2025--2026学年四川达州市达川中学高二下册期中考试数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年四川达州市达川中学高二下册期中考试数学试题 [含答案]，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若，则（ ）
A. 6B. 7C. 12D. 13
2. 若，则（ ）
A. B. 6C. 3D. -3
3. 用数字1，2，3，4组成没有重复数字的三位数，则这些三位数中是3的倍数的有（ ）
A. 6个B. 9个C. 12个D. 24个
4. 下列运算正确的个数是（ ）
①； ②； ③； ④.
A. 1B. 2C. 3D. 4
5. 某次灯谜大会共设置6个不同的谜题，分别藏在如图所示的6只灯笼里，每只灯笼里仅放一个谜题.并规定一名参与者每次只能取其中一串最下面的一只灯笼并解答里面的谜题，直到答完全部6个谜题，则一名参与者一共有（ ）种不同的答题顺序.
A. 60B. 75C. 12D. 720
6. 2160有多少个不同的正因数（ ）
A. 40B. 36C. 45D. 11
7. 若，则下列结论可能成立的是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列等式正确的是（ ）
A. B.
C. ！D.
10. 已知函数与的图象如图所示，则下列结论正确的为（ ）
A. 曲线是的图象，曲线是的图象
B. 曲线是的图象，曲线是的图象
C. 不等式组的解集为
D. 不等式组的解集为
11. 已知函数有唯一零点，则（ ）
A. B.
C. 函数有三个极值点D. 函数有唯一极值点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则的可能取值是________.
13. 如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（ 4种颜色全部使用 ），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有 _______ 种.（用数字作答）
14. 若关于的不等式在上恒成立，则的最大值为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）计算
（2）解不等式：
（3）求证：，并计算：
16. 已知函数在处取得极值.
（1）求实数的值；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
17. 8个人按如下方式排队，计算排列数
（1）8人排成前后两排，每排4人，其中甲乙在前排，丙在后排，共有多少排法
（2）8人排成一排，其中甲与乙相邻，甲乙与丙不相邻共有多少排法
（3）8人排成一个圆圈，共有多少种排法
18. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）若有极小值，且，求a的取值范围.
19. 已知函数，.
（1）当时，不等式恒成立，求实数的值；
（2）设不同正数m，n满足，证明.
数学
（满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若，则（ ）
A. 6B. 7C. 12D. 13
答案：C
解析：
思路：排列数公式为，把题中的和分别展开后约去公共因子，就能直接求出.
解答过程：由排列数公式可得
因为题目给出所以
又因为排列数有意义时，
故两边同时除以 ，得
所以故选C.
2. 若，则（ ）
A. B. 6C. 3D. -3
答案：C
解析：
思路：由导数的定义可得；
解答过程.
故选：C.
3. 用数字1，2，3，4组成没有重复数字的三位数，则这些三位数中是3的倍数的有（ ）
A. 6个B. 9个C. 12个D. 24个
答案：C
解析：
思路：依题意可知由和组成的三位数是的倍数，再由排列数公式计算可得.
解答过程：从数字中选择个数，有；；；共四种情况，
其中由和组成的三位数是的倍数，
所以这些三位数中是3的倍数的有个.
故选：C.
4. 下列运算正确的个数是（ ）
①； ②； ③； ④.
A. 1B. 2C. 3D. 4
答案：A
解析：
思路：直接利用初等函数的导数公式运算判断得解.
解答过程：①，所以该运算错误；
②，所以该运算错误；
③，所以该运算正确；
④，所以该运算错误.
所以正确的个数为1.
故选：A.
方法提示：易错点睛：，因为是一个实数，所以要代公式,不能代公式. 所以代导数公式时，要看清函数的类型.
5. 某次灯谜大会共设置6个不同的谜题，分别藏在如图所示的6只灯笼里，每只灯笼里仅放一个谜题.并规定一名参与者每次只能取其中一串最下面的一只灯笼并解答里面的谜题，直到答完全部6个谜题，则一名参与者一共有（ ）种不同的答题顺序.
A. 60B. 75C. 12D. 720
答案：A
解析：
思路：定序问题，使用倍缩法，用全排列除以内部排序即可.
解答过程：首先将6只灯笼全排，即，
因为每次只能取其中一串最下面的一只灯笼内的谜题，每次取灯的顺序确定，
即除以内部排序即可，故取谜题的方法有.
6. 2160有多少个不同的正因数（ ）
A. 40B. 36C. 45D. 11
答案：A
解析：
解答过程：，
每个正因数可以表示为：，
，，.
所以2160的正因数个数为：5×4×2=40，故选项A正确.
7. 若，则下列结论可能成立的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：分析化简不等式，构造新函数，求导判断单调性，根据单调性逐项判断不等式是否正确即可.
解答过程：依题意得，则，
令，则.
因为，求导得，
易得在上递减，在上递增，
当，时，，即，B错误，D正确.
当，时，，即，A和C错误.
故选：D.
8. 已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：先看函数的性质,由可知所以是奇函数，再求导由可得在上单调递增，这样就可以利用“奇函数 + 单调递增”把原不等式转化成关于的不等式，再求最值.
解答过程：因为 是奇函数，所以
原不等式
可化为
因为，所以，
因为，，所以，
所以在上单调递增，所以于是
要使原不等式在上恒成立，就必须有，
设
则整理得
因为，所以，
设，则在上恒成立，则在上单调递增，
由于所以使得，即即
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
从而在上的最小值在处取得，
由两边取对数，得
于是
所以，故实数 的取值范围为
故选项C正确.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列等式正确的是（ ）
A. B.
C. ！D.
答案：ACD
解析：
思路：根据阶乘和排列数的运算公式，进行推理与判断选项中的运算是否正确即可．
解答过程：对于A，，选项A正确；
对于B，，所以选项B错误；
对于C，，选项C正确；
对于D，•，选项D正确．
故选：ACD．
10. 已知函数与的图象如图所示，则下列结论正确的为（ ）
A. 曲线是的图象，曲线是的图象
B. 曲线是的图象，曲线是的图象
C. 不等式组的解集为
D. 不等式组的解集为
答案：BC
解析：
思路：对于AB，利用导函数的正负决定原函数的单调性分析判断即可，对于CD，根据图象求解即可
解答过程：对于AB，若是的图象，则当时，，则在上递减，与曲线在上不单调相矛盾，所以是的图象，是的图象，所以A错误，B正确，
对于CD，由，得，解得，所以不等式组的解集为，所以C正确，D错误，
故选：BC
11. 已知函数有唯一零点，则（ ）
A. B.
C. 函数有三个极值点D. 函数有唯一极值点
答案：ABD
解析：
思路：令，则，构造函数令，利用导数求出函数的单调区间及极值点，进而可判断AB；再利用导数结合极值点的定义即可判断CD.
解答过程：令，则，
令，则，
令，则，
当时，，函数为增函数，
又，，
所以存在，使得，即，即，
当时，，，函数为减函数，
当时，，，函数为增函数，
又且时，，时，，
因为函数在上存在唯一零点，
所以，所以，故A正确；
所以，即，
即，所以，故B正确；
则，则，
令，则，
所以函数在上单调递增，
又，
所以存在，使得，
则当时，，即，
当时，，即，
所以函数有唯一极值点，故C错误，D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则的可能取值是________.
答案：2或3
解析：
思路：将题设中的方程化为，从而可求m的可能取值.
解答过程：因为，所以，所以，
其中，，而，，，
所以m的值可能是2或3.
13. 如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（ 4种颜色全部使用 ），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有 _______ 种.（用数字作答）
答案：96
解析：
解答过程：试题分析：
由题意知本题是一个分步计数问题，第一步：涂区域1，有4种方法；第二步：涂区域2，有3种方法；第三步：涂区域4，有2种方法（此前三步已经用去三种颜色）；第四步：涂区域3，分两类：第一类，3与1同色，则区域5涂第四种颜色；第二类，区域3与1不同色，则涂第四种颜色，此时区域5就可以涂区域1或区域2或区域3中的任意一种颜色，有3种方法．所以，不同的涂色种数有4×3×2×（1×1+1×3）=96.
考点：排列组合的应用.
14. 若关于的不等式在上恒成立，则的最大值为__________．
答案：
解析：
思路：
分类讨论，时不合题意；时求导，求出函数的单调区间，得到在上的最小值，利用不等式恒成立转化为函数最小值，化简得，构造放缩函数对自变量再研究，可解,
解答过程：令；当时，，不合题意；
当时，，
令，得或，
所以在区间和上单调递减.
因为，且在区间上单调递增，
所以在处取极小值，即最小值为.
若，，则，即.
当时，，当时，则.
设，则.
当时，；当时，，
所以在上单调递增；在上单调递减，
所以，即，所以的最大值为.
故
方法提示：本题考查不等式恒成立问题.
不等式恒成立问题的求解思路：已知不等式(为实参数)对任意的恒成立，求参数的取值范围．利用导数解决此类问题可以运用分离参数法; 如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(,或，)求解．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）计算
（2）解不等式：
（3）求证：，并计算：
答案：（1）24024；（2）；（3）证明见解析，
解析：
解答过程：（1）.
（2）因为，所以，
所以，所以，
又，，所以，
所以不等式的解集为.
（3）证明.
所以
.
16. 已知函数在处取得极值.
（1）求实数的值；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
答案：（1），；
（2）最大值为，最小值为
解析：
思路：（1）由已知得到，，进而得到方程组，解之即可；
（2）由（1）可知，然后对，利用导数得出函数单调性，结合端点值比较大小即可得解.
（1）由，知.
而在处取得极值，故，.
故有方程组，即.
所以，.
（2）由（1）知，，故，.
，
当时，，当时，，
所以在单调递增，在单调递减，
而直接计算知，，，
故在上的最大值为，最小值为.
17. 8个人按如下方式排队，计算排列数
（1）8人排成前后两排，每排4人，其中甲乙在前排，丙在后排，共有多少排法
（2）8人排成一排，其中甲与乙相邻，甲乙与丙不相邻共有多少排法
（3）8人排成一个圆圈，共有多少种排法
答案：（1）5760
（2）7200 （3）5040
解析：
思路：（1）特殊位置特殊元素问题，考虑特殊位置特殊元素优先排列来解决问题；
（2）相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法解决；
（3）8人排成一个圆圈，固定一人位置后，其余7人全排列即可.
（1）8人排成前后两排，相当于8人坐8把椅子，可以把椅子排成一排来考虑.
先排前排的甲乙，从前排4个位置中选2个给甲乙排列，有种排法；
再排后排的丙，从后排4个位置中选1个给丙，有种排法；
其余的5人在剩下的5个位置上任意排列，有种排法.
根据分步乘法计数原理，共有种排法.
（2）先将甲乙看成一个整体（甲乙之间有种排法），此时相当于7个元素.
除甲乙整体和丙外的5个元素全排列，有种排法，这5个元素排列后形成6个空，
将甲乙整体与丙插入这6个空中，有种排法.
根据分步乘法计数原理，共有种排法.
（3）8人排成一个圆圈，固定一人位置后，其余7人全排列，
共有种排法.
18. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）若有极小值，且，求a的取值范围.
答案：（1）
（2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增
（3）解析：
思路：（1）先对函数求导得到导函数表达式，代入已知条件确定参数后，算出处的导数值即切线斜率，再求出对应的函数值即切点坐标，最后用点斜式列出切线方程并整理成一般式即可.
（2）先把导函数通分并因式分解，结合定义域，按参数的正负分类讨论；时判断导函数在定义域内恒正，直接得出函数单调递增；时以为分界点，分别判断区间内导函数正负，进而得到函数的递减、递增区间，最后汇总两种情况的单调结论.
（3）先借助第二问单调性确定时函数在处取极小值也是最小值，代入求出最小值表达式；由恒成立转化为最小值大于等于0，化简不等式后构造新函数；通过求导判断新函数单调递减，结合特殊点，利用单调性分析出使不等式成立的的取值区间.
（1）当时，，所以
所以切线方程为即，
（2），
若，可得时，，所以在上单调递增；
若时，当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增；
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（3）由（2）可知当时，有极小值，极小值为，
此时极小值也是最小值，由，可得，，
又，所以
令，求导得，
所以在上单调递减，又，
当时，，当时，，
所以时，，此时满足，
所以a的取值范围
19. 已知函数，.
（1）当时，不等式恒成立，求实数的值；
（2）设不同正数m，n满足，证明.
答案：（1）
（2）证明见解析
解析：
思路：（1）先把代入，把题目化为一个关于的恒成立问题，注意到时恰好取等，因此可以利用“恒成立且在 处取等”来确定参数.
（2）先把已知条件整理成再研究函数的单调性,由此可知必分居的两侧，进一步证明即可由得到结论.
（1）当时，.
因为恒成立，即恒成立，
等价于恒成立.
令，.
对求导得.
因为恒成立且，所以是的最大值点，
则，，解得.
当时，，再令，
对求导得，
所以在上单调递减.
当时，，即，单调递增；
当时，，即，单调递减.
所以，满足条件，故.
（2）由得，两边取对数整理得，
令，则，，
在（0，1）递增，递减，则，
又，当，，
不妨设，则.
记，，
则
，
在递增，则，即.
又，，
因为在递减，所以，
则.
原命题得证.