2025--2026学年四川省南江中学高一下册期中检测数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年四川省南江中学高一下册期中检测数学试题 [含答案]，共4页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知复数，则复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知向量，则向量在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
4. 根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ）
A. ，，，有两解
B. ，，，有一解
C. ，，，有一解
D. ，，，无解
5. 在平行四边形ABCD中，为AB中点，为BC上一点，且，则（ ）
A. B. C. D.
6. 在中，，，，为边AC上一点，且BD平分，则（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，设，线段DE与BC交于点，且，则的最小值为（ ）
A. 8B. 9C. D.
8. 将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列代数式的值为的是（ ）
A. cs275°−sin275° B. sin75°cs75°
C. D. 4sin10°sin50°sin70°
10. 函数的部分图象如图所示，，是相邻的两个零点，则（ ）
A.
B.
C. 函数的图象关于直线对称
D. 若函数在区间上至少有10个零点，则实数t的最小值为
11. 平面直角坐标系中，为坐标原点，点，，，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 当时，
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数的值域为______
13. 水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ》中提到的由三体文明使用强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴．如图所示，水滴是由线段，和圆的优弧围成，其中，恰好与圆弧相切．若圆弧所在圆的半径为2，点到圆弧所在圆圆心的距离为4，则该封闭图形的面积为________．
14. 如图，给定两个长度为1的平面向量和，其夹角为，点在以为圆心的圆弧上变动，若，则的最大值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知向量，满足，，，，的夹角为.
（1）；
（2）若与的夹角为钝角，求实数k的取值范围.
16. 在△中，.
（1）求；
（2）若，且△的面积为，求的值.
17. 已知函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为．
（1）求的值和在区间上的单调递减区间；
（2）当时，关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围．
18. 已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足.
（1）求证：；
（2）若，求的取值范围；
（3）若，求三角形面积的取值范围．
19. 人工智能和大模型的领域内，文字、图象等信息常常是由向量表示的，通过计算向量之间的相似度，就可以说明两段文字或两张图片所表达内容的关联度．非零向量之间的相似度的一种定义为．
（1）菱形ABCD中，，动点在直线CD上．
（ⅰ）当时，求；
（ⅱ）求的取值范围．
（2）在信息处理的过程中，有时为了增加的相似度，会选取合适的正实数，将调整为后再纳入模型计算，证明：对任意不共线的向量，及任意正实数，总有．
数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数，则复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：先化简复数,再根据虚部定义得结果.
解答过程：因为,所以复数的虚部为，选A.
方法提示：本题考查复数除法运算以及虚部定义，考查基本求解能力，属基础题.
2. 已知向量，则向量在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：
解答过程：向量在上的投影向量为.
3. 已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：由二倍角余弦公式可知，
即.
4. 根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ）
A. ，，，有两解
B. ，，，有一解
C. ，，，有一解
D. ，，，无解
答案：C
解析：
思路：利用正弦定理和余弦定理依次判断A，B，C，D即可.
解答过程：A中，因为，所以，
又，所以，即只有一解，故A错误；
B中，因为，所以，
且，所以，故有两解，故B错误；
C中，因，所以，
又，所以角B只有一解，故C正确；
D中，因为,,，所以，有解，故D正确.
故选：C.
5. 在平行四边形ABCD中，为AB中点，为BC上一点，且，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：因为是的中点，，
因为，所以，又，
由题意得，故B正确.
6. 在中，，，，为边AC上一点，且BD平分，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：
因为BD平分，所以，
又因为，所以，，
在中，,
在中，，
所以．
7. 如图，设，线段DE与BC交于点，且，则的最小值为（ ）
A. 8B. 9C. D.
答案：D
解析：
思路：根据向量的线性运算，结合向量共线定理可得，即可利用基本不等式求解最值.
解答过程：解：由，，又，故，所以.
因为，所以，又三点共线，
所以.
因此，当，时，，
当且仅当，即时取等号，所以最小值为.
8. 将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：先由三角函数图象平移规则求得函数，再利用正弦曲线的零点即可求得的取值范围
解答过程：将函数的图象先向右平移个单位长度，得到
再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，
得到函数
由函数在上没有零点，则，则
由，可得
假设函数在上有零点，
则，则
由，可得
又，则
则由函数在上没有零点，且，可得
故选：A
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列代数式的值为的是（ ）
A. cs275°−sin275° B.
C. D.
答案：BC
解析：
思路：本题考查三角恒等变换的应用，需结合二倍角公式、同角三角函数基本关系，逐一计算各选项代数式的值，判断是否等于.
解答过程：选项A：由二倍角余弦公式，
得cs275°−sin275°=cs150°=−32≠14，A错误.
选项B：由二倍角正弦公式，
得sin75°cs75°=12sin150°=12×12=14，B正确.
选项C：由同角三角函数关系，
代入得tan15°1+tan215°=tan15°cs215°=sin15°cs15°=12sin30°=14，C正确.
选项D：结合诱导公式和二倍角正弦公式计算：4sin10°sin50°sin70°=4sin10°cs10°cs20°cs40°cs10°=sin80°2cs10°=12≠14，D错误.
10. 函数的部分图象如图所示，，是相邻的两个零点，则（ ）
A.
B.
C. 函数的图象关于直线对称
D. 若函数在区间上至少有10个零点，则实数t的最小值为
答案：AD
解析：
思路：借助图象结合余弦型函数性质可得该函数解析式，即可得A；借助零点定义计算可得B；借助余弦函数对称轴代入检验可得C；利用余弦型函数零点计算可得D.
解答过程：由图可得，解得，
且有，则，即，
则，解得，
又，则，故；
对A：由上知，，故A正确；
对B：令，则，
则或，
即或，
则或，故B错误；
对C：当时，，
由不是函数的对称轴，
故不是函数的对称轴，故C错误；
对D：当时，，
令，
由B得，或，
由函数在区间上至少有10个零点，
则，解得，
故实数t的最小值为，故D正确.
11. 平面直角坐标系中，为坐标原点，点，，，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 当时，
C. D.
答案：ACD
解析：
解答过程：对于A，，，所以，A正确；
对于B，，当时，，B错误；
对于C，，
因为，
所以，
因为向量夹角范围为，所以，C正确；
对于D，，
所以
，
令，则，
所以，故，D正确．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数的值域为______
答案：
解析：
解答过程：，由，
得，令，则，
，函数在上单调递减，
当时，；
当时，，故函数的值域为.
13. 水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ》中提到的由三体文明使用强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴．如图所示，水滴是由线段，和圆的优弧围成，其中，恰好与圆弧相切．若圆弧所在圆的半径为2，点到圆弧所在圆圆心的距离为4，则该封闭图形的面积为________．
答案：;
解析：
思路：作出辅助线，得到，，利用扇形面积公式和三角形面积公式得到答案.
解答过程：取优弧所在圆的圆心，连接，，则⊥，⊥，
则，所以，则，
，
故优弧对应的圆心角为，对应的扇形面积为，
而，
所以该封闭图形的面积为.
故答案为.
14. 如图，给定两个长度为1的平面向量和，其夹角为，点在以为圆心的圆弧上变动，若，则的最大值是______．
答案：2
解析：
思路：以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，结合已知条件得出点坐标，进而得出向量的坐标，根据构建方程组得出与的关系，进而得出的三角函数表示，最后利用三角函数性质求出的最大值．
解答过程：以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系如下：
由已知条件可知，，，设，，则，
，
，
，
，
，
，
，
故2．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知向量，满足，，，，的夹角为.
（1）；
（2）若与的夹角为钝角，求实数k的取值范围.
答案：（1）；
（2）且.
解析：
思路：（1）利用数量积的定义及运算律求解.
（2）利用向量的夹角公式及向量共线列式求解.
（1）由，，，的夹角为，得，
所以.
（2）由与的夹角为钝角，得，且与不共线，
由，得，
即，解得；
由与共线，不共线，得，解得，
因此由与不共线，得，则且，
所以的取值范围为且.
16. 在△中，.
（1）求；
（2）若，且△的面积为，求的值.
答案：（1）
（2）2
解析：
思路：（1）利用正弦定理边化角求解.
（2）利用三角形面积公式求解.
（1）在△中，由及正弦定理，得3sinBcsA−sinAsinB=0 ，
而sinB>0 ，则，又，所以.
（2）由及的面积为，得S△ABC=12bcsinA=12b·2·32=3，解得，
因此，即为正三角形，所以.
17. 已知函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为．
（1）求的值和在区间上的单调递减区间；
（2）当时，关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围．
答案：（1）
（2）解析：
（1）由相邻对称轴间距为，得周期.
由，且得，即.
令， 解得.
结合定义域，对整数分类讨论：
取时，得区间，该区间完全包含在内，符合要求；
取时，得区间，与无交集，舍去；
取时，得区间，与无交集，舍去。
同理易得取非零整数时， 单调区间均与无交集.
综上所述，在上的单调递减区间为.
（2）方程可化为， 即函数与直线的图象有个不同交点，时， .
令， 在有最大值，最小值.
故.
如图所示：
当时，一个函数值对应个不同；
当或时，一个函数值对应个.
要使有个不等实根，需满足， 解得.
18. 已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足.
（1）求证：；
（2）若，求的取值范围；
（3）若，求三角形面积的取值范围．
答案：（1）证明见解析；
（2） （3）
解析：
思路：（1）利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，结合三角形内角和与三角恒等变换证明.
（2）根据锐角三角形限制确定角的取值范围，通过正弦定理将转化为关于的三角函数，推导三倍角公式化简后，用单调性定义判断函数单调性，进而求得的取值范围.
（3）将三角形面积转化为关于角的三角函数，用单调性定义判断单调性，进而求得面积的取值范围.
（1）∵ ，由正弦定理（为外接圆半径），
得，，
代入得，即.
∵ 在中，A=π−B−C ，∴ ，
∴ 代入上式得，
整理得，即.
∵ 为锐角三角形，∴ ，，∴ −π2