2025--2026学年山西吕梁市文水县部分学校高一下册期中数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年山西吕梁市文水县部分学校高一下册期中数学试题 [含答案]，共4页。试卷主要包含了 下列结论正确的是， 在中，，则， 如图，在的菱形网格， 已知复数，，则， 已知平面向量．与的夹角为，则等内容，欢迎下载使用。
满分150分，考试时间120分钟.
第一部分（选择题共58分）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数满足，则在复平面内，复数对应的点所在象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 下列结论正确的是（ ）
A. 平行向量不一定是共线向量B. 单位向量都相等
C. 方向相反的两个向量是相反向量D. 两个单位向量之和仍可能是单位向量
3. 已知、是两个不共线的向量，若向量与共线，则（ ）
A. 9B. 6C. D.
4. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 四边形的面积为
D. 四边形的周长为
5. 在中，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在的菱形网格（每个小菱形的边长均为1）中，向量与的夹角为，则（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4
7. 如图的方斗杯古时候常作为盛酒的容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，上底面边长为，下底面边长为，厚度忽略不计.现往该方斗杯里倒酒，当倒入时，酒的高度恰好是方斗杯高度的一半，则该方斗杯的容积为（ ）
A. B. C. D.
8. 内角，，所对边分别为，，，若，，，则的值为（ ）
A. 2B. 6C. 4D. 8
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数，，则（ ）
A. 的共轭复数的虚部为
B.
C. 为纯虚数
D. 在复平面内，复数所对应的点位于第一象限
10. 已知平面向量．与的夹角为，则（ ）
A. B.
C. D. 在上的投影向量为
11. “阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们也都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．有几种阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到，如图，正八面体的棱长为3，取各条棱的三等分点，截去六个角后得到一种阿基米德多面体，则该阿基米德多面体（ ）
A. 共有18个顶
B. 共有36条棱
C. 表面积为
D. 与正八面体的体积之比为8:9
第二部分（非选择题共92分）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在平行四边形中，为的中点，若，则__________.
13. 在中，角所对的边分别为，且，则___________．
14. 如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底在同一水平面内的两个观测点与，现测得，米，在点处测得塔顶的仰角为，在点处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知平面向量，，.
（1）若，且，求和的值；
（2）若，求的值.
16. 已知中，延长到C，使，D是将分成的一个分点，和交于点E，设，，
（1）用，表示向量，；
（2）若，求实数的值．
17. 记的内角，，的对边分别为，，.已知，
（1）证明：；
（2）设，，求的面积.
18. 如图是一个正四棱台的铁料，上、下底面的边长分别为20cm和40cm，高30cm．
（1）求四棱台的表面积；
（2）若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台，求削去部分与圆台的体积之比．
19. 在中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c，且.
（1）求角A的大小；
（2）若，，求a；
（3）若为锐角三角形，，求的取值范围.
数学
满分150分，考试时间120分钟
满分150分，考试时间120分钟.
第一部分（选择题共58分）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数满足，则在复平面内，复数对应的点所在象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
答案：C
解析：
思路：根据复数的运算法则求出，进而判断即可.
解答过程：由，则，
则复数对应的点为，在第三象限.
故选：C.
2. 下列结论正确的是（ ）
A. 平行向量不一定是共线向量B. 单位向量都相等
C. 方向相反的两个向量是相反向量D. 两个单位向量之和仍可能是单位向量
答案：D
解析：
解答过程：对于A，根据定义，平行向量就是共线向量，二者是同一概念的不同叫法，故A错误；
对于B，单位向量仅要求模长为1，但方向可以完全不同，如x轴正方向和y轴正方向的单位向量，故B错误；
对于C，相反向量的定义是模长相等且方向相反，仅方向相反但模长不等的向量不是相反向量，故C错误；
对于D，设两个单位向量、，夹角为，
则，因此，
即和向量仍为单位向量，故D正确．
3. 已知、是两个不共线的向量，若向量与共线，则（ ）
A. 9B. 6C. D.
答案：D
解析：
解答过程：若向量与共线，
则存在实数使得，即，
又、是两个不共线的向量，所以，解得.
4. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 四边形的面积为
D. 四边形的周长为
答案：D
解析：
思路：根据斜二测画法，画出原图，结合长度、面积、周长等知识进行分析，从而确定正确答案.
解答过程：对于A、B，由题设易得，原平面图如下，，
，故A、B错误；
对于C，四边形的面积为：，即C错误．
对于D，在原图形中，过作交于点，则，
由勾股定理得，
故四边形的周长为：，即D正确；
5. 在中，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：由余弦定理直接计算求解即可.
解答过程：由题意得，
又，所以.
故选：A
6. 如图，在的菱形网格（每个小菱形的边长均为1）中，向量与的夹角为，则（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4
答案：A
解析：
思路：结合图形可知，，进而结合平面向量数量积的运算律求解即可.
解答过程：由图可知，，，
则.
故选：A.
7. 如图的方斗杯古时候常作为盛酒的容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，上底面边长为，下底面边长为，厚度忽略不计.现往该方斗杯里倒酒，当倒入时，酒的高度恰好是方斗杯高度的一半，则该方斗杯的容积为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：设线段、、、的中点分别为、、、，利用台体的体积公式计算出棱台与棱台的体积之比，即可得该方斗杯可盛该种酒的总容积.
解答过程：设线段、、、的中点分别为、、、，如下图所示：
易知四边形为等腰梯形，因为线段、的中点分别为、，
则，
设棱台的高为，体积为，
则棱台的高为，设其体积为，
则，则，
所以，，所以，该方斗杯可盛该种酒的总容积为.
故选：B.
8. 内角，，所对边分别为，，，若，，，则的值为（ ）
A. 2B. 6C. 4D. 8
答案：B
解析：
解答过程：在中，由及正弦定理，得，
而，则，又，因此，而，，
由余弦定理得，
所以.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数，，则（ ）
A. 的共轭复数的虚部为
B.
C. 为纯虚数
D. 在复平面内，复数所对应的点位于第一象限
答案：ABC
解析：
思路：利用复数的相关概念、模长公式、几何意义、运算法则一一分析选项即可.
解答过程：易知，
对于A，易知，其虚部为，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，为纯虚数，故C正确；
对于D，，对应的点为位于第四象限，
故D错误.
故选：ABC
10. 已知平面向量．与的夹角为，则（ ）
A. B.
C. D. 在上的投影向量为
答案：BC
解析：
思路：根据给定条件，利用向量的坐标运算逐项求解判断.
解答过程：对于A，因为，即不存在实数使，所以与不共线，故A不正确；
对于B，，所以，故B正确；
对于C，因为，，所以故C正确；
对于D，在上的投影向量为.故D不正确.
故选：BC.
11. “阿基米德多面体”又称“半正多面体”，与正多面体类似，它们也都是凸多面体，每个面都是正多边形，并且所有棱长也都相等，但不同之处在于阿基米德多面体的每个面的形状不全相同．有几种阿基米德多面体可由正多面体进行“截角”得到，如图，正八面体的棱长为3，取各条棱的三等分点，截去六个角后得到一种阿基米德多面体，则该阿基米德多面体（ ）
A. 共有18个顶
B. 共有36条棱
C. 表面积为
D. 与正八面体的体积之比为8:9
答案：BD
解析：
思路：根据正八面体的几何性质，结合题意，利用正方形与正六边形的面积公式以及正四棱锥的体积公式，可得答案.
解答过程：由图可知该多面体有24个顶点，36条棱，故A错误，B正确；
该多面体的棱长为1，且表面由6个正方形和8个正六边形组成，
故该多面体的表面积为，故C错误；
正八面体可分为两个全等的正四棱锥，其棱长为3，
过作平面于，连接，如下图：
因为平面，且平面，所以，
正方形中，由边长为3，则对角线长为，则，
在中，，则，
正八面体的体积为，
切割掉6个棱长均为1的正四棱锥，减少的体积为，
所以该阿基米德多面体的体积为，
所以该阿基米德多面体的体积与正八面体的体积之比为，故D正确．
故选：BD.
第二部分（非选择题共92分）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在平行四边形中，为的中点，若，则__________.
答案：##
解析：
解答过程：因为，
又若，不共线，
所以，
所以.
13. 在中，角所对的边分别为，且，则___________．
答案：4或
解析：
解答过程：由，得，由余弦定理.
当时，，，此时三角形为直角三角形；
当时，，，此时三角形为钝角三角形.
14. 如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底在同一水平面内的两个观测点与，现测得，米，在点处测得塔顶的仰角为，在点处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度为__________.
答案：米
解析：
思路：设，即可得到，再利用余弦定理建立方程，求解高度即可.
解答过程：设，由题意得，
而，
则，，
所以，
在中，，，
由余弦定理得，解得（负值舍去），
所以铁塔的高度为米.
故米.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知平面向量，，.
（1）若，且，求和的值；
（2）若，求的值.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据平面向量运算的坐标公式列出等式和方程组，求解即可.
（2）先根据求出值，然后根据向量的模公式求出结果即可.
（1）因为平面向量，，，且，
所以.
则有，解得.
（2）因为平面向量，，，
所以，解得，所以向量，，
所以.
所以.
16. 已知中，延长到C，使，D是将分成的一个分点，和交于点E，设，，
（1）用，表示向量，；
（2）若，求实数的值．
答案：（1），．
（2）解析：
思路：（1）利用向量的线性运算求解即可；
（2）利用与共线，可得存在实数m，使得，进而计算可得，进而计算可求实数的值．
（1）为中点，
，．
．
（2），
．
与共线，
∴存在实数m，使得，
即，
即．
，不共线，，
解得．
17. 记的内角，，的对边分别为，，.已知，
（1）证明：；
（2）设，，求的面积.
答案：（1）证明见解析
（2）解析：
思路：（1）根据给定条件，利用正弦定理边角互化及和角的正弦公式推理得证.
（2）由（1）的结论，利用余弦定理及三角形面积公式计算得解.
（1）在中，由及正弦定理得，
则，即，
所以.
（2）在中，，，由余弦定理得，
由（1）知，即，则，
整理得，因此，，
所以的面积为.
18. 如图是一个正四棱台的铁料，上、下底面的边长分别为20cm和40cm，高30cm．
（1）求四棱台的表面积；
（2）若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台，求削去部分与圆台的体积之比．
答案：（1）（）
（2）解析：
思路：（1）分别取的中点，连接，过作于，然后根据已知条件求出斜高，再根据表面积公式可求得结果；
（2）由题意可知最大的圆台是上下底面圆与正四棱台的上下底面正方形相切，高为棱台的高，求出圆台的体积，再求出正四棱台的体积，即可求出削去部分的体积，从而可求出削去部分与圆台的体积之比．
（1）在正四棱台中，分别取上、下底面的中心，连接，则
分别取的中点，连接，过作于，
因为在正四棱台中，，，
所以，
在中，，
所以正四棱台的表面积为
（）；
（2）若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台，则圆台的上下底面圆与正四棱台的上下底面正方形相切，高为正四棱台的高，
则圆台的上底面半径为，下底面半径为，高，
所以圆台的体积为（），
因为正四棱台的体积为（），
所以削去部分的体积为（），
所以削去部分与圆台的体积之比.
19. 在中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c，且.
（1）求角A的大小；
（2）若，，求a；
（3）若为锐角三角形，，求的取值范围.
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）结合正弦定理和诱导公式，化简求值即可；
（2）通过三角形的面积公式求出边长，再利用余弦定理求解即可；
（3）通过正弦定理，将边用角表示，然后结合三角形中角的关系，将问题表示为单一变量角的函数，再结合锐角三角形，确定角的取值范围，再利用正弦函数求取值范围即可.
（1）因为，
由正弦定理得，即，
因为在中，，所以，
又，所以.
（2）因为，，，所以，解得.
由余弦定理得.
（3）因为，，
结合正弦定理，得，所以，.
在中，,
所以.
因为为锐角三角形，所以，所以，
则，所以，
所以.