2025--2026学年四川凉山州西昌市高一下册期中数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年四川凉山州西昌市高一下册期中数学试题 [含答案]，共4页。试卷主要包含了单选题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知（其中是虚数单位），则的共轭复数为（ ）
A. 2B. 2C. D.
2. 下列各组向量中，能作为基底的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
3. 在中，已知则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知向量，，若与共线，则的值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
5. 在中，，，，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知平面向量，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
7. 某公司要测量一水塔的高度，测量人员在地面选择了，两个观测点，且，，三点在同一直线上，如图所示，在处测得该水塔顶端的仰角为，在处测得该水塔顶端的仰角为.若，，则水塔的高度为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知G为的重心，过G的直线与AB，AC边分别交于M，N点，若，，则的最小值为（ ）
A. B. C. 2D. 4
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，有错选得0分；若本题正确答案为2项，则选对1个得3分；若本题正确答案为3项，则选对1个得2分，选对2个得4分.
9. 下列各式的值为的是（ ）
A. B. C. D.
10. 在中，（ ）
A. 若，则
B. 若，则为等腰三角形
C. 若，则为钝角三角形
D. 若是锐角，，则为锐角三角形
11. 已知复数在复平面上对应的点为，复数满足，则下列结论中正确的是（ ）.
A. 点的坐标为B.
C. 的最大值为D. 的最小值为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设为虚数单位，则_________．
13. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则角A的大小为______．
14. 函数，设为函数的最小正周期，，且函数在上单调递增，则的取值范围为_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）已知，，求的值；
（2）已知，，求，的值．
16. 已知向量，，．
（1）若，求；
（2）若，求与夹角的余弦值．
17. 在中，角A，B所对的边长分别为a，b，若．
（1）求角A的大小；
（2）若为锐角三角形，，求面积S的最大值．
18. 已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中点A为图象上的最高点，点B，C为图象与x轴的两个相邻交点，且，．
（1）求的解析式；
（2）当时，求的值域；
（3）将函数的图像向右平移后得到，若恒成立，求m的取值范围．
19. 设Ox、Oy是平面内相交成的两条射线，、分别是与Ox、Oy同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为仿射坐标系，仿射坐标系中，对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数使得，我们把有序实数对叫做向量的仿射坐标，记作．已知在如图所示的仿射坐标系中，B，C分别在x轴、y轴正半轴上，点D、F分别为OC、BC的中点，且．
（1）若仿射坐标系中，，请用与的坐标表示；
（2）在仿射坐标系中，若，
①求与的仿射坐标；
②求．
（3）在仿射坐标系中，若，，，求的最大值．
数学
满分为150分，考试时间120分钟.
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知（其中是虚数单位），则的共轭复数为（ ）
A. 2B. 2C. D.
答案：A
解析：
思路：根据复数的除法运算化简复数，再求共轭复数.
解答过程：，则.
2. 下列各组向量中，能作为基底的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
答案：D
解析：
解答过程：若两个向量、共线，则有，
而基底要求两个不共线的向量构成，
对于A，零向量与任何向量都共线，因此不能作为基底，故A错误；
对于B，，两向量共线，不能作为基底，故B错误；
对于C，，两向量共线，不能作为基底，故C错误；
对于D，，两向量不共线，可以作为基底，故D正确．
3. 在中，已知则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：利用余弦定理，通过计算即可得到答案.
解答过程：因为在中有，由余弦定理得：
所以
故选：B
方法提示：本题考查余弦定理的简单运用，属基础题.
4. 已知向量，，若与共线，则的值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
答案：D
解析：
解答过程：，
因为与共线，故，故.
5. 在中，，，，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：直接根据三角形的面积公式计算即可.
解答过程：依题意，在中，，，，
则的面积为.
故选：C.
6. 已知平面向量，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：根据投影向量的定义计算即得.
解答过程：∵，∴，
所以在上的投影向量为.
故选：A.
7. 某公司要测量一水塔的高度，测量人员在地面选择了，两个观测点，且，，三点在同一直线上，如图所示，在处测得该水塔顶端的仰角为，在处测得该水塔顶端的仰角为.若，，则水塔的高度为（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
思路：在中，结合正弦定理可得，进而在中解三角形即可求出结果.
解答过程：由题意可知：，在中，结合正弦定理可得，又因为，所以，在中，，则，
故选：B
8. 已知G为的重心，过G的直线与AB，AC边分别交于M，N点，若，，则的最小值为（ ）
A. B. C. 2D. 4
答案：B
解析：
思路：结合向量线性运算用表示，再利用共线向量定理的推论及基本不等式“1”的妙用求出最小值.
解答过程：由G为的重心，得，则，
整理得，而，
因此，而共线，则，
于是，
当且仅当时取等号，所以的最小值为.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，有错选得0分；若本题正确答案为2项，则选对1个得3分；若本题正确答案为3项，则选对1个得2分，选对2个得4分.
9. 下列各式的值为的是（ ）
A. B. C. D.
答案：AB
解析：
思路：根据题意结合三角恒等变换逐项分析运算即可判断.
解答过程：对于选项A：，故A正确；
对于选项B：，故B正确；
对于选项C：，故C错误；
对于选项D：，故D错误；
故选：AB.
10. 在中，（ ）
A. 若，则
B. 若，则为等腰三角形
C. 若，则为钝角三角形
D. 若是锐角，，则为锐角三角形
答案：ACD
解析：
思路：由正弦定理求得，得到，可判定A正确；由，得到或，得到为等腰或直角三角形，可判定B错误；由，结合，得到，判定C正确；由，得到，得到，得到，可判定D正确.
解答过程：对于A，设的外接圆的半径为，
若，由正弦定理得，则，所以，所以A正确；
对于B中，因为，可得，且，
若，可得或，即或，
所以为等腰或直角三角形，所以B错误；
对于C中，因为，可得，
若，则，可得，即为钝角，
所以为钝角三角形，所以C正确；
对于D中，因为，可得
若，可得，
由函数在上为单调递增函数，所以，即，
又因为，则，所以为锐角三角形，所以D正确.
故选：ACD.
11. 已知复数在复平面上对应的点为，复数满足，则下列结论中正确的是（ ）.
A. 点的坐标为B.
C. 的最大值为D. 的最小值为
答案：ABC
解析：
思路：根据复数的几何意义，以及共轭复数的定义，即可判断AB；根据复数减法的几何意义确定复数对应的点的轨迹，再利用数形结合求两点间距离的最值，即可判断CD.
解答过程：由在复平面内对应的点为，故A正确；
又，所以，故B正确；
设，，所以，
所以，所以复数在复平面内对应的点，在以圆心为圆心，半径为的圆上，
又，
所以表示的是复数和在复平面内对应的两点之间的距离，即，
又，
所以的最大值为，故C正确；
所以的最小值为，故D错误；
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设为虚数单位，则_________．
答案：
解析：
解答过程：由题可得：，
.
13. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则角A的大小为______．
答案：##
解析：
思路：余弦定理结合已知条件直接求解即可．
解答过程：解：因为，
所以，
因此，
又因为，所以.
故答案为:
14. 函数，设为函数的最小正周期，，且函数在上单调递增，则的取值范围为_________．
答案：
解析：
思路：先利用两角和的正弦公式对函数化简，得到，再由求出​，最后根据正弦函数的递增区间列出不等式求解即得的取值范围．
解答过程：因
，
则，于是，即，
因为，所以，因此，
由，得，
又因函数在上单调递增，则，解得，
又，所以．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）已知，，求的值；
（2）已知，，求，的值．
答案：（1）
（2），
解析：
（1）由，，得，
所以．
（2），
．
16. 已知向量，，．
（1）若，求；
（2）若，求与夹角的余弦值．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据向量平行的充要条件，求出，再利用向量数量积的坐标运算求解；
（2）根据两向量垂直数量积为求出，再利用向量夹角余弦值的公式求解；
（1）因为，所以，即，所以
所以；
（2）因为，所以，所以，
所以，而，
所以.
17. 在中，角A，B所对的边长分别为a，b，若．
（1）求角A的大小；
（2）若为锐角三角形，，求面积S的最大值．
答案：（1）或；
（2）.
解析：
思路：（1）利用正弦定理求解.
（2）利用正弦定理、三角形面积公式，结合和差角的正弦公式、二倍角的余弦公式求出最大值.
（1）在中，由和正弦定理，可得，
解得，而，
所以或.
（2）由（1）及为锐角三角形，得，，
令，，
由正弦定理得，则，
因此的面积
，
由，得，
则当时，，
所以面积S的最大值为.
18. 已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中点A为图象上的最高点，点B，C为图象与x轴的两个相邻交点，且，．
（1）求的解析式；
（2）当时，求的值域；
（3）将函数的图像向右平移后得到，若恒成立，求m的取值范围．
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）直接根据图像即可求得的解析式；
（2）直接求出的范围，再根据这个范围求解出对应的值域即可；
（3）求出的解析式，再求出的解析式及其最大值即可．
（1）由图像可得，，解得，
所以，故，
将代入可得，解得：，
结合，得，所以．
（2）当时，，
当，即时，，此时，
当，即时，，
此时，因此，值域为．
（3）由题意可得，
所以，
易知的最大值为，所以．
19. 设Ox、Oy是平面内相交成的两条射线，、分别是与Ox、Oy同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为仿射坐标系，仿射坐标系中，对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数使得，我们把有序实数对叫做向量的仿射坐标，记作．已知在如图所示的仿射坐标系中，B，C分别在x轴、y轴正半轴上，点D、F分别为OC、BC的中点，且．
（1）若仿射坐标系中，，请用与的坐标表示；
（2）在仿射坐标系中，若，
①求与的仿射坐标；
②求．
（3）在仿射坐标系中，若，，，求的最大值．
答案：（1）
（2）①，；②
（3）解析：
思路：（1）利用仿射坐标的定义和向量数量积的运算律进行求解；
（2）①根据中点、向量的线性运算分别求出与，写出对应的仿射坐标；
②将①问求出的坐标代入（1）问的公式求解；
（3）利用（1）问求出，再利用正弦定理、辅助角公式、三角函数的性质求解.
（1）因为，，所以，
所以
；
（2）①由题可知，
因为F为BC的中点，所以
所以的仿射坐标为，
，
所以的仿射坐标为；
②由（1）可知
（3）由（2）知，，
所以，，
，
在中，根据正弦定理得：，
即
设，所以，
所以
，其中，
所以的最大值为.