新高考物理一轮复习考点精讲精练第4章第5讲 曲线运动及其应用（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考物理一轮复习考点精讲精练第4章第5讲 曲线运动及其应用（2份，原卷版+解析版），共7页。
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc28369" 【模型一 曲线运动】
类型1：基本概念的辨析理解
类型2：曲线运动的动力学分析
\l "_Tc28700" 【模型二 运动的合成与分解】
类型1：合运动和分运动的关系
类型2：两个直线运动的合运动性质的判断
类型3：小船渡河模型
\l "_Tc28700" 【模型二 关联速度问题】
类型1：绳联速度
类型2：杆联速度
合外力方向与初速度方向不共线的运动即为曲线运动，曲线运动的一般解题思路是将曲线运动分解成两个直线运动再分别用直线运动的公式进行求解，曲线运动高考考查的题型主要有曲线运动的动力学分析，运动的合成与分解，小船渡河模型，杆绳的关联速度问题等。
【模型一 曲线运动】
类型1：基本概念的辨析理解
1．曲线运动
运动轨迹是曲线的运动叫做曲线运动。
（1）速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向。
（2）运动的性质：
（3）直线运动和曲线运动的条件及分类
【典例1】（2025·甘肃白银·一模）在航空表演中，一架特技飞机进行展示“落叶飘”飞行技术动作，轨迹呈螺旋形。关于该飞机的运动，下列说法正确的是（ ）
A．速度方向不断变化
B．竖直方向做匀加速直线运动
C．加速度保持不变
D．所受合力方向与速度方向相同
A．飞机做螺旋运动时，轨迹为三维曲线，速度方向始终沿切线方向且不断改变，故A正确；
B．螺旋下降过程中，飞机受重力和空气阻力作用，竖直方向加速度非恒定，故B错误；
C．螺旋运动包含向心加速度（改变速度方向）和切向加速度（改变速度大小），合加速度方向不断变化，故C错误；
D．曲线运动中，合力方向指向轨迹凹侧（提供向心力），与速度方向不共线，故D错误。
【变式1-1】（2025·福建福州·三模）“玉兔二号”是我国自主设计制造并成功登陆月球的第二辆无人探测车，图为“玉兔二号”巡视器在月球上从O处行走到B处的照片，轨迹OA段是直线，AB段是曲线，巡视器质量为130kg，则巡视器（ ）
A．受到月球的引力为1300NB．在AB段运动时加速度可能为0
C．OA段与AB段的位移相同D．从O到B的路程等于OAB轨迹长度
【答案】D
【详解】A．在月球上的g与地球不同，故质量为130kg的巡视器受到月球的引力不是1300N，故A错误；
B．由于在AB段运动时做曲线运动，速度方向一定改变，一定有加速度，故B错误；
C．由图可知OA段与AB段位移方向不同，故C错误；
D．根据路程的定义可知，从O到B的路程等于OAB轨迹长度，故D正确。
故选D。
【变式1-2】（2024·陕西榆林·一模）关于物体的运动，下列说法中正确的是（ ）
A．物体在变力作用下不可能做直线运动
B．物体做曲线运动，所受的合外力一定是变力
C．物体在恒力作用下可能做曲线运动
D．物体做曲线运动，其速度可能不变
【答案】C
【详解】A．当合外力方向与速度方向在同一直线上时，物体做直线运动，力可以是个变力，故A错误；
B．物体做曲线运动，是因为速度方向和合外力方向不相同，不一定是变力，故B错误；
C．物体在恒定的合力作用下，如果合力方向与初速度方向不在同一直线上，则物体做曲线运动，故C正确；
D．物体做曲线运动，其速度方向一定变化，速度一定改变，故D错误。
故选C。
【变式1-3】一小球在光滑水平面上做匀速直线运动，现对其施加一水平方向的恒力，小球做曲线运动。在小球做曲线运动过程中，下列说法正确的是（ ）
A．该恒力可能与小球的速度方向共线
B．小球的速度方向可能不变
C．小球单位时间内速度的变化量总是不变
D．小球的速度方向可能总是与该恒力的方向垂直
【答案】C
【详解】A．小球做曲线运动，力与速度一定不共线，A错误；
B．曲线运动的速度方向不断变化，B错误；
C．小球速度的变化量为Δv=aΔt
小球单位时间内速度的变化量为ΔvΔt=a
根据牛顿第二定律a=Fm
解得ΔvΔt=Fm
F不变，ΔvΔt不变，C正确；
D．因为小球速度的方向不断变化，恒力的方向不变，所以二者不可能始终垂直，D错误。
故选C。
类型2：曲线运动的动力学分析
1.合力、速度、轨迹
（1）合力方向与轨迹的关系：合力的方向总是指向轨迹的“凹”侧。曲线运动轨迹始终夹在合力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，而且向合力的方向弯曲，但是特别注意速度的方向只会向着合外力方向趋近，而不可能趋近到与合外力方向相同。
（2）合力、速度、轨迹之间的关系：做曲线运动的物体，其速度方向与运动轨迹相切，所受的合力方向与速度方向不在同一条直线上，合力改变物体的运动状态，据此可以判断：
①已知运动轨迹，可以判断合力的大致方向在轨迹的包围区间（凹侧），如图所示。
②运动轨迹在速度方向与合力方向所夹的区间，根据受力方向和速度方向可以判断轨迹的大致弯曲方向。
③根据合力方向与速度方向的夹角，判断物体的速率变化情况：夹角为锐角时，速率变大；夹角为钝角时，速率变小；合力方向与速度方向垂直时，速率不变，这是匀速圆周运动的受力条件。
【典例2】（2023·辽宁·高考真题）某同学在练习投篮，篮球在空中的运动轨迹如图中虚线所示，篮球所受合力F的示意图可能正确的是（ ）

A． B． C． D．
篮球做曲线运动，所受合力指向运动轨迹的凹侧。故选A。
【变式2-1】（2023·浙江·高考真题）图为“玉兔二号”巡视器在月球上从O处行走到B处的照片，轨迹OA段是直线，AB段是曲线，巡视器质量为135kg，则巡视器（ ）

A．受到月球的引力为1350NB．在AB段运动时一定有加速度
C．OA段与AB段的平均速度方向相同D．从O到B的位移大小等于OAB轨迹长度
【答案】B
【详解】A．在月球上的g与地球不同，故质量为135kg的巡视器受到月球的引力不是1350N，故A错误；
B．由于在AB段运动时做曲线运动，速度方向一定改变，一定有加速度，故B正确；
C．平均速度的方向与位移方向相同，由图可知OA段与AB段位移方向不同，故平均速度方向不相同，故C错误；
D．根据位移的定义可知从O到B的位移大小等于OB的连线长度，故D错误。
故选B。
【变式2-2】（2025·黑龙江·二模）1935年5月，红军为突破“围剿”决定强渡大渡河，突击队冒着枪林弹雨依托仅有的一条小木船坚决强突。若突击队采用渡河时间最短的方式渡河，小木船相对静水的速度大小不变，越靠近河道中央水流速度越快，则小木船从P到Q渡河的轨迹可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】由题意，可知
合速度方向沿轨迹的切线，加速度方向指向轨迹凹的一侧。
故选C。
【变式2-3】（2025·北京东城·一模）一质量为m的物块在光滑水平面上以速度v0做匀速直线运动。某时刻开始受到与水平面平行的恒力F的作用，之后其速度大小先减小后增大，最小值为v02。下列图中初速度v0与恒力F夹角正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】根据题意物块的速度先减小后增大，可知恒力与速度v0的夹角大于90°，将初速度沿方向和垂直F方向分解，垂直F方向的分速度不变，如图所示
根据几何关系有csθ=v02v0
可得θ=60°
则力的方向与初速度方向夹角为60°+90°=150°
故选D。
【模型二 运动的合成与分解】
类型1：合运动和分运动的关系
1．合运动与分运动的关系
2．运动的合成与分解的运算法则
（1）原则：根据运动的实际效果分解，也可采用正交分解。
（2）运动的分解优点：将不易研究的复杂曲线运动分解为简单的熟悉的直线运动。
（3）分解实际运动
物体（或物体上某点）的实际运动为合运动，即以地面为参考系的运动，只分解实际运动。看物体同时参与了哪两种运动，而后确定分解的方向再进行分解。
3．合运动性质的判断
【典例3】（2023·河北沧州·一模）如图甲所示为杂技演员正在表演“巧蹬方桌”。某一小段时间内，表演者让方桌在脚上飞速旋转，同时完成“抛”“接”“腾空”等动作技巧。演员所用方桌（如图乙所示）桌面abcd是边长为1m的正方形，桌子绕垂直于桌面的中心轴线OO′做匀速圆周运动，转速约为2r/s，某时刻演员用力将桌子竖直向上蹬出，桌子边水平旋转边向上运动，上升的最大高度约为0.8m。已知重力加速度g取10m/s2，则桌子离开演员脚的瞬间，桌角a点的速度大小约为（ ）
A．4m/sB．4πm/s
C．16+8π2m/sD．16+16π2m/s
桌子在水平面内做匀速圆周运动，转速约为2r/s，桌角a点的线速度为
v1=2πnr
又
r=22m
故
v1=22πm/s
桌子被蹬出瞬间竖直向上的速度为v2，由竖直上抛运动规律可得v22=2gh，解得
v2=4m/s
则a点的合速度为
v=v12+v22=16+8π2m/s
【变式3-1】（2023·陕西安康·模拟预测）跳伞运动深受年轻人的喜爱。在水平风向的环境中，一位极限运动员从飞机上由静止跳下后，下列说法中正确的是（ ）
A．风力越大，运动员下落时间越长B．运动员下落时间与风力无关
C．风力越大，运动员落地时的竖直速度越大D．运动员落地速度与风力无关
【答案】B
【详解】ABC．运动员同时参与了竖直和水平两个方向的分运动，两个分运动同时发生，相互独立，则水平方向的风力大小不影响竖直方向的运动，即落地时间不变，根据h=12gt2得
t=2hg
落地时竖直速度也不变，为
v=gt=2gh
AC错误，B正确；
D．水平风力越大，水平方向的加速度越大，对应落地时水平速度也大，则落地的合速度越大， D错误。
故选B。
【变式3-2】（2024·河北石家庄·模拟预测）如图所示，乒乓球从斜面上滚下，以一定的速度在光滑水平桌面上沿直线匀速运动。在与乒乓球路径相垂直的方向上有一个洞，当球经过洞口正前方时，对球沿三个不同的方向吹气，下列说法正确的是（ ）
A．沿方向1吹气，乒乓球可能进入洞内B．沿方向2吹气，乒乓球可能进入洞内
C．沿方向3吹气，乒乓球可能进入洞内D．沿三个方向吹气，乒乓球均不可能进入洞内
【答案】C
【详解】分别沿方向1、方向2、方向3吹气，对乒乓球的速度分析
吹气时乒乓球在原有速度v0的基础上分别增加速度v1、v2、v3，只有沿方向3吹气时，合运动方向才可能指向洞口，乒乓球才可能进入洞内。
故选C。
【变式3-3】某风洞实验室可产生水平方向的恒定风力，在风洞实验室中，恒定风力水平向左，在实验室离地一定高度处水平向右抛出一个小球，关于小球的运动。下列说法正确的是（ ）
A．风力越大，小球在空中运动的时间越长
B．当风力为某一合适大小的力时，小球可以做直线运动
C．当风力为某一合适大小的力时，小球落地点的位置可以在小球抛出点正下方
D．当小球落地时的速度竖直向下时，风力大小等于小球的重力
【答案】C
【详解】A．小球在空中运动的时间由竖直高度决定，高度一定，运动时间一定，故A错误；
B．由于小球初速度与所受合力不在一条直线上，因此小球一定做曲线运动，故B错误；
C．当小球在水平方向做类竖直上抛运动时，小球落地点的位置可以在小球抛出点的正下方，故C正确；
D．水平方向F风=ma，竖直方向加速度为g，当小球落地时的速度竖直向下时，设落地时速度为v，抛出初速度为v0，由等时性有v−0g=0−v0−a。
若水平初速度不等于落地时的速度，则a≠g，风力大小与小球重力不相等，故D错误。
故选C。
类型2：两个直线运动的合运动性质的判断
【典例4】（2025·湖南·高考真题）如图，物块以某一初速度滑上足够长的固定光滑斜面，物块的水平位移、竖直位移、水平速度、竖直速度分别用x、y、vx、vy表示。物块向上运动过程中，下列图像可能正确的是（ ）
A．B．
C．D．
根据题意可知，物块沿斜面向上做匀减速直线运动，设初速度为v0，加速度为大小a，斜面倾角为θ
AB．物块在水平方向上做匀减速直线运动，初速度为v0x=v0csθ，加速度大小为ax=acsθ，则有vx2−v0x2=−2axx
整理可得vx=v0csθ2−2acsθ⋅x
可知，vx−x图像为类似抛物线的一部分，故AB错误；
CD．物块在竖直方向上做匀减速直线运动，速度为v0y=v0sinθ，加速度大小为ay=asinθ，则有vy2−v0y2=−2ayy
整理可得vy=v0sinθ2−2asinθ⋅y
可知，vy−y图像为类似抛物线的一部分，故C正确，D错误。
【变式4-1】（2023·江苏·高考真题）达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验：一个罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动，沿途连续漏出沙子。若不计空气阻力，则下列图中能反映空中沙子排列的几何图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动，在时间Δt内水平方向增加量aΔt2，竖直方向做在自由落体运动，在时间Δt增加gΔt2；说明水平方向位移增加量与竖直方向位移增加量比值一定，则连线的倾角就是一定的。
故选D。
【变式4-2】（2025·陕西宝鸡·三模）一杂技演员通过传感器将其斜向上的运动速度转化为水平向前的速度vx及竖直向上的速度vy，若它们与运动时间t的关系图像如图甲、乙所示。则下列说法正确的是（ ）
A．演员在t1时刻处于超重状态B．演员在0−t2这段时间内沿直线飞行
C．演员在t2时刻上升至最高点D．演员在t2−t3时间内做匀变速曲线运动
【答案】D
【详解】A．演员在t1时刻竖直向上的速度减小，则加速度向下，处于失重状态，选项A错误；
B．演员在0−t2这段时间内水平方向做匀加速运动；竖直方向做匀减速运动，则合初速度和合加速度一定不共线，则合运动为曲线运动，选项B错误；
C．演员在0−t3时间内的竖直速度一直不为零，可知t2时刻还没有上升至最高点，选项C错误；
D．演员在t2−t3时间水平方向做匀减速运动，竖直方向做匀速运动，可知合运动为匀变速曲线运动，即演员做匀变速曲线运动，选项D正确。
故选D。
【变式4-3】（2025·河南漯河·模拟预测）漯河红枫广场无人机灯光表演给广大市民带来了科技的惊艳，同时也很好的烘托了节日的氛围并给漯河的文化、经济等做了极大的宣传。在一次无人机表演中，若分别以水平向右、竖直向上为x轴、y轴的正方向，某架参演的无人机在x、y方向的v−t图像分别如图甲、乙所示，则在0∼t2时间内，该无人机的运动轨迹为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】由图可知，在0∼t1时间内无人机竖直方向做匀速直线运动，水平方向向右做匀减速直线运动，可知在0∼t1时间内无人机受到的合外力方向水平向左，根据合外力指向轨迹凹处，可知0∼t1时间内无人机运动的轨迹向左弯曲；在t1∼t2时间内无人机竖直方向向上做匀减速直线运动，水平方向做匀速直线运动，可知在t1∼t2时间内无人机的合外力竖直向下，根据合外力指向轨迹凹处，可知在t1∼t2时间内无人机运动的轨迹向下弯曲。
故选A。
类型3：小船渡河模型
1．模型构建
在运动的合成与分解问题中，两个匀速直线运动的合运动仍是匀速直线运动，其中一个速度大小和方向都不变，另一个速度大小不变，方向在180°范围内(在速度不变的分运动所在直线的一侧)变化．我们对合运动或分运动的速度、时间、位移等问题进行研究．这样的运动系统可看作“小船渡河模型”。
2．模型特点
（1）两个运动：船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动。
（2）三种速度：船在静水中的速度v船、水的流速v水、船的实际速度v合。
（3）三种情景
【典例5】（2021·辽宁·高考真题）1935年5月，红军为突破“围剿”决定强渡大渡河。首支共产党员突击队冒着枪林弹雨依托仅有的一条小木船坚决强突。若河面宽300m，水流速度3m/s，木船相对静水速度1m/s，则突击队渡河所需的最短时间为（ ）
A．75sB．95s
C．100sD．300s
河宽d=300m一定，当木船船头垂直河岸时，在河宽方向上的速度最大，渡河用时最短，即木船相对静水的速度v=1m/s，渡河时间最短为
tmin=dv=3001s=300s
【变式5-1】（2024·辽宁·模拟预测）解放军某部在某次登岛演习过程中，要渡过一条宽度为d的小河。现有甲、乙两个战斗小组分别乘两只小船渡河，船头朝向如图所示，渡河时两小船船头与河岸夹角都是θ角，两船在静水中的速率都为v，水流速率为v0，此时甲船恰好能到小河正对岸的A点，则（ ）
A．甲船渡河时间为dvcsθ
B．乙船比甲船更早到达对岸
C．靠岸时两船间距增大了dvsinθ(vcsθ+v0)
D．如果河水流速增大，甲船不改变船头方向也能到达A点
【答案】C
【详解】AB．将小船的运动分解为平行于河岸和垂直于河岸两个方向，根据分运动和合运动具有等时性，可知甲、乙两船到达对岸的时间均为
t=dvsinθ
故两船同时到达对岸，故AB错误；
C．靠岸时两船间距增大了
x=v相对t=(v0+vcsθ)dvsinθ
故C正确；
D．水流速率为v0，此时甲船恰好能到小河正对岸的A点，则
vcsθ=v0
故如果河水流速增大，要使甲船到达A点，小船船头与河岸夹角应减小，故D错误。
故选C。
【变式5-2】（2024·全国·二模）游泳是人们很喜爱的运动之一。如图，某游泳运动员在河中的P点发现正下游O处有一半径为r=5m的旋涡，当时水流速度为3m/s.P点与O点的距离d=15m，该运动员为了能避开旋涡沿直线到达安全地带，其在静水中的速度至少为（ ）
A．332m/sB．1m/sC．2m/sD．334m/s
【答案】B
【详解】水流速度是定值，只要保证合速度方向指向漩涡危险区切线方向即可，如图所示
sinθ=rd=13
为了能避开漩涡沿直线到达安全地带，运动员在静水中的速度至少是
v0=vsinθ=1m/s
故选B。
【变式5-3】（2024·辽宁本溪·一模）前不久河北石家庄京津冀第五届澽沱河公开水域游泳挑战赛在叶子广场周边水域进行，比赛前某运动员练习时要匀速横渡一段宽d=600m的澽沱河，运动员在静水中的速度为v1=3m/s，水流速度为v2=4m/s，则（ ）
A．该运动员可能垂直河岸到达正对岸
B．该运动员渡河的时间可能小于200s
C．该运动员以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为600m
D．该运动员以最短位移渡河时，位移大小为800m
【答案】D
【详解】A．运动员在静水中的速度小于水流速度，合速度方向不可能垂直河岸，所以该运动员不可能垂直河岸到达正对岸，故A错误；
B．运动员在静水中的速度始终垂直河岸时渡河时间最短，最短渡河时间为
tmin=dv1=6003s=200s
该运动员渡河的时间不可能小于200s，故B错误；
C．该运动员以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为
x=v2tmin=4×200m=800m
故C错误；
D．运动员在静水中的速度小于水流速度，合速度方向不可能垂直河岸，该运动员以最短位移渡河时，合速度方向应与运动员在静水中的速度方向垂直，则位移大小为
s=v2v1d=43×600m=800m
故D正确。
故选D。
【变式5-4】（2025·福建莆田·三模）一小船以两种方式渡河：如图甲所示，小船航行方向垂直于河岸；如图乙所示，小船航行方向与水流方向成锐角α。已知小船在静水中航行的速度大小为v1，河水流速大小为v2，则下列说法正确的是（ ）
A．图甲中比图乙中小船渡河的时间短
B．图甲中比图乙中小船渡河的合速度大
C．图甲中比图乙中小船渡河的合位移大
D．图甲和图乙中小船均做曲线运动
【答案】A
【详解】A．由于图甲中比图乙中小船在垂直于河岸方向的分速度较大，所以图甲中比图乙中小船渡河的时间短，选项A正确；
BC．根据运动的合成法则，图甲中比图乙中小船渡河的合速度小，因甲图中合速度与河岸的夹角较大，则合位移也小，选项B、C错误；
D．图甲和图乙中小船两个方向的分运动都是匀速运动，可知合运动是匀速运动，即两船均做匀速直线运动，选项D错误。
故选A。
【模型三 关联速度问题】
1．模型特点：用绳、杆相牵连的物体，在运动过程中，其两物体的速度通常不同，但物体沿绳或杆方向的速度分量大小相等。
2．原则：v1与v2的合成遵循平行四边形定则。
3．解题方法
把物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和平行于绳（杆）两个分量，根据沿绳（杆）方向的分速度大小相等求解。绳绷紧，则其两端的速度在沿绳方向上的分量相等，即v1x＝v2x，垂直于绳方向的分量使绳转动。常见的模型如图所示。
4．绳（杆）牵连物体的分析技巧
（1）解题关键：找出合速度与分速度的关系是求解关联问题的关键。
（2）基本思路：
①先确定合速度的方向（物体实际运动方向）
②分析合运动所产生的实际效果：一方面使绳或杆伸缩；另一方面使绳或杆转动。
③确定两个分速度的方向：沿绳或杆方向的分速度和垂直绳或杆方向的分速度，而沿绳或杆方向的分速度大小相同。
5．解决绳（杆）端速度分解问题的技巧
6.绳(杆)端关联速度分解问题的常考模型
类型1：绳联速度
【典例6】（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图，趣味运动会的“聚力建高塔”活动中，两长度相等的细绳一端系在同一塔块上，两名同学分别握住绳的另一端，保持手在同一水平面以相同速率v相向运动。为使塔块沿竖直方向匀速下落，则v（ ）
A．一直减小B．一直增大
C．先减小后增大D．先增大后减小
设两边绳与竖直方向的夹角为θ，塔块沿竖直方向匀速下落的速度为v块，将v块沿绳方向和垂直绳方向分解，将v沿绳子方向和垂直绳方向分解，可得v块csθ=vsinθ
解得v=v块tanθ
由于塔块匀速下落时θ在减小，故可知v一直增大。
【变式6-1】（2025·浙江湖州·三模）如图所示，一足够长的细线一端连接穿过水平细杆的滑块A，另一端通过光滑滑轮连接重物B，此时两边细线竖直。某时刻，水平拉力F作用在滑块A上，使A向右移动。已知A、B的质量分别为m和2m，滑块A与细杆间的动摩擦因数为33。则（ ）
A．若A做匀速运动，则B也做匀速运动
B．若B做匀速运动，则A做加速运动
C．若A缓慢向右运动，当细线与细杆间的夹角为30°时，拉力F有最小值
D．若A缓慢向右运动到细线与细杆间的夹角为30°时，拉力F一直在增大
【答案】D
【详解】AB．对AB两滑块速度关系如图所示
由几何关系有vB=vAcsθ
若A做匀速运动，θ逐渐减小，csθ逐渐增大，则B的速度逐渐增大；若B做匀速运动，θ逐渐减小，csθ逐渐增大，则A的速度逐渐减小，故AB错误；
CD ．对滑块B有T=2mg
对滑块A有进行受力分析如图所示
由于滑块A从图示（最初是竖直的）位置开始缓慢向右移动至θ=30∘过程中30∘≤θ≤90∘
可知Tsinθ=2mgsinθ≥mg
则在竖直方向上有Tsinθ=mg+N
则在水平方向有F=μN+Tcsθ
联立解得F=2mgcsθ+2μmgsinθ−μmg=2mg1+μ211+μ2csθ+μ1+μ2sinθ−μmg
假设sinα=11+μ2=32，csα=μ1+μ2=12
解得α=60∘
则可求得F=2mg1+μ2sin60∘+θ−μmg
滑块A从图示虚线位置开始缓慢向右移动过程中，θ减小，可知F逐渐增大，当θ=30∘时
解得拉力F有最大值Fmax=3mg
故C错误，D正确。
故选D。
【变式6-2】（多选）（2025·福建厦门·三模）如图所示，一渔民（图中未画出）站在岸上，利用绳和定滑轮以恒定的速率v=0.6m/s拉质量m=50kg的小船靠岸，某时刻绳与水面夹角为θ=37°，该时刻渔民的拉力大小为F=250N，sin37°=0.6，cs37°=0.8，重力加速度g取10m/s2，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，下列说法正确的是（ ）
A．该时刻小船的速度大小为0.75m/sB．该时刻小船受到三个力的作用
C．该时刻小船的浮力大小为300ND．小船是加速靠近河岸
【答案】AD
【详解】A．设小船的速度为v0，把小船的速度分解成沿着绳的速度v和垂直于绳子的速度v1，如图
则v=v0csθ
解得v0=vcsθ=0.75m/s
故A正确；
D．小船靠近河岸，绳与水面夹角θ逐渐变大，小船的速度v0增大，小船是加速靠近河岸，故D正确；
BC．该时刻小船受到重力、浮力、拉力、阻力四个力的作用，小船在竖直方向上受力mg=F浮+Fsinθ
解得F浮=mg−Fsinθ=50×10N−250×0.6N=350N
故BC错误。
故选AD。
【变式6-3】（多选）（2025·河南·模拟预测）如图所示，足够长的直角支架aOb固定在竖直平面内，其中细杆Oa粗糙，沿水平方向，细杆Ob光滑，沿竖直方向。质量分别为m和3m的小圆环P和Q分别套在两个细杆上，两个小圆环用轻绳拴接。初始时，圆环P被锁定，绷紧的轻绳与水平方向的夹角为θ=37°，圆环P与细杆Oa间的动摩擦因数为0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，sin37°=0.6，cs37°=0.8，则下列说法正确的是（ ）
A．初始时，轻绳上的拉力大小为5mg
B．解除P锁定后瞬间，轻绳上的拉力大小为2513mg
C．解除P锁定后瞬间，圆环P的加速度大小为2g
D．解除P锁定后瞬间，圆环Q的加速度大小为813g
【答案】ABD
【详解】A．初始时以Q为研究对象，根据受力平衡可得T=3mgsinθ=5mg
故A正确；
BCD．设解除锁定瞬间绳子拉力为T′，以Q为研究对象，根据牛顿第二定律可得3mg−T′sinθ=3maQ
以P为研究对象，根据牛顿第二定律可得T′csθ−f=maP，T′sinθ+mg=FN，f=μFN
两球沿绳子方向的加速度相等，则aQsinθ=aPcsθ
联立解得T′=2513mg，aP=613g，aQ=813g
故BD正确，C错误。
故选ABD。
类型2：杆联速度
【典例7】（2025·宁夏吴忠·三模）楔形结构是机械中很常用的设计方式，具有可以改变作用力方向而且结构较紧凑这两个优点。如图是一个楔形结构的例子，质量分别为mA=3kg，mB=1kg的两个楔形块AB恰好能贴合在一起。两个光滑竖直面将楔形块A夹在竖直方向，两个水平面将楔形块B夹在水平方向。若不施加外力时，B恰好能静止在地面上，当在B上施加水平外力F时，A只能竖直上下移动，B只能水平左右移动，不计AB间的摩擦力，B和地面间的动摩擦因数μ=14，滑动摩擦力等于最大静摩擦力，重力加速度g取10m/s2。下列说法正确的是（ ）
A．B与地面间的夹角满足tanθ=14
B．B匀速向左运动时，F=10N
C．若增加A的质量，不需要增大F就能使B保持静止
D．若施加外力，使B以1m/s2的加速度向左运动，则A以13m/s2的加速度向上运动
A．不施加外力时，受力情况如图所示
对楔形块B，水平方向上有f=μFN=Nsinθ
对AB整体，竖直方向上有FN=mAg+mBg
对楔形块A，竖直方向上有Ncsθ=mAg
联立解得f=10N，tanθ=13，故A错误；
B．B匀速向左运动时，受力情况如图所示
对楔形块B，水平方向上有F=f+Nsinθ=20N，故B错误；
C．对楔形块B，最大静摩擦力有f=μmA+mBg
A对B压力在水平方向的分量有Nx=mAgtanθ
当mA>3kg时，Nx>f，故必须增大F才能使B保持静止，故C错误；
D．B向左运动时，二者的速度关系如图所示
则有vAcsθ=vBsinθ
可得vA=13vB
由于A、B的速度始终满足该关系，故A、B的加速度也满足aA=13aB=13m/s2，故D正确。
【变式7-1】（2024·辽宁本溪·一模）曲柄连杆机构是发动机的主要运动机构，其功能是将活塞的往复运动转变为曲轴的旋转运动，从而驱动汽车车轮转动，其结构示意图如图所示。曲轴可绕固定的O点自由转动，连杆两端分别连接曲轴上的A点和活塞上的B点，若曲轴绕O点做匀速圆周运动，转速n=1800r/min,OA=20cm,AB=60cm，下列说法正确的是（ ）
A．活塞在水平方向上做匀速直线运动
B．当OA竖直时，活塞的速度为82πm/s
C．当OA与AB共线时，活塞的速度为12πm/s
D．当OA与AB垂直时，活塞的速度为410πm/s
【答案】D
【详解】A．根据题意，活塞可沿水平方向往复运动，故A错误；
B．由公式
v=2πnr
可得，A点线速度为
vA=12πms
将A点和活塞的速度沿杆和垂直杆分解，如图所示，
由几何关系可得
vB1=vA=12πms
故B错误；
C．同理可知，当OA与AB共线时，A点在沿杆方向的分速度是0，所以活塞的速度为0，故C错误；
D．同理可知，当OA与AB垂直时，A点的速度沿杆方向，则
vB1csα=vA
由几何关系
csα=ABAB2+OA2=31010
联立，解得
vB2=410πm/s
故D正确。
故选D。
【变式7-2】（2023·浙江·模拟预测）如图所示，长为l的轻杆，一端固定一个质量为m的小球，另一端有固定转动轴O，杆可在竖直面内绕转动轴O无摩擦转动；质量为m的物块放置在光滑水平面上，开始时，使小球靠在物块的光滑侧面上，轻杆与水平面夹角45°，用手控制物块静止，然后释放物块，在之后球与物块运动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．球与物块分离前，杆上的弹力逐渐增大
B．球与物块分离前，球与物块的速度相等
C．球与物块分离前，物块的速度先增大后减小
D．球与物块分离时，球的加速度等于重力加速度
【答案】D
【详解】AD．对小球和物块整体受力分析，受重力，杆的弹力F，地面的支持力FN，如图1所示，
在水平方向由牛顿第二定律得
Fcsθ=M+max
分离后物块的加速度为零，可知在球与物块分离前，物块的加速度逐渐减小，而小球水平方向的分加速度与物块的加速度相等，所以物块的水平方向分加速度逐渐减小，而csθ逐渐增大，所以弹力逐渐减小，当恰好分离时，水平加速度为零，弹力为零，球只受重力，加速度等于重力加速度g，故A错误，D正确；
B．设球的速度为v，球与物块分离前，物块与球的水平速度相等，球的速度与杆垂直向下，如图2所示，
将球的速度分解为水平方向和竖直方向两个分速度，由图可知，球的速度大于物块的速度，故B错误；
C．由于地面光滑，杆对物块的弹力始终向左，物块的加速度始终向左，所以物块一直加速，故C错误。
故选D。
【变式7-3】如图所示，长为L的直棒一端可绕固定轴O转动，另一端搁在升降平台上，平台以速度v匀速上升，当棒与竖直方向的夹角为α时，棒的角速度为（ ）
A．vsinαLB．vLsinαC．vcsαLD．vLcsα
【答案】B
【详解】棒与平台接触点的实际运动即合运动方向是垂直于棒指向左上，如图所示
合速度v实=ωL
沿竖直向上方向上的速度分量等于v，即v=ωLsinα
所以ω=vLsinα
故选B。
等时性
分运动与合运动经历时间相等（不同时运动不能合成）
独立性
一个物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，互不影响，此为运动的独立性原理
等效性
各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果
同体性
各分运动与合运动是指同一物体参与的分运动和实际发生的运动
①合运动的速度大小不一定比每一个分运动的速度都大。
②两个分运动的时间一定与它们合运动的时间相等。
分运动的性质
合运动的性质
两个分运动均为匀速直线运动
①当两个分速度v1、v2等大反向时，合速度 v=0，保持静止
②其他情况时，合速度大小、方向均不变，物体做匀速直线运动
一个分运动为匀速直线运动，另一个分运动为匀变速直线运动
①v0与a共线时，物体做匀变速直线运动
②v0与a不共线时，物体做匀变速曲线运动
两个分运动均为匀变速直线运动
①v、a 共线时，物体做匀变速直线运动（含v=0）
②v、a不共线时，物体做匀变速曲线运动
①解决小船渡河问题的关键是：正确区分分运动和合运动，船的航行方向也就是船头所指方向的运动，是分运动；船的运动方向是船的实际运动方向，是合运动，一般情况下与船头指向不一致。
②渡河时间只与船垂直于河岸方向的分速度有关，与水流速度无关。
③船渡河位移的最小值与v船和v水的大小关系有关，v船>v水时，河宽即为最小位移；v船