新高考物理一轮复习考点精讲精练第4章第7讲 圆周运动模型（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考物理一轮复习考点精讲精练第4章第7讲 圆周运动模型（2份，原卷版+解析版），共7页。
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc28369" 【模型一 匀速圆周运动的基本性质】
类型1：匀速圆周运动的基本物理量计算
类型2：三种传动方式
类型3：圆周运动中的向心力计算
\l "_Tc28700" 【模型二 水平面内圆周运动模型】
类型1：水平转盘模型
类型2：锥摆及锥型容器模型
类型3：水平面和倾斜面车辆转弯模型
\l "_Tc28700" 【模型三 竖直面内圆周运动模型】
类型1：绳球模型
类型2：杆球模型
类型3：拱形桥模型
类型4：复合模型（竖直面内圆周运动与平抛运动的组合）
圆周运动主要涉及两大类题型：水平面内的圆周运动模型和竖直平面内的圆周运动模型。
①在水平面内做匀速圆周运动物体的动力学问题,称为水平面内的圆周运动模型。涉及物体在运动过程中的受力分析、牛顿第二定律、向心力公式的选择应用、动态过程的分析、临界与极值条件的确定等多个知识内容与方法,因此水平面内的圆周运动模型是高考中一个常考模型。
②物体在竖直平面内做匀速或变速圆周运动的动力学问题,称为竖直平面内的圆周运动模型。竖直平面内的圆周运动模型通常涉及受力分析、牛顿运动定律、能量转化与守恒等知识与方法,由于物体在运动过程所受弹力的变化可导致出现临界与极值问题,使得这类问题分析处理的难度加大,对能力考查的有效性增大,因此竖直平面内的圆周运动模型多年来一直是各高考热点中高频考查的一个重要物理模型。
【模型一 匀速圆周运动的基本性质】
类型1：匀速圆周运动的基本物理量计算
一．圆周运动的基本性质
1．定义：做圆周运动的物体，若在相等的时间内通过的圆弧长相等，就是匀速圆周运动。
2．性质：一种变加速的变速运动。
二．描述圆周运动的物理量
三．v、ω、r、a中任意三者关系的讨论
1.讨论v、ω、r、a中三者关系时，先确保一个量不变，再确定另外两个量间的正、反比关系。
（1）对公式v＝ωr的理解：当r一定时，v与ω成正比；当ω一定时，v与r成正比；当v一定时，ω与r成反比。
（2）对a＝eq \f(v2,r)＝ω2r＝ωv的理解：在v一定时，a与r成反比；在ω一定时，a与r成正比。
2.讨论ω、T和f中关系时，由公式可知，周期与角速度成反比；频率与角速度成正比。
【典例1】（2025·河北·高考真题）某同学在傍晚用内嵌多个彩灯的塑料绳跳绳，照片录了彩灯在曝光时间内的运动轨迹，简图如图。彩灯的运动可视为匀速圆周运动，相机本次曝光时间是130s，圆弧对应的圆心角约为30°，则该同学每分钟跳绳的圈数约为（ ）
A．90B．120C．150D．180
根据题意可知跳绳的转动角速度为ω=θΔt=π6130rad/s=5πrad/s
故每分钟跳绳的圈数为n=5π×602π=150
【变式1-1】（2025·安徽·高考真题）在竖直平面内，质点M绕定点O沿逆时针方向做匀速圆周运动，质点N沿竖直方向做直线运动，M、N在运动过程中始终处于同一高度。t=0时，M、N与O点位于同一直线上，如图所示。此后在M运动一周的过程中，N运动的速度v随时间t变化的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】因为M、N在运动过程中始终处于同一高度，所以N的速度vN与M在竖直方向的分速度vMy大小相等，
设M做匀速圆周运动的角速度为ω，半径为r，其竖直方向分速度vMy=ωrcsωt
即vN=ωrcsωt
则D正确，ABC错误。
故选D。
【变式1-2】（2025·宁夏吴忠·二模）如甲图所示为某商场的旋转玻璃门，乙图为它的俯视示意图，旋转门逆时针旋转，左右两侧弧形玻璃完全对称，三扇旋转门连在一起且两两之间夹角相等。旋转门宽度为1.5 m，左侧两扇旋转门和弧形玻璃恰好围成一个封闭空间。已知商场旋转玻璃门外边缘的最大安全旋转速度为1m/s，玻璃门处于如图位置时一位顾客（可视为质点）在下边缘虚线某处进入旋转玻璃门，则顾客穿过旋转玻璃门的最大平均速度为（ ）
A．6πm/sB．3πm/sC．33πm/sD．332πm/s
【答案】A
【详解】若想顾客穿过旋转玻璃门平均速度最大，则需要顾客穿过旋转玻璃门的过程中位移最大且用时最短。则顾客的最大位移为圆的直径，顾客进入旋转门若要用时最短，需要在旋转门逆时针旋转60°时出去。商场旋转玻璃门外边缘的最大安全旋转速度为1m/s。玻璃门安全旋转的最大角速度为ωm=vmR=11.5rad/s=23rad/s
此时旋转门转过60°所用时间最短，其大小为tmin=θωm=π2 s
则顾客穿过旋转玻璃门的最大平均速度为v−max=xmtmin=6πm/s
故选A。
【变式1-3】（2024·吉林·一模）如图所示的圆盘，半径为R，可绕过圆心O的水平轴转动，在圆盘的边缘沿同一直径方向固定两根长为R的轻杆，杆的端点各有一可视为质点的小球A、B，在圆盘上缠绕足够长的轻绳。轻绳的另一端拴接一小球C。现将装置由静止释放，小球C向下以12g（g为重力加速度）的加速度做匀加速直线运动，圆盘与轻绳间不打滑，经过一段时间圆盘转过两圈。下列说法正确的是（ ）
A．圆盘转两圈所用的时间为22πRg
B．圆盘转两圈时，小球A的角速度大小为2πgR
C．圆盘转两圈时，圆盘的角速度大小为πgR
D．圆盘转两圈时，小球B的线速度大小为2πgR
【答案】B
【详解】A．圆盘转两圈时，小球C下降的位移为4πR，根据位移—时间公式有
x=12×12gt2
解得圆盘转两圈所用的时间为
t=4πRg
故A错误；
BC．此时小球C的速度为
v=12gt=2πgR
则圆盘和小球A的角速度大小为
ω=vR=2πgR
故B正确，C错误；
D．小球B的线速度大小为
v′=2Rω=4πgR
故D错误；
故选B。
类型2：三种传动方式

【典例2】（多选）（2025·福建·高考真题）春晚上转手绢的机器人，手绢上有P、Q两点，圆心为O，OQ=3OP，手绢做匀速圆周运动，则（ ）
A．P、Q线速度之比为1:3
B．P、Q角速度之比为3:1
C．P、Q向心加速度之比为3:1
D．P点所受合外力总是指向O
B．手绢做匀速圆周运动，由图可知P、Q属于同轴传动模型，故角速度相等，即角速度之比为1:1，B错误；
A．由v=ωr
可知，P、Q线速度之比
vP:vQ=rOP:rOQ=1:3
得A正确；
C．由a=ω2r
可知，P、Q向心加速度之比
aP:aQ=rOP:rOQ=1:3
得C错误；
D．做匀速圆周运动的物体，其合外力等于向心力，故合力总是指向圆心O，D正确。
【变式2-1】（2025·湖北恩施·一模）如图所示，汽车转弯时，四个车轮的轮轴延长线交于同一点O。已知四个车轮的规格完全相同，且转弯时车轮不打滑，则汽车转弯时，四个车轮的（ ）
A．轮轴绕O点运动的线速度大小相等B．轮轴绕O点运动的角速度大小相等
C．边缘绕轮轴转动的线速度大小相等D．边缘绕轮轴转动的角速度大小相等
【答案】B
【详解】AB．汽车转弯时，四个车轮轮轴绕O点做圆周运动，属于同轴转动，同轴转动的各点角速度大小相等，四个车轮轮轴绕O点运动的半径不同，根据v=ωr，角速度相等时，半径不同则线速度大小不相等， A错误，B正确；
C．由于四个车轮规格完全相同且不打滑，但它们绕O点运动的半径不同，线速度不同，所以边缘绕轮轴转动的线速度大小不相等，故 C错误；
D．根据ω=vr(这里v是车轮边缘相对轮轴的线速度)，线速度不同，半径相同(车轮规格相同)，所以边缘绕轮轴转动的角速度大小不相等， 故D错误。
故选B。
【变式2-2】（2024·广西南宁·二模）如图所示，修正带是一种常见的学习用具，是通过两个齿轮的相互咬合进行工作的，其原理可简化为图中所示的模型。A、B是转动的大小齿轮边缘的两点，C是大轮上的一点，若A、B、C的轨道半径之比为2：3：2，则A、B、C的向心加速度大小之比（ ）
A．9：6：4B．9：6：2C．6：4：3D．6：3：2
【答案】A
【详解】修正带是通过两个齿轮的相互咬合进行工作的，边缘点的线速度大小相等，即
vA=vB
根据向心加速度的公式
a=v2r
可知A、B的向心加速度大小之比3：2；又B、C两点为同轴转动，则角速度相等，即
ωC=ωB
根据向心加速度的公式
a=rω2
可知B、C的向心加速度大小之比3：2；综上可知A、B、C的向心加速度大小之比9：6：4。
故选A。
【变式2-3】（多选）（2024·新疆·一模）如图所示为向心力演示仪，在某次实验中，将三个完全相同的小球分别置于挡板A、B、C处，已知挡板A、B、C到各自转轴的距离之比为1：2：1。将皮带置于第二层塔轮上，使得左塔轮与右塔轮的半径之比为2：1，转动手柄，向心力演示仪稳定工作时，下列说法正确的是（ ）
A．A、B两处小球运动的角速度之比为2：1
B．A、B两处小球所需的向心力之比为1：2
C．A、C两处小球运动的角速度之比为4：1
D．A、C两处小球所需的向心力之比为1：4
【答案】BD
【详解】AB．A、B两处的小球属于同轴转动，角速度相同，因此角速度之比为1:1，向心力为
Fn=mω2r
所以A、B两处向心力之比为1:2，A错误，B正确；
CD．由于左右两侧塔轮线速度大小相等，半径之比为2:1，根据
ω=vr
Fn=mω2r
可知角速度之比应该为1:2，向心力之比为1:4，D正确。
故选BD。
类型3：圆周运动中的向心力计算
一．匀速圆周运动
二.变速圆周运动和一般曲线运动的处理方法
三．圆周运动的解题思路
四．几种常见向心力模型分析
五．圆周运动中常见的连接体模型分析

【典例3】（多选）（2025·广东·高考真题）将可视为质点的小球沿光滑冰坑内壁推出，使小球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示。已知圆周运动半径R为0.4m，小球所在位置处的切面与水平面夹角θ为45°，小球质量为0.1kg，重力加速度g取10m/s2。关于该小球，下列说法正确的有（ ）
A．角速度为5rad/sB．线速度大小为4m/s
C．向心加速度大小为10m/s2D．所受支持力大小为1N
A．对小球受力分析可知F向=mgtan45°=mω2R
解得ω=5rad/s
故A正确；
B．线速度大小为v=ωR=2m/s
故B错误；
C．向心加速度大小为an=ω2R=10m/s2
故C正确；
D．所受支持力大小为N=mgcs45°=2N
故D错误。
【变式3-1】（2020·全国I卷·高考真题）如图，一同学表演荡秋千。已知秋千的两根绳长均为10 m，该同学和秋千踏板的总质量约为50 kg。绳的质量忽略不计，当该同学荡到秋千支架的正下方时，速度大小为8 m/s，此时每根绳子平均承受的拉力约为（ ）
A．200 NB．400 NC．600 ND．800 N
【答案】B
【详解】在最低点由
2T−mg=mv2r
知
T=410N
即每根绳子拉力约为410N，故选B。
【变式3-2】（2025·河北邯郸·模拟预测）如图所示，在水平光滑桌面上，不可伸长的轻绳一端固定于O点，另一端系一质量为m的小球。小球绕O点做匀速圆周运动时，力传感器测得绳上的拉力大小为F，用秒表测得小球连续n次通过同一位置所用时间为t，用刻度尺测得O点到球心的距离为L。下列表达式正确的是（ ）
A．F=2π2mn2Lt2B．F=4π2mnL2t2
C．F=4π2mn2Lt2D．F=4π2mn−12Lt2
【答案】D
【详解】小球在水平光滑桌面上做匀速圆周运动时，F提供向心力。根据向心力公式F=m2πT2L
其中T=tn−1
解得F=4π2mn−12Lt2
故选D。
【变式3-3】（2024·广东·高考真题）如图所示，在细绳的拉动下，半径为r的卷轴可绕其固定的中心点O在水平面内转动。卷轴上沿半径方向固定着长度为l的细管，管底在O点。细管内有一根原长为l2、劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧底端固定在管底，顶端连接质量为m、可视为质点的插销。当以速度v匀速拉动细绳时，插销做匀速圆周运动。若v过大，插销会卡进固定的端盖。使卷轴转动停止。忽略摩擦力，弹簧在弹性限度内。要使卷轴转动不停止，v的最大值为（ ）
A．rk2mB．lk2mC．r2kmD．l2km
【答案】A
【详解】有题意可知当插销刚卡紧固定端盖时弹簧的伸长量为Δx=l2，根据胡克定律有
F=kΔx=kl2
插销与卷轴同轴转动，角速度相同，对插销有弹力提供向心力
F=mlω2
对卷轴有
v=rω
联立解得
v=rk2m
故选A。
【变式3-4】（多选）（2019·江苏·高考真题）如图所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动．座舱的质量为m，运动半径为R，角速度大小为ω，重力加速度为g，则座舱

A．运动周期为2πRω
B．线速度的大小为ωR
C．受摩天轮作用力的大小始终为mg
D．所受合力的大小始终为mω2R
【答案】BD
【详解】由于座舱做匀速圆周运动，由公式ω=2πT，解得：T=2πω，故A错误；由圆周运动的线速度与角速度的关系可知，v=ωR，故B正确；由于座舱做匀速圆周运动，所以座舱受到摩天轮的作用力是变力，不可能始终为mg，故C错误；由匀速圆周运动的合力提供向心力可得：F合=mω2R，故D正确．
【模型二 水平面内圆周运动模型】
类型1：水平转盘模型
【典例4】（2023·江苏·高考真题）“转碟”是传统的杂技项目，如图所示，质量为m的发光物体放在半径为r的碟子边缘，杂技演员用杆顶住碟子中心，使发光物体随碟子一起在水平面内绕A点做匀速圆周运动。当角速度为ω0时，碟子边缘看似一个光环。求此时发光物体的速度大小v0和受到的静摩擦力大小f。

发光体的速度
v0=ω0r
发光体做匀速圆周运动，则静摩擦力充当做圆周运动的向心力，则静摩擦力大小为
f=mω02r
【变式4-1】（2019·海南·高考真题）如图，一硬币（可视为质点）置于水平圆盘上，硬币与竖直转轴OO'的距离为r，已知硬币与圆盘之间的动摩擦因数为μ（最大静摩擦力等于滑动摩擦力），重力加速度大小为g。若硬币与圆盘一起OO′轴匀速转动，则圆盘转动的最大角速度为（ ）
A．12μgrB．μgrC．2μgrD．2μgr
【答案】B
【详解】硬币做圆周运动的向心力由静摩擦力提供，则：μmg=mω2r，解得ω=μgr，即圆盘转动的最大角速度为μgr，故选B.
【变式4-2】（2025·四川广安·模拟预测）如图所示，三个体积相同可看作质点的物体A、B和C放在水平圆盘上，水平圆盘绕轴OO′转动，BC叠放在一起，它们分居圆心两侧且共线，物块质量均为1kg，与圆心距离分别为r1=1.5m，r2=1m，A与转盘间摩擦系数μ1=0.5，B、C间摩擦系数，μ2=0.2，C与转盘间摩擦系数μ3=0.3。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当水平圆盘角速度由零逐渐增大时，取g=10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．A最先滑离圆盘
B．角速度ω1=103rad/s时，A恰好发生滑动，此时A不受到摩擦力
C．角速度ω2=3rad/s时，B、C恰好一起发生滑动
D．角速度ω3=2rad/s时，B恰好发生滑动
【答案】D
【详解】受力分析可知，A、B、C均由摩擦力提供向心力，若均与水平圆盘不发生相对滑动，对A、对B、对BC整体（假设BC能保持相对静止），均有f=mω2r≤μmg
则A、B、C与水平圆盘不发生相对滑动，均要求ω≤μgr
解得ωA≤103rad/s，ωB≤2rad/s，ωBC≤3rad/s
A．不发生相对滑动，ωB最小，B最先滑离圆盘，故A错误；
B．角速度ω1=103rad/s时，A恰好发生滑动，摩擦力到达最大静摩擦力，故B错误；
C．因ωB θa，代入上式，故此
FTb > FTa，anb > ana
故C正确、D错误；
AB．根据
ma = mωr2
可有
ωb > ωa
缓慢拉绳子，可以认为上升过程中，绳子拉力与重力的合力在竖直方向上合力为零，做功为零；两个力合力的水平分力因为半径减小而做正功，从而使小球的动能变大，速度变大。
线速度变大，故AB错误。
【变式5-1】（2025·湖南·模拟预测）如图所示的圆锥筒开口向上，O′为圆锥筒的顶点，O点为底面圆的圆心，圆锥筒的母线与水平面的夹角为θ=37°。一可视为质点、质量为m=0.2kg的物体放在圆锥筒内壁，给物体一沿内壁向下的初速度，物体刚好匀速下滑。将物体放在距离O′点L=1.5m处，现让圆锥筒绕中心轴线OO′以角速度ω匀速转动，物体随圆锥筒做圆周运动且始终相对圆锥筒静止。假设物体与圆锥筒间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取110m/s2，sin37°=0.6，则下列说法正确的是（ ）
A．物体与圆锥筒间的动摩擦因数为0.5B．当ω=2.5rad/s时，物体只受重力和支持力的作用
C．当ω=5rad/s时，物体所受的摩擦力大小为3ND．当ω=8rad/s时，物体恰好不沿圆锥筒内壁上滑
【答案】B
【详解】A．物体沿圆锥筒内壁下滑时，物体受重力、支持力和沿圆锥筒内壁向上的滑动摩擦力，由力的平衡条件得FN=mgcsθ，Ff=mgsinθ
又Ff=μFN
解得μ=tanθ=0.75，A错误；
B．当圆锥筒做匀速圆周运动，物体只受重力和支持力作用时，有mgtanθ=mω02r
又r=Lcsθ
代入数据解得ω0=2.5rad/s，B正确；
C．ω=5rad/s时，圆锥筒的角速度大于ω0，物体有沿圆锥筒内壁向上滑动的趋势，则物体所受的静摩擦力沿内壁向下，竖直方向上有FNcsθ=Ffsinθ+mg
水平方向上有FNsinθ+Ffcsθ=mω2r
代入数据解得Ff=3.6N，C错误；
D．当物体开始沿圆锥筒内壁上滑时，物体与圆锥筒内壁的摩擦力达到最大静摩擦力，竖直方向上有FNcsθ=Ffmsinθ+mg
水平方向上有FNsinθ+Ffmcsθ=mω2r
又Ffm=μFN
解得ω=1027rad/s，D错误。
故选B。
【变式5-2】（2025·河北·模拟预测）如图所示，一质量m=0.4kg的小球C用轻绳AC和BC系在竖直杆AB上，现在小球绕AB杆匀速转动，轻绳伸直，OC垂直于AB，此时∠ACO=53°，∠BCO=37°。已知轻绳AC长为1.0m，足够结实，轻绳BC能承受的最大拉力为1.44N，小球C可视为质点，g取10m/s2，sin37°=0.6，sin53°=0.8。那么小球做圆周运动的角速度（ ）
A．522rad/s≤ω≤25rad/sB．22rad/s≤ω≤25rad/s
C．255rad/s≤ω≤25rad/sD．252rad/s≤ω≤255rad/s
【答案】A
【详解】当轻绳AC和BC的拉力达到最大时，小球C的角速度最大，在竖直方向，有FACsin53∘−FBCsin37∘−mg=0
在水平方向，根据牛顿第二定律，有FACcs53∘+FBCcs37∘=mLACcs53∘ω12
解得ω1=25rad/s
当轻绳BC的拉力为零时，小球C的角速度最小，在竖直方向，有FACsin53∘−mg=0
在水平方向，根据牛顿第二定律，有FACcs53∘=mLACcs53∘ω22
解得ω2=522rad/s
所以小球做圆周运动的角速度满足522rad/s≤ω≤25rad/s
故选A。
【变式5-3】（多选）（2025·河南·模拟预测）一根粗糙的轻杆OA上端固定在竖直转轴上，轻杆与竖直方向夹角始终为θ=30°，可以以某一角速度ω绕竖直轴匀速转动。轻杆上套有轻质弹簧，弹簧一端与轻杆端点O拴接，一端与套在杆上的小球相连。弹簧原长为L，劲度系数k=3mg2L，小球质量为m，在B点相对于杆静止，OB=2L。小球和杆之间的动摩擦因数μ=0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．若ω=0，小球受到的摩擦力沿杆向上
B．无论角速度ω多大，小球受到的摩擦力不可能沿杆向下
C．小球刚要与杆发生相对滑动时，小球所受的摩擦力大小为(2−3)mg
D．小球与杆发生相对滑动时的临界角速度为(2−3)gL
【答案】BD
【详解】A．由题知弹簧原长为L，在B点相对于杆静止，OB=2L，根据胡克定律可得弹簧弹力F=k2L−L=kL=3mg2
小球相对杆静止，若ω=0，此时重力沿杆向下的分力mgcsθ=3mg2=F
则小球受到的摩擦力f=0
故A错误；
B．当ω≠0时，小球有沿杆向下运动的趋势，摩擦力始终沿杆向上，故B正确；
CD．小球与杆刚要发生相对滑动时，对小球受力分析，水平方向有F+fmsinθ−FNcsθ=mω2L
竖直方向有F+fmcsθ+FNsinθ=mg
又有fm=μFN
联立解得fm=2−32mg，ω=(2−3)gL
故C错误，D正确。
故选BD。
类型3：水平面和倾斜面车辆转弯模型
【典例6】（2025·江西·高考真题）为避免火车在水平面上过弯时因内外轨道半径不同致使轮子打滑造成危险（不考虑离心问题），把固定连接为一体的两轮设计成锥顶角θ很小的圆台形，如图所示。设铁轨间距为L，正常直线行驶时两轮与铁轨接触处的直径均为D，过弯时内外轨间中点位置到轨道圆心的距离为过弯半径R。在θ很小时，tanθ≈sinθ≈θ。若在水平轨道过弯时要求轮子不打滑且横向偏移量不超过Δx，则最小过弯半径R为（ ）
A．2LDθΔxB．LDθΔxC．LD2θΔxD．LD4θΔx
根据题意可知，转弯时车轮会向外偏移Δx，这样导致轮子与外铁轨接触的位置半径增大为r1，根据几何关系有2r1=D+2Δxtanθ2
同理可知，轮子与内铁轨接触的位置半径减小为r2，则有2r2=D−2Δxtanθ2
设一段时间内，外轨道轮子与铁轨接触的位置向前运动的距离为s1，内轨道轮子与铁轨接触的位置向前运动的距离为s2，由于两轮固定连接为一体，且轮子不打滑，则有s1s2=r1r2=D+2Δxtanθ2D−2Δxtanθ2
由于tanθ2≈θ2
则有s1s2=D+θΔxD−θΔx
转弯过程俯视图，如图所示
由几何关系有s1s2=R+L2R−L2
联立解得R=LD2θΔx
故选C。
【变式6-1】（2025·云南贵州·二模）小车内固定有垂直于运动方向的水平横杆，物块M套在横杆上，一个小铁球用轻质细线吊在物块底部。当小车以恒定速率v通过某一水平弯道时（可视为圆周运动），细线与竖直方向的夹角为θ，如图所示。若小车以更大的恒定速率通过该弯道，设小车在通过弯道的过程中，小球、物块与小车均保持相对静止，下列说法错误的是（ ）
A．细线与竖直方向的夹角变大B．细线对小球的拉力变大
C．横杆对物块的摩擦力变大D．横杆对物块的支持力变大
【答案】D
【详解】D．令小铁球质量为m，物块与小球保持相对静止，对物块与小铁球整体进行分析，如图甲所示
则有FN=M+mg
可知，当小车以更大的恒定速率通过该弯道时，横杆对物块的支持力不变，故D错误，符合题意；
C．火车转弯过程，将车内物体的转弯半径可以近似认为相同，令为R，结合上述分析有f块=M+mv2R
可知，当小车以更大的恒定速率通过该弯道时，横杆对物块的摩擦力变大，故C正确，不符合题意；
A．对小球进行受力分析，如图乙所示
则有Tcsθ=mg，Tsinθ=mv2R
解得gtanθ=v2R
可知，转弯速度变大，则细线与竖直方向夹角变大，故A正确，不符合题意；
B．结合上述解得T=mgcsθ
由于细线与竖直方向夹角变大，则细线对小球的拉力变大，故B正确，不符合题意。
故选D。
【变式6-2】（2024·四川广安·二模）钢架雪车是一项精彩刺激的冬奥会比赛项目，运动员起跑区推动雪车起跑后俯卧在雪车上，再经出发区、滑行区和减速区的一系列直道、弯道后到达终点、用时少者获胜。图（a）是比赛中一运动员在滑行区某弯道的图片，假设可视为质点的人和车的总质量m=90kg，其在弯道上P处做水平面内圆周运动的模型如图（b），车在P处既无侧移也无切向加速度，速率v=30m/s，弯道表面与水平面成θ=53°，不计摩擦力和空气阻力，重力加速度g=10m/s2，sin53°=0.8。则在P处（ ）
A．车对弯道的压力大小为900N
B．人对车的压力大小为1500N
C．人和车做圆周运动的半径为67.5m
D．人和车的加速度大小为7.5m/s2
【答案】C
【详解】A．对人和车受力分析，如图所示
根据几何关系有
N=mgcsθ=1500N
根据牛顿第三定律可得，车对弯道的压力大小为1500N，故A错误；
B．由于不知道人的质量，所以无法确定人对车的压力，故B错误；
CD．根据牛顿第二定律可得
mgtanθ=mv2r=ma
解得
r=67.5m，a=13.33m/s2
故C正确，D错误。
故选C。
【变式6-3】（2022·福建·高考真题）清代乾隆的《冰嬉赋》用“躄躠”（可理解为低身斜体）二字揭示了滑冰的动作要领。500m短道速滑世界纪录由我国运动员武大靖创造并保持。在其创造纪录的比赛中，
（1）武大靖从静止出发，先沿直道加速滑行，前8m用时2s。该过程可视为匀加速直线运动，求此过程加速度大小；
（2）武大靖途中某次过弯时的运动可视为半径为10m的匀速圆周运动，速度大小为14ms。已知武大靖的质量为73kg，求此次过弯时所需的向心力大小；
（3）武大靖通过侧身来调整身体与水平冰面的夹角，使场地对其作用力指向身体重心而实现平稳过弯，如图所示。求武大靖在（2）问中过弯时身体与水平面的夹角θ的大小。（不计空气阻力，重力加速度大小取10m/s2，tan22°=0.40、tan27°=0.51、tan32°=0.62、tan37°=0.75）
【答案】（1）4m/s2；（2）1430.8N；（3）27°
【详解】（1）设武大靖运动过程的加速度大小为a，根据
x=12at2
解得
a=2xt2=2×822m/s2=4m/s2
（2）根据
F向=mv2r
解得过弯时所需的向心力大小为
F向=73×14210N=1430.8N
（3）设场地对武大靖的作用力大小为F，受力如图所示
根据牛顿第二定律可得
F向=mgtanθ
解得
tanθ=mgF向=73×101430.8≈0.51
可得
θ=27°
【模型三 竖直面内圆周运动模型】
类型1：绳球模型
1.模型分析
2.结合功能关系
【典例7】（2025·福建福州·一模）《水流星》是中国传统民间杂技艺术，杂技演员用一根绳子兜着里面倒上水的两个碗，迅速地旋转着绳子做各种精彩表演，即使碗底朝上，碗里的水也不会洒出来。假设水的质量为m，绳子长度为L，重力加速度为g，不计空气阻力。绳子的长度远远大于碗口直径。杂技演员手拿绳子的中点，让碗在空中旋转。
(1)两碗在竖直平面内做圆周运动，若碗通过最高点时，水对碗的压力等于mg，求碗通过最高点时的线速度；
(2)若两只碗在竖直平面内做圆周运动，两碗的线速度大小始终相等，如图甲所示，当正上方碗内的水恰好不流出来时，求正下方碗内的水对碗的压力；
(3)若两只碗绕着同一点在水平面内做匀速圆周运动，碗的质量为M。如图乙所示，已知绳与竖直方向的夹角为θ，求碗和水转动的角速度大小。
（1）碗通过最高点时，水对碗的压力等于mg，根据牛顿第二定律可得F1+mg=mv2R
其中R=L2，F1=mg
解得v=gL
（2）当正上方碗内的水恰好不流出来时，设速度为v0，此时重力提供向心力，则mg=mv02R
设最低点碗对水的支持力为F2，则有F2−mg=mv02R
解得F2=2mg
由牛顿第三定律可知，正下方碗内的水对碗的压力为2mg，方向竖直向下。
（3）绳子的拉力为F，以碗和水为整体，竖直方向有Fcsθ=M+mg
水平方向上根据牛顿第二定律可得Fsinθ=M+mω2r
又r=L2sinθ
联立解得ω=2gLcsθ
【变式7-1】（2025·四川达州·二模）2025年春节联欢晚会上最大的亮点莫过于机器人和真人一起跳舞，也标志中国的人形机器人处于国际领先水平。如图为机器人在竖直平面上转动手帕的情景，已知手帕直径约为40cm。要想把该手帕在竖直平面内以帕中心为转轴转动起来，重力加速度g取10m/s²，则需提供的最小转速约为（ ）
A．0.61r/sB．0.79r/sC．1.12r/sD．2.50r/s
【答案】C
【详解】选取手帕边缘的一个质量为m的质点为研究对象，则要想经过最高点则需满足mg=m(2πn)2d2
解得n=1πg2d=13.14×102×0.4r/s=1.12r/s
故选C。
【变式7-2】（2024·贵州·三模）某人站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为1kg的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内以手为圆心做圆周运动，其简化示意图如下。握绳的手离地面高度为1.0m且保持不变，现不断改变绳长使球重复上述运动，每次绳在球运动到最低点时都恰好达到最大拉力被拉断，球以绳断时的速度水平飞出，通过水平距离x后落地。已知绳能承受的最大拉力为15N，重力加速度大小取10m/s2，忽略手的运动半径和空气阻力，则x的最大值为（ ）
A．0.4mB．0.5mC．1.0mD．1.2m
【答案】B
【详解】设小球圆周运动半径r
h=1m
Fmax=15N
m=1kg
绳断后小球做平抛运动，竖直方向做自由落体运动有
h−r=12gt2
Fmax−mg=mvmax2r
x=vmaxt
联立得
x=r(1−r)
可知，当r=0.5m时
xm=0.5m
故选B。
【变式7-3】（2024·北京西城·一模）如图1所示，长为R且不可伸长的轻绳一端固定在O点，另一端系一小球，使小球在竖直面内做圆周运动。由于阻力的影响，小球每次通过最高点时速度大小不同。测量小球经过最高点时速度的大小v、绳子拉力的大小F，作出F与v2的关系图线如图2所示。下列说法中正确的是（ ）
A．根据图线可以得出小球的质量m=aRb
B．根据图线可以得出重力加速度g=aR
C．绳长不变，用质量更小的球做实验，得到的图线斜率更大
D．用更长的绳做实验，得到的图线与横轴交点的位置不变
【答案】A
【详解】AB. 根据牛顿第二定律可知
F+mg=mv2R
解得
F=mRv2−mg
由图像可知
mR=a−02b−b
可得小球的质量
m=aRb
由
0=mRb−mg
可得重力加速度
g=bR
选项A正确，B错误；
C. 图像的斜率为
k=mR
则绳长不变，用质量更小的球做实验，得到的图线斜率更小，选项C错误；
D. 图线与横轴交点的位置
0=mRv2−mg
可得
v2=gR
则用更长的绳做实验，得到的图线与横轴交点的位置距离原点的距离变大，选项D错误。
故选A。
类型2：杆球模型
1.模型分析
2.结合功能关系
【典例7】（2025·辽宁·三模）如图所示，有一质量为m的小球在竖直固定的光滑圆形管道内运动，管径略大于小球的直径，小球的直径远小于内侧管壁半径R。A、C为管道的最高点和最低点，B为管道上与圆心等高的点，D为管道上的一点，且D与圆心连线和水平方向夹角为45°，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．若小球在A点的速度大小为gR，则外侧管壁对小球有作用力
B．若小球在B点的速度大小为gR，则内侧管壁对小球有作用力
C．若小球在C点的速度大小为gR，则小球对管道的内外壁均无作用力
D．若小球在D点的速度大小为gR，则外侧管壁对小球有作用力
A．若小球在A点的速度大小为gR，则小球在A点只受重力，管壁对小球无作用力，故A错误；
B．在B点，外侧管壁对小球的作用力提供小球做圆周运动的向心力，且有FN=mvB2R=mg
故B错误；
C．在C点，小球受向下的重力和竖直向上的弹力，该弹力为外壁对小球的作用力，且有FN−mg=mvC2R
解得FN=2mg
故C错误；
D．在D点时，若只受重力，则mgsin45°=mv2R
解得v=gRsin45°
由于gRsin45°10m
假设不成立，则物块上滑过程中，先速度大于传送带速度，后小于传送带速度，当物块速度大于传送带速度，据牛顿第二定律mgsin37°+μmgcs37°=ma1
解得物块加速度大小为a1=10m/s2
则物块先以加速度大小为a1减速到v，由于mgsin37°>μmgcs37°
故物块继续向上做减速运动，然后以加速度大小a2继续减速到零恰好达到F点，则达到传送带速度v的过程，所需时间为t1=vE−va1
通过的位移为x1=vE2−v22a1
达到相同速度后，当到达F点时，速度恰好为零，则此过程中通过的位移为所需时间t2=va2
又有x2=v22a2，L=x1+x2
联立以上各式解得v=5m/s，t1=0.5s， t2=2.5s
上滑所需时间为t=3s
故传动带顺时针运转的速度应满足的条件为v=5m/s
物理量
物理意义
计算式
线速度v（m/s）
描述质点沿圆弧运动的快慢，线速度越大，质点沿圆弧运动越快
角速度ω（rad/s）
描述质点转过圆心角的快慢
周期T（s）
定量描述匀速圆周运动快慢。周期长说明运动得慢，周期短说明运动得快。
频率f（Hz）
定量描述匀速圆周运动的快慢，频率高说明运动得快，频率低说明运动得慢。
转速n（r/s或r/min）
实际中定量描述匀速圆周运动的快慢，转速高说明运动得快，转速低说明运动得慢。
向心加速度a（m/s2）
描述物体速度方向变化快慢
①线速度和角速度都是描述做匀速圆周运动的物体运动快慢的物理量，线速度侧重于描述物体通过弧长的快慢程度：而角速度侧重于描述物体转过角度的快慢程度。它们都有一定的局限性，并不是线速度大的物体角速度一定大。例如，地球围绕太阳运动的线速度约是3×104 m/s，这个数低是较大的。但它的角速度却很小，为2×10-7rad/s。
②频率表示单位时间（1s）内物体做圆周运动的圈数，因此当转速的单位取转每秒时，频率与转速含义相同，但转速在工程技术中常用的单位是转每分。
③对于变速率圆周运动，可以用公式求质点在圆周上某点的向心加速度瞬时值，其中ω或v应取该点的线速度和角速度的瞬时值。
方式
同轴转动
皮带传动
齿轮传动（摩擦传动）
装置
A、B两点在同轴的一个圆盘上，到圆心的距离不同
两个轮子用皮带连接，A、B两点分别是两个轮子边缘上的点
两个齿轮轮齿啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点
特点
A、B两点角速度、周期相同
A、B两点线速度相同
A、B两点线速度相同
转动方向
相同
相同
相反
规律
线速度与半径成正比：
角速度与半径成反比：
，
周期与半径成正比：
角速度与半径成反比与齿轮齿数成反比∶
，
周期与半径成正比，与齿轮齿 数成正比：
定义
由于匀速圆周运动具有向心加速度，根据牛顿第二定律，物体所受合外力不为零，且时刻与速度方向垂直，总是指向圆心。使物体产生向心加速度的力叫做向心力。
作用效果
产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小。
大小
F＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝meq \f(4π2,T2)r＝mωv＝4π2mf2r
方向
方向时刻与运动（v）方向垂直，始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力。
向心力的来源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是几个性质力的合力或某个性质力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力。如果物体作匀速圆周运动，则所受合力一定全部用来提供向心力。
变速圆周运动
当物体做变速圆周运动时，合外力指向圆心的分力就是向心力。合外力不等于向心力，合外力一般产生两个效果。如下图甲乙所示。
（1）跟圆周相切的分力Ft，只改变线速度的大小，Ft＝mat，产生切向加速度，此加速度描述线速度大小变化的快慢。
（2）跟圆周切线垂直而指向圆心的分力Fn，只改变线速度方向，Fn＝man，产生向心加速度。此加速度描述线速度方向变化快慢。
处理方法
解决变速圆周运动问题，依据的规律仍然是牛顿运动定律和匀速圆周运动的运动学公式，只是在公式Fn＝meq \f(v2,r)中，Fn为指向圆心方向的合力，v为在该处速度的瞬时值。解决变速圆周运动除了依据上述规律外，还需要用到功能关系等知识。
一般的曲线运动
运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动，称为一般的曲线运动，如图所示.
处理方法
①将曲线分割成为许多很短的小段，每一小段曲线都可以看作是一小段圆弧，这样物体在每一小段的运动都可以看作圆周运动的一部分.通常这些圆弧的弯曲程度是不一样的，我们用曲率半径来表示圆弧的弯曲程度.
②将物体所受的合力沿曲线的切线方向和法线方向进行分解，沿切线方向的分力使物体加速或减速；沿法线方向的分力使物体的速度方向改变，此时有Fn＝meq \f(v2,r)＝mω2r
类别
实例
模型说明
重力提供向心力
小球沿光滑轨道下滑，经过圆轨道最高点时，若轨道对小球的弹力恰好为零，则此时小球的向心力由重力提供。
弹力提供向心力
小球沿光滑器壁在水平底面内做圆周运动，向心力由弹力提供。
摩擦力提供向心力
物体随转盘做圆周运动，且相对转盘静止，向心力由静摩擦力提供。
分力或合力提供向心力
小球由细线牵引着在水平面内做圆周运动。向心力可以认为由细线拉力的水平分力提供，也可以认为由细线拉力与小球重力的合力提供。
情境示例
情景图示
情境说明(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)
情境1
A、B两小球固定在轻杆上，随杆一起绕杆的端点O在水平面内做圆周运动。注意计算OA杆拉力时应以小球A、B整体为研究对象，而不能以A为研究对象。
情境2
A、B两物块叠放在一起随转盘一起转动，当求转盘对B的摩擦力时，取A、B整体为研究对象比较简单；当研究A、B谁先背离圆心运动时，注意比较两接触面间的动摩擦因数大小。
情境3
A、B两小球用轻线相连穿在光滑轻杆上随杆绕转轴O在水平面内做圆周运动时，两球所受向心力大小相等，角速度相同，圆周运动的轨道半径与小球质量成反比。
情境4
A、B两物块随转盘一起转动，当转盘转速逐渐增大时，物块A受到的静摩擦力先达到最大值，转速再增加，则A、B间绳子开始有拉力，当B受到的静摩擦力达到最大值后两物块开始滑动(设A、B两物块与转盘间的动摩擦因数相等)。
模型名称
模型分析
单线圆锥摆模型
单线圆锥摆的向心力由重力与拉力的合力提供，一般采用合成法较简便：
,悬线张力。
小球在球形光滑容器内的水平面上做圆周运动，所受弹力方向始终指向球形容器的球心，受力情况与单线圆锥摆类似，可归结于单线圆锥摆模型。
双线圆锥摆模型
双线圆锥摆中常采用正交分解法：沿半径方向利用牛顿第二定律列方程，垂直于半径方向利用平衡条件列方程来分析求解。如图甲所示，
x轴方向上有FT1 sinθ1 + FT2 sinθ2=mrω²,y轴方向上有FT1 csθ1=FT2 csθ2 + mg。
双线圆锥摆中常出现线松弛与张紧的临界状态，当给定线能承受的最大张力时也会出现线断裂的临界状态。如图乙所示，细线一端系于套在环上的球，另一端固定在环的最低点，当环绕竖直直径旋转时小球受力与双线圆锥摆类似时，可归结于双线圆锥摆模型。
模型名称
模型分析
符合下列条件的物理情景：(1)锥形容器对称轴竖直；(2)物体轨迹平面与锥形容器对称轴正交即轨迹平面水平；(3)物体在锥形容器的内侧面或外侧面的某一水平面内运动，称为锥形容器模型，如图所示。
如图，可视为质点的小球紧贴着内壁光滑的圆锥斗做水平面内的匀速圆周运动。轴线与圆锥的母线夹角为θ,小球的轨道面距地面高度为h,圆周轨道的圆心是O,轨道半径是r =h tan θ,则有
向心力
支持力
由此得，，
结论：在同一地点，同一锥形斗内，在不同高度的水平面内做匀速圆周运动的同一小球，支持力大小相等，向心力大小相等，向心加速度大小相等，若高度越高，则角速度越小，线速度越大。
模型名称
模型分析
水平路面车辆转弯模型
自行车、汽车等车辆在水平路面上转弯时，重力与支持力平衡，转弯所需的向心力只能由地面对车辆的侧向静摩擦力来提供,可知最大安全转弯速度 。
倾斜面车辆转弯模型
①火车在倾斜轨道上转弯，若以设计时速v0转弯，重力与铁轨支持力恰好提供所需向心力，如图所示，可得：,得。因为h≪L,θ角很小，所以,则;若火车经过弯道时的速度,外轨将受到挤压；若火车经过弯道时的速度,内轨将受到挤压。
②汽车在倾斜公路上转弯时，若以设计时速v0转弯，重力与地面支持力恰好提供所需向心力，如图所示，可得,得。若v > v0,则由竖直方向,水平方向及f = μN可得不侧滑的最大转弯速度；若汽车经过弯道时的速度v ＜ v0,路面将对汽车产生向外的侧向摩擦力。
绳球模型
常见类型
均是没有支撑的小球
过最高点的临界条件
由mg＝meq \f(v2,r)得v临＝eq \r(gr)
讨论分析
(1)过最高点时，v≥ eq \r(gr)，FN＋mg＝meq \f(v2,r)，绳、轨道对球产生弹力FN
(2)当v＜eq \r(gr)时，不能过最高点，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道
(3)在最高点的FN－v2图线
杆球模型
常见类型
均是有支撑的小球
过最高点的临界条件
v临＝0
讨论分析
(1)当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心
(2)当0＜v＜eq \r(gr)时，mg－FN＝meq \f(v2,r)，FN背离圆心，随v的增大而减小
(3)当v＝eq \r(gr)时，FN＝0
(4)当v＞eq \r(gr)时，FN＋mg＝meq \f(v2,r)，FN指向圆心并随v的增大而增大
(6)在最高点的FN－v2图线
拱形桥
圆轨外侧
凹形桥
示意图
分析
最高点(失重),有,有以下规律：
(1)当v=0时，即汽车静止在最高点，FN = G;
(2)当汽车的速度增大到满足，即时，FN=0,汽车在桥顶只受重力G,又具水平速度v,因此开始做平抛运动；
(3)当时，满足，所以0≤FN≤mg,且速度v越大，FN越小；
(4)当时，汽车将脱离桥面，将在最高点做平抛运动，即所谓的“飞车”;
(5)若物体从最高点由静止无摩擦下滑，离开球面时的位置所在球面半径与竖直方向夹角满足
最低点(超重),有有以下规律：
(1)当v =0时，即汽车静止在最低
点，FN = G;
(2)当汽车的速度v≠0时，FN ＞ G,且速度v越大，FN越大