2025--2026学年四川达州市达川中学高一下册期中考试数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年四川达州市达川中学高一下册期中考试数学试题 [含答案]，共4页。试卷主要包含了单项选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 的虚部为（ ）
A. B. 0C. 1D. 6
2. 已知向量，，则（ ）
A. B. 1C. 3D.
3. 已知向量，若，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
4. 已知向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知函数，则下列说法中不正确的是（ ）
A. 的最小正周期是
B. 的图象关于直线对称
C. 在区间上单调递增
D. 将的图象向左平移个单位得到的图象，则为偶函数
6. 已知向量，，，若，则（ ）
A. B. C. 0D. 1
7. 已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
8. 在中，，，，是的外接圆上的一点，若，则的最大值是（ ）
A. 1B. C. D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分）
9. 已知复数，，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则的实部为25B. 若，则的虚部为
C. 若为实数，则D. 若为纯虚数，则
10. 如图，是半径为1的圆的两条不同的直径，，则（ ）
A.
B.
C. 满足的实数与的和为定值4
D.
11. 已知的内角的对边分别为，则能判定一定是等腰三角形的为（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知，则＝______.
13. 如图，在四边形中，，，，，，则的面积为__________．
14. 如图，在中，为边上的中线，为的中点，若，则______．

四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出数学语言说明、证明过程、演算步骤）
15. 可知．
（1）求的值；
（2）求的值．
16. 已知平面内三点，，.
（1）若三点共线，求的值.
（2）当时，线段上的点满足，求的值.
17. 在中，已知内角所对的边分别为，且满足.
（1）求角；
（2）若的面积为，求的周长.
18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知点D为线段上的一点，为的平分线，.
（1）若，，求的值；
（2）当时，求的最小值.
19. 已知，，，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若锐角的内角的对边分别为，且，，
（ⅰ）求的值．
（ⅱ）求面积的取值范围．
数学
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求）
1. 的虚部为（ ）
A. B. 0C. 1D. 6
答案：C
解析：
思路：根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出.
解答过程：因为，所以其虚部为1，
故选：C.
2. 已知向量，，则（ ）
A. B. 1C. 3D.
答案：A
解析：
解答过程：由，得，
所以.
3. 已知向量，若，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
答案：D
解析：
思路：根据向量垂直的坐标运算可求的值.
解答过程：因为，所以，
所以即，故，
故选：D.
4. 已知向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：由与的夹角为钝角得，且不共线，再按照向量的坐标运算求解即可.
解答过程：因为向量，，且与夹角为钝角，
由上述条件得，，且，不反向，
由得，，.
当，共线时有，，.此时，反向，
因此实数的取值范围.
故选:D.
5. 已知函数，则下列说法中不正确的是（ ）
A. 的最小正周期是
B. 的图象关于直线对称
C. 在区间上单调递增
D. 将的图象向左平移个单位得到的图象，则为偶函数
答案：C
解析：
思路：根据辅助角公式对进行化简，结合正弦型函数的周期性、对称性、单调性、奇偶性及函数图形平移逐项判断即可.
解答过程：f(x)=sin2x+cs2x=222sin2x+22cs2x=2sin2x+π4.
对于A：的最小正周期为，A正确.
对于B：令，，则，，
即的对称轴为，.
当时，，B正确.
对于C：令，，则−3π8+kπ≤x≤π8+kπ ，，
所以的单调递增区间为−3π8+kπ,π8+kπ，，C错误.
对于D：g(x)=2sin2x+π8+π4=2sin2x+π2=2cs2x ，为偶函数，D正确.
6. 已知向量，，，若，则（ ）
A. B. C. 0D. 1
答案：B
解析：
思路：根据向量共线的充要条件得解即可.
解答过程：因为，，
所以，
因为，
所以，解得，
故选：B
7. 已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：设两个向量的夹角为，则，
所以向量在向量方向上的投影数量为，
所以投影向量为.
8. 在中，，，，是的外接圆上的一点，若，则的最大值是（ ）
A. 1B. C. D.
答案：B
解析：
思路：利用余弦定理与勾股定理得是直角三角形，进而可以建立直角坐标系，根据点的坐标得向量的坐标，由向量的坐标运算可得的表达式，进而利用三角函数求最值即可.
解答过程：因为在中，，，，
由余弦定理得，
所以，则，所以，
故以AC的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
，
易得，则，，
设的坐标为，则，
又，
所以，
则，得，，
所以，
当且仅当时，等号成立，即的最大值为.
故选：B.
方法提示：关键点睛：本题解决的关键是建立直角坐标系，利用向量的线性运算法则得到的关系式，从而利用三角函数的性质得解.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全得部分分，有选错的得0分）
9. 已知复数，，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则的实部为25B. 若，则的虚部为
C. 若为实数，则D. 若为纯虚数，则
答案：AC
解析：
思路：应用复数定义分别判断实部及虚部判断A，B，再根据复数类型计算求参判断C，D.
解答过程：若，则的实部为25，虚部为-5，A正确，B错误.
若为实数，则，得，C正确.
若为纯虚数，则得，D错误.
故选：AC.
10. 如图，是半径为1的圆的两条不同的直径，，则（ ）
A.
B.
C. 满足的实数与的和为定值4
D.
答案：BCD
解析：
思路：根据所给线段长度关系判断A，建立平面直角坐标系，利用坐标运算判断B，根据三点共线判断C，利用向量的坐标运算求向量夹角判断D.
解答过程：，
，故A错误；
以为原点，以为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系，
则，设，则，
则，
，故B正确；
，
三点共线，，即，故C正确.
，
，
，
，
，
，故D正确.
11. 已知的内角的对边分别为，则能判定一定是等腰三角形的为（ ）
A. B.
C. D.
答案：ABD
解析：
思路：利用正余弦定理、和差公式逐一分析即可.
解答过程：对A，由正弦定理将边化角得，
即，所以为等腰三角形；
对B，因为，
所以，
所以，整理得，
又，所以，即，所以为等腰三角形；
对C，，
所以，整理得，
所以或，即是直角三角形或等腰三角形；
对D，，
当且仅当，即时等号成立，又，所以只能成立，
此时为等腰三角形.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知，则＝______.
答案：##
解析：
思路：由复数的乘除法运算化简，即可求出，即可得出答案.
解答过程：因为，
所以，所以.
故
13. 如图，在四边形中，，，，，，则的面积为__________．
答案：
解析：
思路：根据正弦定理、余弦定理、同角的三角函数关系及三角形面积公式求解即可.
解答过程：在中，，所以.
由正弦定理得，，所以.
在中，由余弦定理得，
又，所以.
所以.
14. 如图，在中，为边上的中线，为的中点，若，则______．

答案：##
解析：
思路：利用向量加法和减法的运算，求得的表达式.
解答过程：．
故．
故答案为.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出数学语言说明、证明过程、演算步骤）
15. 可知．
（1）求的值；
（2）求的值．
答案：（1）；
（2）.
解析：
思路：（1）由正切函数二倍角公式及两角和正切公式即可求解；
（2）由正弦函数、余弦函数二倍角公式，及弦化切即可求解.
（1），
所以；
（2）由正弦、余弦二倍角公式得：
．
由于，则，
所以，
即.
16. 已知平面内三点，，.
（1）若三点共线，求的值.
（2）当时，线段上的点满足，求的值.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据题意可得，，结合向量共线的坐标表示运算求解即可；
（2）设，可求，，根据求，进而可求数量积.
（1）因为，，，则，，
由三点共线得，则，解得.
（2）当时，点，
设，则，，
因为，则，解得，即，
则，且，所以.
17. 在中，已知内角所对的边分别为，且满足.
（1）求角；
（2）若的面积为，求的周长.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）利用正弦定理进行边角转化，然后结合三角函数的公式求解即可；
（2）利用三角形的面积公式和余弦定理求解即可.
（1）由及正弦定理，
可得，
结合，
由，
得，
化简可得.
，
，即.
又.
（2）由的面积为，结合（1）可得，
在中，由余弦定理可得，
，
或（舍去），
的周长为.
18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知点D为线段上的一点，为的平分线，.
（1）若，，求的值；
（2）当时，求的最小值.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）先通过正弦定理将边的关系转化为角的关系，求出，再在中用正弦定理求出，最后用二倍角公式计算
（2）利用三角形面积关系得到与、的关系，再结合余弦定理和基本不等式求最小值.
（1）由正弦定理，将化为，
整理得：
因为，所以，即.
由于，，得，则.
设，在中，由正弦定理，
代入、，得.
因为是角平分线，，由二倍角公式.
（2）因为是角平分线，，.
由面积关系，得：
化简可得：即.
在中，由余弦定理，代入和，
得：
将代入上式：
整理得：
由基本不等式，得，
代入上式：
当且仅当时取等号，故的最小值为.
19. 已知，，，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若锐角的内角的对边分别为，且，，
（ⅰ）求的值．
（ⅱ）求面积的取值范围．
答案：（1）．
（2）（ⅰ）；（ⅱ）
解析：
思路：（1）由向量数量积的坐标运算，结合降幂公式和辅助角公式化简函数解析式，整体代入法求单调递增区间；
（2）（ⅰ）由，得，由正弦定理可知；
（ⅱ）由正弦定理和面积公式得，利用△ABC为锐角三角形，得角的范围，由正弦函数的性质，得△ABC面积的取值范围．
（1），
由f（x）的图象上相邻两条对称轴之间的距离为，有，得，
所以．
令，解得，
所以函数的单调递增区间为．
（2）（ⅰ）已知，由，得，
由正弦定理，得，，
所以；
（ⅱ）由（ⅰ）可知，，
，
由△ABC是锐角三角形，有，得，，
则，所以，
即面积的取值范围是．