2025--2026学年陕西西北大学附属中学高二下册期中检测数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年陕西西北大学附属中学高二下册期中检测数学试题 [含答案]，共4页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若函数有两个极值点，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知等比数列的前项和为，且，则的公比为（ ）
A. 3或B. 3或C. 或D. 或
3. 已知，若在之间插入3个数，使这5个数构成等比数列，则（ ）
A. B. 1C. 或1D. 或2
4. 已知，，成等差数列，，，则（ ）
A. B. C. D. 1
5. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A. 13B. 19C. 25D. 33
6. 移动互联网给人们的沟通交流带来了方便．如微信，既可供用户彼此添加“好友”单独交流，又可供多个用户建立一个“群”（“群”里的人彼此不一定是“好友”关系）共同交流．如果某人在微信上发了朋友圈，他的“好友”都可以看到，但“群”里的非“好友”不能看到．现有一个10人的“群”，其中1人在朋友圈上发了一条信息，“群”里有3人看到了，那么这个“群”里与发信息这人是“好友”关系的情况可能有（ ）种．
A. 256B. 255C. 128D. 84
7. 若，且，则（ ）
A. -10B. C. 10D.
8. 定义在上的函数满足：，且，当时，，则的最大值与最小值的差为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共3小题，每小题4分，共18分）
9. 赓续绵延秦川情，携手共谱新篇章．2026年“十五五”筹备期间，某中学向全校学生征集“立上游一新陕西”主题宣传文案，共收到300篇作品．由专业评委进行打分，满分100分，不低于60分为及格，不低于分为优秀，若征文得分（单位：分）近似服从正态分布，且及格率为，则下列说法正确的是（ ）
A. 随机取1篇征文，则评分在内的概率为0.6
B. 已知优秀率为10%，则
C. 越大，的值越大
D. 越小，评分在的概率越大
10. 已知函数，使得有三个零点，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 的取值范围为
B.
C. 若，则
D. 函数在三个零点处的切线斜率的倒数之和为1
11. 对于一个方格图，定义“连续完美分割”：当且仅当方格图可被互不重叠且连通的四个形状相同的区域完全分割，且每个区域恰含有1个M和1个N．给出下列方格图，可“连续完美分割”的是（ ）
A. B. C. D.
三、填空题（本题共3小题，每小题4分，共12分）
12. 杜甫在《绝句》中写道：“两个黄鹂鸣翠柳，一行白鹭上青天．”从这十四个字中任取两个字，则声母相同的概率是______．
13. 若直线是曲线的一条切线，则________．
14. 已知正项等比数列的前n项和为，，是关于x的方程的两个不等实根，则的最小值为___________．
四、解答题（本题共5小题，15-17题10分，18-19题14分，共58分）
15. 已知函数．
（1）求函数在处的切线方程．
（2）若函数有两个不同的零点，求实数b的取值范围．
16. 某中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼，若甲当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目.已知甲第一天等可能地选择一个场馆进行相应的体育锻炼.请完成下列计算：
（1）求甲第2天选择羽毛球的概率；
（2）求在甲第2天选择羽毛球的条件下，甲第1天选择篮球的概率；
（3）记甲第天选择羽毛球的概率为，请写出与的关系.
17. 甲、乙、丙三人进行远程射击，命中目标的概率分别为，，．现按甲、乙、丙的顺序循环，由甲先射击，规则如下：若当次射击命中，则下一次由接下来的第1个人进行射击；若当次射击未命中，则跳过1个人，下一次由接下来的第2个人进行射击．
（1）前3次射击结束，求丙未进行射击的概率；
（2）若第次由甲、乙、丙射击的概率分别为，，．
①求；
②若前次射击中，丙射击的次数记为，求．
18. 已知函数对任意的，，都有成立，且.
（1）求，.
（2）若令，求证：数列是等差数列.
（3）求证：当时，.
19. 已知，函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若有极小值，且极小值为，求的值；
（3）当时，函数在上的零点按从小到大排列构成一个数列，记为，求证.
数学
一、选择题（合计8小题，每题4分，共32分）
1. 若函数有两个极值点，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据两个极值点，看将问题转化为由两个不同的正实数根，构造函数，利用导数求解函数的单调性，即可求解.
解答过程：，
令，得.
令，则.
令，则，即，即.
当时，在单调递增；当时，在单调递减.
，
又当时，；当时，，
当时，方程有两个正根，从而函数有两个极值点.
故选：B
2. 已知等比数列的前项和为，且，则的公比为（ ）
A. 3或B. 3或C. 或D. 或
答案：A
解析：
思路：利用等比数列通项公式和前项和的公式列出方程求解即可.
解答过程：由等比数列的性质得．
由题可得，
得．由
得或，
所以的公比为3或
3. 已知，若在之间插入3个数，使这5个数构成等比数列，则（ ）
A. B. 1C. 或1D. 或2
答案：C
解析：
解答过程：已知，成等比数列，
根据等比数列的性质，是等比中项，则，
，
，故C正确．
4. 已知，，成等差数列，，，则（ ）
A. B. C. D. 1
答案：B
解析：
思路：根据等差数列转化角的关系，再联立方程组求解即可.
解答过程：因为，，成等差数列，所以，则.
设，，则，，.
又，，
所以，
整理得，即，
所以，即.
5. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A. 13B. 19C. 25D. 33
答案：B
解析：
思路：利用等差数列的基本量，化简已知条件，求得公差和首项，进而求即可.
解答过程：设等差数列的公差为，
因为，则；
因为，则；
联立，解得，故.
故选：B.
6. 移动互联网给人们的沟通交流带来了方便．如微信，既可供用户彼此添加“好友”单独交流，又可供多个用户建立一个“群”（“群”里的人彼此不一定是“好友”关系）共同交流．如果某人在微信上发了朋友圈，他的“好友”都可以看到，但“群”里的非“好友”不能看到．现有一个10人的“群”，其中1人在朋友圈上发了一条信息，“群”里有3人看到了，那么这个“群”里与发信息这人是“好友”关系的情况可能有（ ）种．
A. 256B. 255C. 128D. 84
答案：D
解析：
思路：由题意知10人的“群”里，与发信息这人是“好友”关系的有3人，不是好友关系的有人，再结合组合问题求解即可.
解答过程：由题意知，如果某人在微信上发了朋友圈，他的“好友”都可以看到，
因为1人在朋友圈上发了一条信息，“群”里有3人看到了，
所以，10人的“群”里，与发信息这人是“好友”关系的有3人，不是好友关系的有人，
这个“群”里与发信息这人是“好友”关系的情况可能有种.
7. 若，且，则（ ）
A. -10B. C. 10D.
答案：C
解析：
思路：由，且，，且.构造函数，利用导数分析其单调性，可得，从而得到.
解答过程：由，且，得，且，即，且.
设，得，
当时，，所以在上单调递增，则在上有唯一解．
因为，
所以，所以，即．
8. 定义在上的函数满足：，且，当时，，则的最大值与最小值的差为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：推导出函数是周期为的周期函数，根据对称中心在函数的图象上，可得出的值，利用导数可求出函数在上的最大值和最小值，再结合函数的对称性和周期性可求得函数的最小值和最大值，即可得解.
解答过程：对任意的，，，
所以的图象关于直线对称，又关于点对称，
所以，，
所以，所以，即，
所以，故是周期为的周期函数．
因为的定义域为，所以对称中心在的图象上，可得，则．
当时，，有，
当或时，；当时，.
可知在上递增，在区间上递减，在上递增．
当时，，，
又因为，，所以，，
由于的图象关于点对称，故当时，，．
故当时，，．
由于的图象关于直线对称，故当时，，．
因为是周期为的周期函数，故当时，，．
因此的最大值与最小值的差为.
二、多选题（本题共3小题，每小题4分，共18分）
9. 赓续绵延秦川情，携手共谱新篇章．2026年“十五五”筹备期间，某中学向全校学生征集“立上游一新陕西”主题宣传文案，共收到300篇作品．由专业评委进行打分，满分100分，不低于60分为及格，不低于分为优秀，若征文得分（单位：分）近似服从正态分布，且及格率为，则下列说法正确的是（ ）
A. 随机取1篇征文，则评分在内的概率为0.6
B. 已知优秀率为10%，则
C. 越大，的值越大
D. 越小，评分在的概率越大
答案：AD
解析：
解答过程：由题意知，，则，
故A正确；
因为，且优秀率为10%，
故，故B错误；
因为是正态分布图象的对称轴，所以，故C错误；
越小，正态分布图象越瘦高，因此在区间对应图象的面积变大，
则评分在的概率越大，故D正确.
10. 已知函数，使得有三个零点，且，则下列说法正确的是（ ）
A. 的取值范围为
B.
C. 若，则
D. 函数在三个零点处的切线斜率的倒数之和为1
答案：AC
解析：
思路：对于A，根据题意可知函数至少有两个极值点，则有两个不相等的实数根，再求导结合根的判别式即可判断；对于B，举例说明即可；对于C，代入解不等式即可得到；对于D，由题得，再求导，利用导数的几何意义，计算的值．
解答过程：解：对于A，因为有三个零点，得函数至少有两个极值点，
因为，所以有两个不相等的实数根，
所以，解得，故A正确；
对于B，时，，
的解为，此时，故B错误；
对于C，
，所以，所以，故C正确；
对于D，由题得，其简图如下：
，
所以，
同理，
故
，故D错误．
11. 对于一个方格图，定义“连续完美分割”：当且仅当方格图可被互不重叠且连通的四个形状相同的区域完全分割，且每个区域恰含有1个M和1个N．给出下列方格图，可“连续完美分割”的是（ ）
A. B. C. D.
答案：ACD
解析：
思路：根据已知新定义判断A，C，D，再根据连续完美分割得出图形判断B.
解答过程：A，C，D可“连续完美分割”如图：
对于B，对于4×4的方格，其可行的“连续完美分割”，仅有以下5种情形或其旋转图形，
经验证，符合条件的分割方式不存在.
三、填空题（本题共3小题，每小题4分，共12分）
12. 杜甫在《绝句》中写道：“两个黄鹂鸣翠柳，一行白鹭上青天．”从这十四个字中任取两个字，则声母相同的概率是______．
答案：
解析：
思路：找出声母相同的字，根据排列组合结合古典概型求解即可.
解答过程：总共有14个字，任取2个的总组合数为.
逐个列出14个字的声母，可得：
声母为的字：两、鹂、柳、鹭，共4个，组合数为；
声母为的字：黄、行，共2个，组合数为；
其余声母均仅对应1个字，无符合条件的组合.
根据古典概型计算概率.
13. 若直线是曲线的一条切线，则________．
答案：
解析：
思路：设切点为，求出切线斜率，利用切点在切线上，代入方程，即可得出结论.
解答过程：由曲线，得，
设直线与曲线相切于点，
所以，解得，.
故
14. 已知正项等比数列的前n项和为，，是关于x的方程的两个不等实根，则的最小值为___________．
答案：
解析：
思路：由韦达定理得到，结合等比数列求和公式得到，再结合二次函数求最值即可.
解答过程：设等比数列公比为，由题意，
由韦达定理得： ，即，

，
代入，
化简得：
令，则得，
二次函数开口向上，对称轴为，
代入得最小值：
所以的最小值为.
四、解答题（本题共5小题，15-17题10分，18-19题14分，共58分）
15. 已知函数．
（1）求函数在处的切线方程．
（2）若函数有两个不同的零点，求实数b的取值范围．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）由函数零点的意义可得，再构造函数，利用导数求出直线与函数图象有两个交点的的范围.
（1）函数的定义域为，求导得，则，而，
所以函数在处的切线方程为.
（2）由，得，而，则，令，
函数有两个不同的零点，等价于函数的图象与直线有两个交点，
求导得，由，得；由，得，
则函数在上单调递增，在上单调递减，则，
而，当时，，又当时，，
则当且仅当时，函数的图象与直线有两个交点，
所以实数b的取值范围是.
16. 某中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼，若甲当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目.已知甲第一天等可能地选择一个场馆进行相应的体育锻炼.请完成下列计算：
（1）求甲第2天选择羽毛球的概率；
（2）求在甲第2天选择羽毛球的条件下，甲第1天选择篮球的概率；
（3）记甲第天选择羽毛球的概率为，请写出与的关系.
答案：（1）；
（2）；
（3）.
解析：
思路：（1）利用全概率公式计算求解即可.
（2）利用贝叶斯公式计算求解即可.
（3）根据给定条件，利用全概率公式列式并化简即得.
（1）设事件分别表示第一天选择羽毛球、乒乓球、篮球，第二天选择羽毛球的事件为，
则且两两互斥，
依题意，，，
且，
由全概率公式得.
（2）由贝叶斯公式，得所求概率为.
（3）设甲第天选择羽毛球的概率为，甲第天选择乒乓球的概率为，
由无论前一天选择什么，后一天选乒乓球的概率均为，得对所有均成立，
从而选择篮球的概率为，
当时，由全概率公式，得的递推关系为，
而，，化简得，.
17. 甲、乙、丙三人进行远程射击，命中目标的概率分别为，，．现按甲、乙、丙的顺序循环，由甲先射击，规则如下：若当次射击命中，则下一次由接下来的第1个人进行射击；若当次射击未命中，则跳过1个人，下一次由接下来的第2个人进行射击．
（1）前3次射击结束，求丙未进行射击的概率；
（2）若第次由甲、乙、丙射击的概率分别为，，．
①求；
②若前次射击中，丙射击的次数记为，求．
答案：（1）
（2）①，②
解析：
（1）解：设事件A为甲射击命中，事件B为乙射击命中，事件M为前3次射击结束，丙未进行射击，
那么，所以前3次射击结束，丙未进行射击的概率为;
（2）①，又，
所以，，化简得，又，
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，
，则，
②设变量为第次丙射击，，，
.
18. 已知函数对任意的，，都有成立，且.
（1）求，.
（2）若令，求证：数列是等差数列.
（3）求证：当时，.
答案：（1），
（2）证明见解析 （3）证明见解析
解析：
思路：（1）通过对抽象函数赋值，令和，代入已知关系式，直接求得和的值；
（2）根据递推关系构造数列，通过计算相邻两项的差为常数，证明其为等差数列；
（3）先求出的通项公式，再利用数学归纳法和放缩法，将放缩为等比数列的项，最后求和证明不等式.
（1）已知对任意，恒成立.
令，得，移项得；
令，得，已知，代入得，解得.
（2）已知，对，将代入原函数式得，
即（），两边同除以得，即.
首项，因此是首项为、公差为的等差数列，得证.
（3）由（2）可得：，即，从而.
首先用数学归纳法证明当时，：
时，，成立；
假设时，则时，，成立.
因此对，，两边乘，得.
对求和式放缩：，
右边是首项为1、公比为的等比数列前项和，计算得：
，
因此，得证.
19. 已知，函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若有极小值，且极小值为，求的值；
（3）当时，函数在上的零点按从小到大排列构成一个数列，记为，求证.
答案：（1）
（2） （3）证明见解析
解析：
思路：（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程；
（2）求得，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，结合的极小值为可求得实数的值；
（3）先判断当时，无零点；依题分析当时，分和两种情况分析，在时，存在，使，分析得出；在时，同理可证，，构造函数，分析该函数在上的单调性，由可得，借助于，即可证明.
（1）当时，，所以，切点为，
则，所以，
则曲线在点处的切线方程为，即.
（2）因为，则，
①当时，由，得，
由得；得，
则在上单调递减，在上单调递增，
函数在处取得极小值，解得不符合题意；
当时，由，得或，
②当时，即时，
由得或；由，得，
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
函数在处取得极小值，不符合题意；
③当时，即时，恒成立，函数无极值，不符合题意；
④当，即时，由，得或；由，得，
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
则函数在处取得极小值，解得，符合题意，
综上所述，.
（3）因为，令，即，
因为，所以等价于，令，其中，
当，时，恒成立，此时无零点，
当，时，，
令，则，
（i）若，则，由可得，由可得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
而，，，
故存在，使，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
而，，，存在，使得，
故的零点；
（ii）当，，
当时，因为，
由可得，由可得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
，
故存在，使，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
由，当时，，
所以在上单调递增，，
所以，
又因为，，
故的零点，，
由（i）（ii）有，，
因为是的零点，即，所以，
令，因为，当，，
所以在上单调递减，
又因为，所以，即，
因为，
而，，
所以，故.