湖北省部分学校2026届高三数学上学期10月联考试题含解析

这是一份湖北省部分学校2026届高三数学上学期10月联考试题含解析，共9页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容， ""是"函数有极值"的等内容，欢迎下载使用。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，不等式，函数与导数，三角函数与解三角形，数列，平面向量.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，且，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据补集的定义可得，进而判断各选项即可.
【详解】由题意得，则，，，.
故选：A.
2. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量垂直的坐标表示即可求出参数值.
【详解】由题意可得，因为，
则，
即，解得.
故选：C.
3. 为了得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ）
A. 向右平移个单位长度B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度D. 向左平移个单位长度
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件，结合“左加右减”的原则即可求解.
【详解】，
只需要将函数的图象向左平移个单位长度，可以得到的图象，
故选：D
4. 已知函数的定义域为则的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据抽象函数定义域的求法结合偶次根式有意义的条件得到关于的不等式组，解不等式组即可求解.
【详解】由于函数的定义域为所以，则,
所以的定义域满足,解得：,
所以的定义域为：；
故选：B
5. ""是"函数有极值"的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】先求得导数，再分，讨论导函数何时有“变号”零点，得到的取值范围，然后根据充分条件，必要条件的定义判断.
【详解】，则，
当，是开口向下的二次函数，显然此时有极大值；
当，，有极值，
则其导函数的函数值要存在变号零点，
即二次方程必须有两个不相等的实数根，
则，解得，则且；
综上，函数有极值时.
故""是"函数有极值"的充要条件.
故选：C
6. 如图，等边三角形的边长为4，取各边的中点，，，作第2个等边三角形，然后再取各边的中点，，，作第3个等边三角形，依此方法一直继续下去，记为第1个三角形，为第2个三角形，为第3个三角形，，依此类推，则第10个三角形与第5个三角形的面积之和为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意和图形，可得第1，第2，…，第个三角形的面积满足，即是首项为，公比为的等比数列，利用等比数列的基本量运算即得答案.
【详解】设的面积为，后续各三角形的面积依次为，，，，
则，，，，可见，
即是首项为，公比为的等比数列，则，
于是，，，
故.
故选：D.
7. 某公司工程师需要在河岸边测量对岸一座垂直于地面信号塔的高度，由于河流无法直接跨越，工程师在岸边选取了相距80米的（与该信号塔的塔底在同一水平面上）两个测量点：从点观测该信号塔塔顶的仰角为，从点观测该信号塔塔顶的仰角为，且，则这座信号塔的高度（ ）
A. 米B. 米C. 40米D. 80米
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意画出图形，进而利用余弦定理求解即可.
详解】根据题意画出图形，如下图所示：

设米，则米，米，米，
在中，由余弦定理可得，
即，即，
解得或（舍去），则米.
故选：C
8. 已知奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设函数，判断单调性，然后对不等式进行变形化简，进而得出结果.
【详解】设函数，因为是上的奇函数，且在上单调递增，所以在上单调递增.
不等式，即不等式.
因为，所以，所以，
则不等式等价于不等式，
所以，解得.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，则下列不等式一定成立的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用不等式的性质依次判断选项即可得到答案.
【详解】对选项A，若，则，不满足，故A错误.
对选项B，若，则，故B正确.
对选项C，因为，所以，，
所以，所以，故C正确.
对选项D，因为，由B知：，所以，故D正确.
故选：BCD
10. 如图，在中，，，，，是线段的中点，连接并延长，交线段于点，则（ ）

A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据平面向量的线性定理、向量的数量积公式、向量模的公式逐项计算即可.
【详解】因为是线段的中点，所以.
因为，，三点共线，所以，.
因为，，三点共线，所以，解得，所以，A正确.
因为，所以，B错误.
在中，由余弦定理可得，所以.
因为，则，C正确.
因为，，，所以，
所以，D错误.
故选：AC.
11. 已知，，设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】构造函数，利用导数法得到的单调性，求，与0的大小，从而得到与的大小；构造函数，利用导数法得到的单调性，求出，从而得到与的大小，从而得解.
【详解】设，则.
由，得，
由，得，
则在上单调递增，在上单调递减，
因为，所以，所以，则.
因为，，
所以，，则，即，即.
设，则.
当时，，则在上单调递减，
所以，
所以，即.
综上，.
故选：ABC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的值域是__________.
【答案】
【解析】
【分析】化简得，再结合基本不等式即可解题.
【详解】因为，
所以，
当且仅当即时，等号成立，
所以的值域是.
故答案为：
13. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图，四个图形中点的个数分别为1，5，12，22，这种数称为五边形数，其中第1个五边形数记作，第2个五边形数记作，第3个五边形数记作，第4个五边形数记作，，则第个五边形数__________.
【答案】
【解析】
【分析】分析得出后，再利用累加法求解即可.
【详解】由题意可得，，，，，
当时，，
即，
当时，满足通项公式，
所以.
故答案为：.
14. 设函数，若在上单调递增，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用正弦函数的单调区间来求解参数范围即可.
【详解】由可得：，
因为正弦函数的单调递增区间是，
所以，解得：，
由解得：，
因为，所以当时，有，
当时，有，
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，角，，的对边分别为，，，且，.
（1）求的值；
（2）若的周长为，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理先将等式进行边角转化，可求出的值，进而求出的值.
（2）由正弦定理可先求出，然后根据三角形的周长求出的值，最后根据三角形面积公式求出面积.
【小问1详解】
因为，所以，
因为，所以，所以，又，所以.
因为，所以，所以.
因为，所以，
所以，又，所以.
因为，所以.
【小问2详解】
由（1）可知，，，则.
由正弦定理可得，
则可设，，，故.
因为的周长为，所以，
即，解得，
则，，
故的面积.
16. 已知函数.
（1）求图象的对称中心的坐标，
（2）求在上的值域，
（3）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由两角和差的正弦公式展开，再由辅助角公式得到，再由整体代入法即可求解；
（2）由，得到，再结合正弦函数的性质即可求解；
（3）令，问题转换成对任意的，不等式恒成立，由二次函数的性质即可求解.
【小问1详解】
，
令，
解得：，
所以图象的对称中心的坐标为；
【小问2详解】
因为，所以，
当，即时，取得最大值，；
当，即时，取得最小值，；
所以在上的值域是
【小问3详解】
设，
则对任意的，不等式恒成立，等价于：
则对任意的，不等式恒成立，
所以，
解得：，
即的取值范围是.
17. 已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x+1，且f(1)=-4.
（1）求f(x)的解析式.
（2）设函数
①当时，求不等式g(x)>0的解集
②若g(x)的最小值为-6m，求m的值.
【答案】（1）
（2）①或，②或
【解析】
分析】（1）首先设，再根据，求解即可.
（2）①由题知：，再利用换元法求解不等式即可，②首先，得到函数，再分类讨论结合最小值求解即可.
【小问1详解】
设，
因为，
所以，所以，.
【小问2详解】
①，
因为，，
所以.
设，当且仅当，即时取等号.
所以，即，解得：.
所以，整理得：，
解得：或，即或，解集为或.
②，
设，当且仅当，即时取等号.
所以，
当时，函数在为增函数，
所以，解得.
当时，函数在为减函数，在为增函数，
所以，解得或（舍去）.
综上：或.
18. 已知函数
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得；
（2）将原不等式化简可得，则构造函数可得，结合范围及单调性计算可得，再计算范围即可得.
【小问1详解】
当时，，则，
，又，
则曲线在点处的切线方程为，
即；
【小问2详解】
由题意可得在时恒成立，
则
，
则，即有，
令，则，
即有对任意恒成立，
，则当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
当时，，则，
当时，，则，
则当时，有对任意恒成立，
当时，若，则；
综上可得，则对任意恒成立，
当时，，又在上单调递增，
则，则.
19. 对于数列，若存在非零常数，使得对一切正整数都有，则称数列是“绝对公差为”的“绝对等差数列”.
（1）若，，试问数列，是否为“绝对等差数列”？若是，请求出其“绝对公差”；若不是，请说明理由.
（2）已知数列是“绝对公差为1”的“绝对等差数列”.若，
①求的最小值；
②记的所有可能取值的个数为，证明：对一切的，都有.
【答案】（1）数列是“绝对等差数列”，其绝对公差为2，数列不是“绝对等差数列”，理由见解析
（2）①45；②证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用“绝对等差数列”的定义依次判断即可；
（2）①根据数列是“绝对公差为1”的“绝对等差数列”，依次求出数列的前项的值，结合两边平方可得化简可得，
从而得到即可求解
②由①可知，将问题转化为证明，函数，，
利用导数研究函数的单调性，从而得到对一切的恒成立，
令，得到，即可证明结论.
【小问1详解】
因为，所以，且，所以，
则数列是“绝对等差数列”，其绝对公差为2.
因为，所以，，，，且，
则不存在非零常数，使得对一切正整数都有，
所以数列不是“绝对等差数列”.
【小问2详解】
因为数列是“绝对公差为1”的“绝对等差数列”，所以.
①因为，所以，所以，2，所以，，
所以，3，所以，，所以，，4，所以，，，，以此类推，
可得，，，，，，，，，.
因为，所以，所以，
则.
因为，，，，，所以，
当，时，取得最小值90，
则的最小值为45.
②证明：由①可知，则对一切的，都有，即对一切的，都有.
设函数，，则对一切的恒成立，所以在上单调递增，所以，即对一切的恒成立.
令，则，
所以，，，，
所以，
所以，
则.