2025--2026学年四川省泸州市合江县高二下册期中考试数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年四川省泸州市合江县高二下册期中考试数学试题 [含答案]，共4页。试卷主要包含了 设全集，集合，，则， 已知复数z满足，则， 已知函数，则在处的切线斜率为， 已知函数，则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题，共58分）
一､单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 设全集，集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知复数z满足，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知函数，则在处的切线斜率为（ ）
A. 1B.
C. D.
4. 设椭圆的左､右焦点分别为，且点在椭圆上，则的最大值为（ ）
A. 4B. 9C. 16D. 25
5. 在棱长为2的正方体中，直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
6. 记等差数列的前项和为，数列满足，若，，则数列的前10项和（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知函数在上有两个极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8. 设双曲线的左､右焦点分别为，过焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若的面积为，且双曲线的离心率，则（ ）
A. 2B. C. D.
二､多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知等差数列的首项，且，下列说法正确的有（ ）
A. 数列的公差
B. 数列的通项公式为
C. 数列的前项和
D. 数列是公比为2的等比数列
10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小正周期为
B. 在区间上单调递增
C. 的图象关于直线对称
D. 将的图象向左平移个单位长度，可得到的图象
11. 已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A. 的定义域为
B. 在上单调递减，在上单调递增
C. 的最小值为1，且无最大值
D. 若，且，则
第II卷（非选择题，共92分）
注意事项：
（1）非选择题的答案必须使用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后，再用0.5毫米黑色签字笔描写清楚，答在试题卷和草稿纸上无效.
（2）本部分共8个小题，共92分.
三､填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.
12. 已知等差数列的首项，公差，则的值为__________.
13. 已知椭圆的焦距为，则实数的值为__________.
14. 若对于任意，不等式恒成立，则实数的最大值为__________.
四､解答题：本大题共5个小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 在中，内角的对边分别为，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，的面积为，求的值.
16. 已知等比数列的前项和为，公比，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为的中点.
（1）若，求证：平面；
（2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
18. 已知椭圆的离心率为，且过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与椭圆交于两点，为坐标原点，且，求面积的最大值．
19. 已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若对于任意恒成立，求实数的取值范围；
（3）若存在两个极值点，试证明.
数学
满分150分，考试时间共120分钟.
第I卷（选择题，共58分）
一､单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 设全集，集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
思路：分别解不等式得到集合，然后利用交集，补集的定义运算即得．
解答过程：，解得，即，
，解得，即，
，．
2. 已知复数z满足，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据复数的四则运算法则和求复数的模长公式，化简已知条件，得到复数z，再求复数z的共轭复数，得
解答过程：因为，所以，
则，则
故选：B
3. 已知函数，则在处的切线斜率为（ ）
A. 1B.
C. D.
答案：D
解析：
思路：求出在处的导数即可
解答过程：，.
4. 设椭圆的左､右焦点分别为，且点在椭圆上，则的最大值为（ ）
A. 4B. 9C. 16D. 25
答案：C
解析：
解答过程：由椭圆的定义可得，
所以，
当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为16.
5. 在棱长为2的正方体中，直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：根据线面角的定义得到直线在平面的夹角，再利用直角三角形即可求出该角的正弦值.
解答过程：如图所示，连接，交于点，连接.
因为正方体底面是正方形，所以；
又平面，平面，故，
又因平面,故平面.
就是直线与平面所成的角.
正方体棱长为，则，.
在中.
因此直线与平面所成角的正弦值为.
6. 记等差数列的前项和为，数列满足，若，，则数列的前10项和（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：
思路：利用等差数列的基本量运算求得通项，进而求得，再根据分组求和，裂项相消求和得解.
解答过程：因为数列为等差数列，设公差为，
由，得，所以，解得，
所以，
，
所以
.
7. 已知函数在上有两个极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
思路：将函数在上有两个极值点，转化为在上有两不等实根，即在上有两不等实根，再令，根据导数方法判断出函数的单调性，求出最值，作出简图，结合图像即可求出结果.
解答过程：因为，所以，
由函数在上有两个极值点，
可得在上有两不等实根，即在上有两不等实根；
令，则，
由得；
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
即函数在上单调递减，在上单调递增；故；
又由在上有两不等实根，
即与曲线的图像有两不同交点，
结合图像可得.
8. 设双曲线的左､右焦点分别为，过焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若的面积为，且双曲线的离心率，则（ ）
A. 2B. C. D.
答案：A
解析：
思路：先利用点到直线的距离公式求出，再可求得，则，而，再结合的面积为，从而可求出离心率.
解答过程：双曲线的渐近线为，由双曲线的对称性，不妨取，即，则
，
所以，
所以，
因为的面积为，，
所以，得，
所以，令得，
解得或，即或，
或，
因为，所以.
二､多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知等差数列的首项，且，下列说法正确的有（ ）
A. 数列的公差
B. 数列的通项公式为
C. 数列的前项和
D. 数列是公比为2的等比数列
答案：AD
解析：
解答过程：对于A，设等差数列的公差为，因为，且，
所以，解得：，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，令，，所以数列是公比为2的等比数列，故D正确.
10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小正周期为
B. 在区间上单调递增
C. 的图象关于直线对称
D. 将的图象向左平移个单位长度，可得到的图象
答案：BC
解析：
思路：根据判断A选项；将看作一个整体，利用正弦函数单调递增区间判断B选项；因为正弦函数在对称轴处取最值，可将代入判断C选项；利用平移法则可判断D选项．
解答过程：A选项：根据题意，该函数的最小正周期，故A错误；
B选项：令，，解得，；
当时，，故在区间上单调递增，故B正确；
C选项：因为，故的图象关于直线对称，C正确；
D选项：将的图象向左平移个单位长度，可得，故D错误．
11. 已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A. 的定义域为
B. 在上单调递减，在上单调递增
C. 的最小值为1，且无最大值
D. 若，且，则
答案：BCD
解析：
思路：根据对数函数定义域要求确定的定义域，以此判断选项A；对求导，根据导数在不同区间的正负判断单调区间，以此分析选项B；结合单调区间找到极值点，进而确定最值情况，判断选项C；利用函数单调性构造函数，通过函数值的大小关系推导变量间的不等式，判断选项D；
解答过程：选项A，对数要求真数，因此的定义域为，A错误.
选项B，对求导得：，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，B正确.
选项C，由B的单调性可知，在处取得最小值：，
当时，，因此无最大值，C正确.
选项D，不妨设，要证，即证.
因为在单调递增，只需证.
构造函数，求导得：，
因此在单调递减，得，即，
故，得，即，D正确.
第II卷（非选择题，共92分）
注意事项：
（1）非选择题的答案必须使用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后，再用0.5毫米黑色签字笔描写清楚，答在试题卷和草稿纸上无效.
（2）本部分共8个小题，共92分.
三､填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.
12. 已知等差数列的首项，公差，则的值为__________.
答案：11
解析：
解答过程.
13. 已知椭圆的焦距为，则实数的值为__________.
答案：或
解析：
思路：直接由椭圆的几何性质计算可得.
解答过程：因为椭圆的焦距为，得且，
当时，则，解得；
当时，则，解得；
因此实数的值为或.
14. 若对于任意，不等式恒成立，则实数的最大值为__________.
答案：1
解析：
解答过程：因为对于任意，不等式恒成立，即，
令，，
当时，，所以在上单调递增，
所以，恒成立，
当时，令，所以，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以，
令，，
所以在上单调递减，又因为，所以，不满足恒成立.
综上,.所以实数的最大值为.
四､解答题：本大题共5个小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 在中，内角的对边分别为，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，的面积为，求的值.
答案：（1）
（2）4
解析：
思路：（1）根据正弦定理、诱导公式及两角和的正弦公式化简求解即可.
（2）根据三角形面积公式及余弦定理求解即可.
（1）由正弦定理得，，
又，所以，
则，
化简得，，
在中，，所以，
又因为，所以.
（2）由三角形面积公式得：，解得，
由余弦定理得，，
所以，又，所以.
16. 已知等比数列的前项和为，公比，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据等比数列的前项和的定义及等比数列性质可得；
（2）由（1）知，进而再用错位相减法求数列的前项和可得.
（1）由已知得： ， ，两式相减得：，即，
所以，又因为，，解得，
代入得： ，即，
又因为，所以，解得，
因此数列的通项公式为；
（2）由（1）知，所以，
则①，
两边同时乘得：②，
由得：
因此.
17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为的中点.
（1）若，求证：平面；
（2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
答案：（1）证明见解析
（2）解析：
思路：（1）根据线面垂直的性质及线面垂直的判定定理证明即可.
（2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，结合向量夹角的坐标表示求解即可.
（1）证明：因为底面，底面，所以，
又因为底面为矩形，所以，
因为，，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
因为，为的中点，所以，
又因为，，平面，
所以平面.
（2）如图，以为原点，分别以､､所在的方向为轴､轴､轴正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，又，可得，，
又为的中点，所以，
所以，，，.
设平面的法向量为，
则，即，令，解得，，
故平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则，即，所以，令，解得，
故平面的一个法向量为，
设平面与平面所成的锐二面角为，
则，
即所求锐二面角的余弦值为.
18. 已知椭圆的离心率为，且过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与椭圆交于两点，为坐标原点，且，求面积的最大值．
答案：（1）；
（2）．
解析：
思路：(1)由离心率为可得关系式；将代入方程，再根据求得椭圆的标准方程；
(2)设直线方程，需要注意斜率是否存在的情况；联立直线与椭圆方程得到关于x的一元二次方程，根据韦达定理得到坐标关系，利用找出直线参数之间的关系，结合弦长公式和距离公式计算面积的最大值．
（1）由椭圆的离心率，得：，
又因为，所以，
椭圆的方程可化为，
将点代入椭圆方程得：，解得，则；
因此椭圆C的标准方程为；
（2）设；
①当直线l的斜率不存在时，设l：，代入椭圆方程得：，
则；由得：
，解得，
此时；
②当直线l的斜率存在时，设l：，
联立，消去y得：；
；解得：；
由韦达定理得：，；
由得：，
又因为，
代入得：
将韦达定理结果代入得：；
化简得：；
所以，
代入化简得，得：
原点O到直线l的距离，
因此：；
化简：；
由基本不等式可得：，当且仅当：时，“=”成立；
即，因此，当且仅当时取等号，
综上所述，，故面积的最大值为．
19. 已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若对于任意恒成立，求实数的取值范围；
（3）若存在两个极值点，试证明.
答案：（1）的单调递增区间为，无单调递减区间
（2） （3）证明见解析
解析：
思路：(1)求导后构造辅助函数，通过二次求导来分析的符号.
(2)利用这个特殊值，将恒成立问题转化为导数符号问题.
(3)极值点等价于导数为零的根，利用构造辅助函数确定，最后根据的单调性将原不等式放缩后得证.
19.当时，，的定义域为，
，令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
故，即，当且仅当时取等号，因此在上单调递增，
所以的单调递增区间为，无单调递减区间.
20.，令，则，
当时，，故在上单调递增，即，
①当时，即，在上单调递增，故，符合题意；
②当时，，因为当时，，故存在唯一，使得.
当时，，单调递减，此时，与题意矛盾，故舍去，
综上所述，实数a的取值范围为；
21.证明：存在两个极值点，，等价于有两个不等的实数根，即有两个不等的实数根，令，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，，
因此当时，有两个不同实数根，且在单调递增，在单调递减，单调递增.
由，得：，
令，，，
所以在上单调递增，，即，令，则，
因为，所以，
注意到在，时，在上单调递减，故，即，故.因为在单调递减，所以.
要证，将放缩后只需证.
令，求导后，因为，所以，故在单调递增，
即，代入得，
原式得证.