2025--2026学年四川南江县实验中学高二下册期中考试数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年四川南江县实验中学高二下册期中考试数学试题 [含答案]，共4页。试卷主要包含了 若复数满足，则的虚部为， 下列求导结果正确的是， 圆， 已知函数y=f， 已知数列满足， 等差数列的前项和为，则等内容，欢迎下载使用。
1. 数列的2,43,85,167,329,… 的一个通项公式（ ）
A. B. C. D.
2. 若复数满足，则的虚部为（ ）
A. B. C. 2D.
3. 下列求导结果正确的是（ ）
A. cs1x'=−1x⋅sin1xB. sinx2'=2xcsx2
C. cs5x'=−sin5x D. 12xsin2x'=xsin2x
4. 已知数列为等比数列，为，的等差中项，则的公比为（ ）
A. 1或B. C. 2或D. 1
5. 已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（ ）
A. B. C. D. 4
6. 圆：与圆：的位置关系是（ ）
A. 内含B. 外切C. 内切D. 相交
7. 已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知数列满足：，若，则的所有可能取值的和为（ ）
A. 62B. 169C. 170D. 190
二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 已知直线，为坐标原点，则下列选项中正确的有（ ）
A. 直线的倾斜角为
B. 直线在轴上的截距为
C. 过且与直线平行的直线方程为
D. 过且与直线垂直的直线方程为
10. 等差数列的前项和为，则（ ）
A. B.
C. D. 当时，的最小值为16
11. 已知是函数的极大值点，则（ ）
A. 函数的极小值为0
B. 若，则
C. 若，则有3个相异的零点
D. 若（其中），则
第Ⅱ卷（非选择题）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知数列满足，若，则___________．
13. 已知等比数列的各项均为正数，且，则__________.
14. 已知函数的导函数为，定义方程的实数根叫做函数的“新不动点”．设，则在区间上的“新不动点”为______．
四､解答题：本题共5小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数．
（1）若，求函数的极值；
（2）若，求函数的单调区间．
16. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点，直线与轴交于点，且与椭圆交于，两点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求的值.
17. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求二面角的正弦值．
18. 已知数列中，，满足.
（1）证明数列是等比数列；
（2）设，求的通项公式；
（3）设，的前项和记为，试证明.
19. 设函数．
（1）若，求的图象在处的切线方程；
（2）若在上恒成立，求a的取值范围；
（3）当时，若满足，求证：．
数学
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 数列的的一个通项公式（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据数列各项分子、分母特征，即可找出规律，求出通项公式.
解答过程：将写成，所以该数列各项分子为2,4,8,16,32,⋯ ，是以为首项和公比的等比数列，分母为，是以为首项,以为公差的等差数列，
所以此数列的一个通项公式为2n2n−1，故C正确.
2. 若复数满足，则的虚部为（ ）
A. B. C. 2D.
答案：A
解析：
思路：根据复数的除法运算求出复数，即得答案.
解答过程：因为，
所以z的虚部为.
故选：A.
3. 下列求导结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
思路：根据导数的四则运算以及复合函数的求导法则即可求解.
解答过程：对于A，cs1x'=−sin1x·−1x2=1x2·sin1x，故A错误；
对于B，sinx2'=csx2·2x=2xcsx2，故B正确；
对于C，cs5x'=−sin5x×5=−5sin5x ，故C错误；
对于D，12xsin2x'=12×sin2x+12×2xcs2x=12sin2x+2xcs2x，故D错误.
4. 已知数列为等比数列，为，的等差中项，则的公比为（ ）
A. 1或B. C. 2或D. 1
答案：A
解析：
思路：利用等差中项概念和等比数列通项公式即可求公比.
解答过程：因为为，的等差中项，所以，
又因为数列为等比数列，设公比为，则有，
解得，
故选：A.
5. 已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（ ）
A. B. C. D. 4
答案：C
解析：
思路：根据，展开后根据空间向量的数量积公式计算即可得到结果.
解答过程：由题意可得，
.
故选：C
6. 圆：与圆：的位置关系是（ ）
A. 内含B. 外切C. 内切D. 相交
答案：B
解析：
思路：求出圆心和半径，圆心和半径，利用两点间的距离公式求出， 比较和的大小得到两圆的位置关系.
解答过程：：，圆心，半径，
：，圆心，半径，
，，，
圆：与圆：的位置关系是外切.
故选：B.
7. 已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：由y＝f′(x)的图象知，y＝f(x)的图象为增函数，
且在区间(－1,0)上增长速度越来越快，
而在区间(0,1)上增长速度越来越慢．
故选B.
8. 已知数列满足：，若，则的所有可能取值的和为（ ）
A. 62B. 169C. 170D. 190
答案：D
解析：
思路：利用递推公式，依次令即可求出答案.
解答过程：因为，
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得或；
当时，，解得或；
当时，，解得或或；
当时，，解得或或或；
当时，，解得或或或或或；
所以的所有可能取值为，
它们的和为.
二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 已知直线，为坐标原点，则下列选项中正确的有（ ）
A. 直线的倾斜角为
B. 直线在轴上的截距为
C. 过且与直线平行的直线方程为
D. 过且与直线垂直的直线方程为
答案：AC
解析：
解答过程：直线，化为斜截式.
A：斜率，倾斜角，正确.
B：代入得轴截距为，非，错误.
C：过原点直线斜率为，且直线与不重合，所以过且与直线平行的直线方程为，正确.
D：直线斜率，所以与其垂直的直线斜率为，而直线方程斜率为，错误.
10. 等差数列的前项和为，则（ ）
A. B.
C. D. 当时，的最小值为16
答案：AD
解析：
思路：设等差数列的公差为d，由，利用等差数列通项公式求出，由此利用等差数列通项公式和求和公式即可求解判断.
解答过程：设等差数列的公差为d，
因为，所以，
即，
对于A，，故A正确；
对于B，，所以，故B错误；
对于C，，，所以,故C错误；
对于D，，
因为，所以当时，，即当时，的最小值为16，故D正确.
故选：AD.
11. 已知是函数的极大值点，则（ ）
A. 函数的极小值为0
B. 若，则
C. 若，则有3个相异的零点
D. 若（其中），则
答案：ACD
解析：
思路：根据题意，求得，得到，求得，得出函数的单调性与极值（点），可判定A正确；当时，得到，结合函数的单调性，可判定B错误；作出函数的图象，结合图象，可得判定C正确；根据题意，转化为证明，构造，利用导数求得函数的单调性，结合函数的单调性，即可求解.
解答过程：对于A中，由函数，可得，
因为是的极大值点，所以，解得，
所以，可得，
当时，，单调递增；当时，单调递减；
当时，单调递增，
所以函数的极大值点为，极小值点为0，所以A正确；
对于B中，当时，，则，
因为在区间上单调递减，所以，所以B错误；
对于C中，由，且当时，，当时，，
可得的图象，如图所示，
当时，有3个相异零点，所以C正确；
对于D中，因为，要证，只需证明，
由在上单调递增，需证明，
即当时，证明，
构造函数（其中），
则，
当时，，则在上单调递增，
所以，即当时，，
所以，所以，所以D正确．
故选：ACD.
第Ⅱ卷（非选择题）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知数列满足，若，则___________．
答案：
解析：
思路：根据数列的递推公式可得数列是周期为3的周期数列，根据数列的周期性即可得解．
解答过程：
，
则是周期为3的周期数列，
又，
.
13. 已知等比数列的各项均为正数，且，则__________.
答案：9
解析：
思路：应用对数运算结合等比数列下标和性质计算求解.
解答过程：因为lg3a1+lg3a2+⋯+lg3a10=10 ，所以lg3a1a2⋯a10=lg3a1a105=5lg3a1a10=10 ，所以a1a10=9 ，
因为是等比数列，则a5a6=a1a10=9 .
14. 已知函数的导函数为，定义方程的实数根叫做函数的“新不动点”．设，则在区间上的“新不动点”为______．
答案：##
解析：
思路：根据“新不动点”的定义列方程求解即可.
解答过程：由，得，
由，得，
，得，
所以，
因为，所以，
所以，得，
所以在区间上的“新不动点”为.
故
四､解答题：本题共5小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数．
（1）若，求函数的极值；
（2）若，求函数的单调区间．
答案：（1）极大值为；极小值为
（2）单调递增区间为和；单调递减区间为
解析：
思路：（1）将代入并求导，再根据导数的符号求得函数的单调性，从而找出极值点，进而求出函数的极值；
（2）将代入并求导，从而根据导数的符号求得函数的单调性，进而得到函数的单调区间．
（1）若，则fx=2x3−9x2+6 ，
则f′x=6x2−18x=6xx−3，
令，则或，
当时，，即在上单调递增；
当时，，即在上单调递减；
当时，，即在上单调递增，
所以在处取得极大值，且极大值为；
在处取得极小值，且极小值为f3=−21 ．
（2）若，则fx=2x3−12x2+18x+6 ，
则f′x=6x2−24x+18=6x−1x−3，
令，则或，
当时，，即在上单调递增；
当时，，即在上单调递减；
当时，，即在上单调递增，
所以函数的单调递增区间为和；单调递减区间为．
16. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点，直线与轴交于点，且与椭圆交于，两点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求的值.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）利用椭圆的性质求出基本量，进而得到方程即可.
（2）利用两点间距离公式结合韦达定理求解即可.
（1）因为椭圆的焦点在轴上，且经过点，
所以，而离心率为，则，解得，
可得，故椭圆方程为.
（2）如图，作出符合题意的图形，设，
令，可得，则，且，
联立方程组，可得，
由韦达定理得，，
由两点间距离公式得
，同理可得，
则.
17. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求二面角的正弦值．
答案：（1）证明见解析
（2） （3）
解析：
思路：（1）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，再求平面的法向量，证明即可求证；
（2）结合（1）计算，再利用向量夹角和线面角之间的关系即可得解；
（3）先计算平面的法向量，再结合（2）计算，最后利用向量夹角和二面角的平面角之间的关系，及同角三角函数的平方关系即可得解．
（1）以点为坐标原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如下图，

由正方体的棱长为2，且和分别为和的中点，
则，，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则A1C1⋅n=2x+2y=0EC1⋅n=y+2z=0，令，则，，即，
又，则，
又平面，故平面．
（2）由（1）可知，平面的法向量为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为．
（3）由（1）可知，，平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则m⋅AA1=2c=0m⋅A1C1=2a+2b=0，令，则，，则，
所以，
则二面角的正弦值为1−cs2m,n=13．
18. 已知数列中，，满足.
（1）证明数列是等比数列；
（2）设，求的通项公式；
（3）设，的前项和记为，试证明.
答案：（1）证明见解析
（2） （3）证明见解析
解析：
思路：（1）对已知递推公式变形构造目标数列，通过等比数列定义验证公比为常数、首项非零，完成证明；（2）利用第一问的结论求出的通项，代入的对数式化简，直接得到​的通项公式；（3）写出通项后用错位相减法求出前项和，通过放缩证明不等式成立.
（1）由已知递推式得，变形得an+1+12=3an+1+12=3an+12，
首项a1+12=1+12=32≠0 ，因此（常数），
故数列是首项为​、公比为的等比数列；
（2）由（1）的结论得：an+12=32⋅3n−1=3n2，​ 整理得，
所以bn=lg⁡32an+1=lg⁡33n=n 故的通项为；
（3）由题意得cn=bn2an+1=n3n​，
前项和Sn=13+232+333+⋯+n3n①，13Sn=132+233+⋯+n−13n+n3n+1②，
①②得：23Sn=13+132+133+⋯+13n−n3n+1，
即23Sn=131−13n1−13−n3n+1=121−13n−n3n+1
整理得：因为，所以，
因此Sn=34−2n+34·3n