列，都不满足甲全赢；
所以乙赢0轮，即乙得分为0的概率为0.
乙赢1轮：两轮甲获胜，此时两轮甲的排列需满足每轮甲的数字大于乙的数字，
一轮甲的排列需满足每轮甲的数字小于乙的数字，具体有：
；；；
；，有6种，
所以两轮甲获胜，即乙得分为1分的概率为，
因此乙的总得分不小于2的概率为，C正确；
对于D，设甲总得分为，则的可能取值为，在不考虑出牌顺序的前提下，
第一行为甲出牌，其余为乙出牌，如下表，
甲、乙两人出牌共有36种，则，，
则，D错误；
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若函数在处有极小值，则实数a的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】通过对函数求导，根据函数在处有极小值，可知，解得的值，再验证即可求出的值．
【详解】由，得，
函数在处有极小值，所以，
解得或，
当时，，
当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
所以是的极小值，符合题意.
当时，，
当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
所以是的极大值，不符合题意.
综上所述，实数a的值为.
故答案为：.
13. 已知等差数列的前n项和为，且，等比数列的首项为1，若，则的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】设等比数列的公比为，由，得，进而计算，即可得，又由对数的运算性质即可求解.
【详解】设等比数列的公比为，
所以，所以，
又，所以，所以，
所以，
故答案为：.
14. 已知双曲线：，与斜率为1且不过原点的直线交于，两点，是双曲线上一点，且，与的重心分别是，，的外心记为，直线、、的斜率之积为，则该双曲线的离心率为__________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据直线与双曲线的性质，得出二级结论斜率之积为定值，取，的中点，，得到，再由，，结合直线OP、OQ、OR的斜率之积为，求得，利用，即可求解.
【详解】若直线与双曲线，有两个交点，，设的中点为，
由，得，所以，所以，所以，所以，所以
取，的中点，，连接，，易知的重心在中线上， 的重心在中线上，所以，，
又，所以，由，得，所以，
因为，且的外心为点，所以为线段的中点，所以，又，所以，所以，所以，所以.
故答案为：2.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 记为数列的前n项和，已知.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）设，求数列的前n项和.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）当时，求出的值，当时，由可得到，两式作差可得，结合等比数列的定义可证得结论成立；
（2）由（1）中的结论可求出数列的通项公式，求得的表达式，再利用错位相减法可求得.
【小问1详解】
令时，，即得，
当时，①，②，
由①②得，，又由，又，，
所以数列是以为首项，公比为的等比数列.
【小问2详解】
，，
因为，所以，
，
两式相减得：
，
所以.
16. 随机抽取某集团公司旗下五家超市，得到广告支出x（万元）与销售额y（万元）的数据如下：
（1）计算x，y的相关系数r，并判断是否可以认为广告支出与销售额具有较高的线性相关程度？（若，则线性相关程度一般；若，则线性相关程度较高，）
（2）求出y关于x的线性回归方程，并预测若广告支出15（万元），则销售额约为多少万元？参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数r的公式分别为，，.
【答案】（1），可以认为广告支出与销售额具有较高的线性相关程度
（2），销售额为136万元.
【解析】
【分析】（1）根据相关系数公式求出相关系数即可判断.
（2）根据公式求出，进而确定线性回归方程，然后将广告支出代入方程中求出销售额即可.
【小问1详解】
根据表格里的数据可得：
，.
所以
.
.
.
所以可以认为广告支出与销售额具有较高的线性相关程度.
【小问2详解】
根据公式可得：
，.
所以关于的线性回归方程为.
当广告支出15万元时，销售额约为万元.
17. 如图，在等腰梯形中，，，，为边上靠近点的三等分点，现将三角形沿翻折，得到四棱锥，使得平面平面，为棱的中点.

（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出线段的长度；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，得出线线平行，再应用线面平行判定定理证明；
（2）建系得出平面和平面的法向量即可得出面面角余弦，最后同角三角函数关系求解正弦；
（3）设再应用点到平面距离即可计算求参.
【小问1详解】
取的中点N， 连接， 如图所示：

为棱的中点，
四边形ABMN是平行四边形，
又平面， 平面，
平面.
【小问2详解】

由在等腰梯形中，，，为边上靠近点的三等分点，可得，
也即
又平面平面，交线为,平面，
所以平面，
又平面ABCD， 又
以点D为坐标原点，

所在直线分别为轴建立直角坐标系，,
如图，则
为棱的中点，
（i） 设平面的一个法向量为 则
令 则
平面的一个法向量为
所以二面角的正弦值为.
【小问3详解】
假设在线段上存在点Q，使得点Q到平面的距离是，
设 则
由（i）知平面的一个法向量为
点Q到平面的距离是
18. 如图，在圆上任取一点P，过P作x轴的垂线段PH，H为垂足，当P点在圆上运动时，线段PH的中点M的轨迹记为曲线C，当P经过圆与x轴的交点时，规定点M与点P重合.

（1）求曲线C的标准方程；
（2）设曲线C右顶点为D，若直线l（不过D点）与曲线C交于A，B两点，满足，证明：直线l过定点.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设，，由题意得到，结合点在圆上，得，将代入，即得点M的轨迹方程；
（2）根据题意，将式子化简可得，然后分直线的斜率存在与不存在讨论，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理代入计算，即可得到结果；
【小问1详解】
设，，则，
因点是线段的中点，则得，即，
因为点在圆上，则有，
所以把代入上述方程，可得，
即曲线的标准方程是.
【小问2详解】
由（1）知，设则，
将两边平方，可得，即，
代入坐标得，即（*），

①如图，当直线垂直于轴时，且，
则将上式代入（*）化简得：，解得（舍），
此时方程为，显然经过点；

②如图，当直线的斜率存在时，设，
联立方程可得，
由，
可得，且，，
由（*），，
可得，
即
将，代入上式，整理得，
即，解得或，
当时，直线过点，不符合题意；
所以，此时直线的方程为恒经过点.
综上所述，直线过定点.
19. 已知函数，.
（1）若，求函数单调递增区间；
（2）若对于任意，都有，求实数a的取值范围；
（3）证明：对任意的正整数n，.
【答案】（1）；
（2）；
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）直接求导，再令，解出即可；
（2）求导得，注意，再利用必要性探路得到的范围，最后证明其充分性成立即可；
（3）根据（2）结论得，再设新函数，求导得当时，，最后放缩累加求和即可.
【小问1详解】
当时，，对求导得
，
令，即，解得；
故函数的单调递增区间为，
【小问2详解】
对求导得，
注意到，可得，解得，
当时，，可得在区间上单调递减，
所以；
当时，存在且，
当时，，可得在区间上单调递增，
所以与已知条件矛盾；
当时，可得在区间上单调递增，
所以与已知条件矛盾；
故实数的取值范围为．
【小问3详解】
由（2）可知，当时，，
设，
则；
令，
则，可得在区间上单调递减，
所以，
所以在区间上单调递减，
所以．
所以当时，，
可得时，，
可得
，
则
.
甲得分
1
3
5
0
2
4
6
1
2
6
4
1
4
2
6
1
4
6
2
2
6
2
4
1
6
4
2
广告支出x（万元）
2
4
5
6
8
销售额y（万元）
20
30
50
60
70