2025--2026学年山西省长治学院附属太行中学高一下册期中考试数学试题 [含答案]

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1. 已知，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
2. 下列说法正确的是（ ）
A. 空间中两直线的位置关系有三种：平行、垂直和异面
B. 若空间中两直线没有公共点，则这两直线异面
C. 和两条异面直线都相交的两直线是异面直线
D. 若两直线分别是正方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则这两直线可能相交，也可能异面
3. 已知均为单位向量，且，则与的夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，是水平放置的△OAB用斜二测画法画出的直观图（图中虚线分别与轴和轴平行），则△OAB的面积为（ ）
A. B. C. 24D. 48
5. 若高为1的正三棱柱的顶点都在半径为1的球面上，则该正三棱柱的体积为（ ）
A. B. C. D.
6. 镇国寺塔亦称西塔，是一座方形七层楼阁式砖塔，是全国重点文物保护单位、国家3A级旅游景区．小胡同学想知道镇国寺塔的高度，他在塔的正东方向找到一座高为7.5m的建筑物，在地面上点C处（B，C，N在同一水平面上且三点共线）测得建筑物顶部A，镇国寺塔顶部M的仰角分别为15°和60°，在A处测得镇国寺塔顶部M的仰角为30°，则镇国寺塔的高度约为（ ）（）
A. 37.52mB. 35.48mC. 33.26mD. 31.52m
7. 如图几何体是圆锥的一部分，其中．从点出发沿曲面运动到的最短路线的距离是（ ）
A. B. C. D.
8. 中，，，是外接圆圆心，则的最大值为（ ）
A. 3B. C. 4D.
二､多选题（共3小题，共18分）
9. 如图所示，在正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（ ）
A. ，，三点共线B. ，，，四点共面
C. ，，，四点共面D. ，，，四点共面
10. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则△ABC为等腰三角形
C. 若，，，则符合条件的三角形有2个
D. 若△ABC的面积，则
11. 在棱长为的正方体中，动点在其表面上运动，且，把点的轨迹长度称为“喇叭花”函数，下列结论中正确的是（ ）

A. B. C. D.
三､填空题（共4小题，共20分）
12. 如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱．若侧面水平放置时，液面恰好过的中点．当底面水平放置时，液面高为__________．
13. 如图，在棱长为1的正方体中，点 E，F分别是棱BC，的中点，P是侧面内一点（包含边界），若 平面AEF，则线段长度的取值范围是 _________ .
14. 德国机械学家莱洛设计的莱洛三角形在工业领域应用广泛．如图，分别以等边三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形．若该等边三角形的边长为，为弧上的一个动点，则的最小值为______．
四.解答题（共5小题，共77分）
15. （1）已知为虚数单位，，求.
（2）已知在平面直角坐标系内与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围
16. 如图是一个奖杯的三视图，试根据奖杯的三视图计算：
（1）求下部四棱台的侧面积；
（2）求奖杯的体积．（尺寸如图，单位：，取3）
17. 在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）求角C的大小；
（2）若，边AB的中点为D，求中线CD长的取值范围．
18. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点为棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）若为上的动点，则线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由；
（3）若，请在图中作出四棱锥过点及棱中点的截面，并求出截面周长．
19. 如图所示，正方体的棱长为a．
（1）过正方体的顶点，B，截下一个三棱锥，求正方体剩余部分的体积；
（2）若M，N分别是棱AB，BC的中点，请画出过，M，N三点的平面与正方体表面的交线（保留作图痕迹，画出交线，无需说明理由），并求出交线围成的多边形的周长；
（3）设正方体外接球的球心为O，求三棱锥的体积．
数学
一､单选题（40分）
1. 已知，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：根据复数的除法运算法则，将化成的形式，即可得到其虚部.
解答过程：因为，所以.
所以的虚部为.
2. 下列说法正确的是（ ）
A. 空间中两直线的位置关系有三种：平行、垂直和异面
B. 若空间中两直线没有公共点，则这两直线异面
C. 和两条异面直线都相交的两直线是异面直线
D. 若两直线分别是正方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则这两直线可能相交，也可能异面
答案：D
解析：
思路：对于A，空间中两直线的位置关系有三种：平行、相交和异面；对于B，这两直线异面或平行；对于C，和两条异面直线都相交的两直线是异面直线或相交直线；对于D，以长方体为载体进行判断求解.
解答过程：对于A，空间中两直线的位置关系有三种：平行、相交和异面，故A错误；
对于B，若空间中两直线没有公共点，则这两直线异面或平行，故B错误；
对于C，和两条异面直线都相交的两直线是异面直线或相交直线，故C错误；
对于D，如图，在长方体中，
当所在直线为所在直线为时，与相交，
当所在直线为所在直线为时，与异面，
若两直线分别是正方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则这两直线可能相交，也可能异面，故D正确.
故选：D
3. 已知均为单位向量，且，则与的夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：将条件变形为，然后两边同时平方计算求解即可.
解答过程：因为均为单位向量，且，
所以，
即，
解得，
即与的夹角的余弦值为.
故选：D.
4. 如图，是水平放置的△OAB用斜二测画法画出的直观图（图中虚线分别与轴和轴平行），则△OAB的面积为（ ）
A. B. C. 24D. 48
答案：D
解析：
思路：根据题中直观图及斜二测画法，还原出水平放置的△OAB，求解面积即可.
解答过程：根据题中直观图及斜二测画法，还原出水平放置的△OAB，
其面积为.
故选：D.
5. 若高为1的正三棱柱的顶点都在半径为1的球面上，则该正三棱柱的体积为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据球的截面圆的性质，得到棱柱底面与球的截面圆的半径，进而求得底面三角形的边长为，结合棱柱的体积公式，即可求解.
解答过程：由题意可知球的半径，
因为正三棱柱的高为，则球心到三棱柱底面的距离，
根据球的截面圆的性质，可得，即，解得，
棱柱底面与球的截面圆的半径，
三棱柱的底面三角形为截面圆内接正三角形，可得三角形的边长为，
所以三角形的面积为，
该棱柱的体积为.
故选：B.
6. 镇国寺塔亦称西塔，是一座方形七层楼阁式砖塔，是全国重点文物保护单位、国家3A级旅游景区．小胡同学想知道镇国寺塔的高度，他在塔的正东方向找到一座高为7.5m的建筑物，在地面上点C处（B，C，N在同一水平面上且三点共线）测得建筑物顶部A，镇国寺塔顶部M的仰角分别为15°和60°，在A处测得镇国寺塔顶部M的仰角为30°，则镇国寺塔的高度约为（ ）（）
A. 37.52mB. 35.48mC. 33.26mD. 31.52m
答案：B
解析：
思路：根据给定条件，利用直角三角形边角关系、正弦定理列式计算即得.
解答过程：因为，
在中，，
在中，，，
则，
由正弦定理得，则，
所以，
即镇国寺塔的高度约为35.48m．
故选：B.
7. 如图几何体是圆锥的一部分，其中．从点出发沿曲面运动到的最短路线的距离是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：将侧面展开为平面，求出对应圆心角及弧长，再利用余弦定理计算两点间线段长度即可.
解答过程：圆锥高底面，已知，​，
由勾股定理得母线长 ，
底面中劣弧的长度为，占底面圆周的，
圆的周长为，则几何体所在的圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角为，
所以侧面展开图中的弧的长为，
设圆心角，由弧长公式得 ，
由余弦定理，
得，则从点出发沿曲面运动到点的最短路线的距离是.
8. 中，，，是外接圆圆心，则的最大值为（ ）
A. 3B. C. 4D.
答案：B
解析：
思路：根据正弦定理求得，将化为，即，即可求出答案.
解答过程：设外接圆半径为，
由正弦定理得，所以，
由圆的性质得，
，
所以当，即，即时，
取得最大值，最大值为.
二､多选题（共3小题，共18分）
9. 如图所示，在正方体中，为的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（ ）
A. ，，三点共线B. ，，，四点共面
C. ，，，四点共面D. ，，，四点共面
答案：ABC
解析：
思路：根据点与线、点与面、线与面的位置关系判断即可；
解答过程：解：在正方体中，为的中点，直线交平面于点，
在选项中，直线交平面于点，
平面，直线，又平面，平面，
为的中点，平面，底面为正方形，所以为的中点，
平面，且平面，
又平面，且平面，
，，三点共线，故选项正确；
在选项中，，，三点共线，，，，四点共面，故正确；
在选项中，，，三点共线，，，，四点共面，故正确；
在选项中，直线，，
，，，四点不共面，故错误．
故选：．
10. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则△ABC为等腰三角形
C. 若，，，则符合条件的三角形有2个
D. 若△ABC的面积，则
答案：ACD
解析：
思路：对于A：利用正弦定理直接判断；对于B：由题意结合两角和差的正弦公式可得或，即可判断；对于C：由即可判断；对于D：由条件及余弦定理，三角形面积公式可得，求出即可判断．
解答过程：对于A：在中，由正弦定理得：，（为的外接圆半径），
因为，即，所以，故A正确；
对于B：因为，即，
展开整理得，又，
所以或，故为直角三角形或等腰三角形，故B错误；
对于C：因为，，，所以，所以，
所以符合条件的三角形有两个，故C正确；
对于D：三角形面积且可得，
因为，所以，故，所以，故D正确．
故选：ACD．
11. 在棱长为的正方体中，动点在其表面上运动，且，把点的轨迹长度称为“喇叭花”函数，下列结论中正确的是（ ）

A. B. C. D.
答案：BCD
解析：
思路：根据长度确定轨迹形状，进而可得解.
解答过程：A选项：，则动点在正方体的三个表面，，内运动，且运动轨迹均为以为圆心，为半径，且圆心角为的圆弧，
则轨迹长度，A选项错误；
B选项：，则动点在正方体的三个表面，，内运动，且运动轨迹均为以为圆心，为半径，且圆心角为的圆弧，
则轨迹长度，B选项正确；
C选项：，则动点在正方体的三个表面，，内运动，且运动轨迹长度相等，
当在内运动时，由平面，
则，则，
所以在内的运动轨迹均为以为圆心，为半径，且圆心角为的圆弧，
则轨迹长度，C选项正确；
D选项：，且，动点在正方体的三个表面，，内运动，且运动轨迹长度相等，
当在内运动时，由平面，
则，则，
如图所示，

设轨迹与，分别交于点，，
所以，，
则，同理，则
所以在内的运动轨迹均为以为圆心，为半径，且圆心角为的圆弧，
则轨迹长度，D选项正确；
故选：BCD.
三､填空题（共4小题，共20分）
12. 如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱．若侧面水平放置时，液面恰好过的中点．当底面水平放置时，液面高为__________．
答案：12
解析：
思路：根据给定条件利用柱体体积公式求出水的实际体积，再由两种情况的放置水的体积相同求解作答.
解答过程：设的面积为a，底面ABC水平放置时，液面高为h，
侧面水平放置时，水的体积为
当底面ABC水平放置时，水的体积为，于是，解得，
所以当底面水平放置时，液面高为12.
故12
13. 如图，在棱长为1的正方体中，点 E，F分别是棱BC，的中点，P是侧面内一点（包含边界），若 平面AEF，则线段长度的取值范围是 _________ .
答案：
解析：
思路：分别取棱的中点，通过证明平面可得必在线段上，进而可求得长度的取值范围.
解答过程：如下图所示，分别取棱的中点，连接，连接，
因为为所在棱的中点，所以，所以，
又平面平面，所以平面；
因为，所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，所以平面，
又，所以平面，
因为是侧面内一点，且平面，则必在线段上，
在直角中，，
同理，在直角中，求得，所以为等腰三角形，
当在中点时，，此时最短，位于处时最长，
，，
所以线段长度的取值范围是.
故答案为.
方法提示：关键点睛：本题考查空间点的存在性问题，解题的关键是取棱的中点，得出点必在线段上，从而将问题转化为在中.
14. 德国机械学家莱洛设计的莱洛三角形在工业领域应用广泛．如图，分别以等边三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形．若该等边三角形的边长为，为弧上的一个动点，则的最小值为______．
答案：
解析：
思路：以为原点建立平面直角坐标系，则为单位圆上一点，利用任意角的三角函数定义，设点的坐标，用向量的坐标运算求解即可.
解答过程：
由已知，弧是以为圆心，为半径的圆的一部分，
以为原点，所在直线为轴，过与直线垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，则由已知，，，
由任意角的三角函数的定义，设，，
则，，，
∴，
∴
令，，则，
当时，，
，
，
∴存在，使，即，
∴当时，的最小值为.
故答案为.
四.解答题（共5小题，共77分）
15. （1）已知为虚数单位，，求.
（2）已知在平面直角坐标系内与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围
答案：（1）;（2）
解析：
思路：（1）利用复数的运算可得答案；
（2）求出向量坐标，结合数量积运算和共线的坐标表示可求答案.
解答过程：（1）因为，所以，所以z1z2=1+2i2−3i=8+i
（2）因为，，所以，
因为向量与的夹角为钝角，所以ta−b⋅a+2b