2025--2026学年山东省聊城市高一下册期中教学质量检测数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年山东省聊城市高一下册期中教学质量检测数学试题 [含答案]，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知平行四边形中，则为（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数，则的虚部为（ ）
A．B．C．1D．2
3．已知，为单位向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
4．已知长方体的长、宽、高分别为，将该长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，则剩下的几何体体积为（ ）
A．B．C．D．不确定
5．已知平面直角坐标系中，点，若为锐角，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知梯形用斜二测画法画出的直观图为如图所示的梯形，其中，，，若梯形的面积为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知中，为的重心，则的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．在中，点在边上，且的面积为2，则的长为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列关于平面向量的说法错误的是（ ）
A．若，则或
B．若，则
C．若与反向，则
D．若，则存在唯一的实数，使得
10．设复数在复平面内对应的点为，为虚数单位，则（ ）
A．
B．若，则最大值为
C．若，则点的集合所构成的图形的面积为
D．若复数是关于的方程的一个虚根，则
11．已知某科学实验室为保障脑机接口实验的精密仪器安全存储，设计了一款圆台形密封智能存储舱（舱壁厚度忽略不计），内部装有两个实心金属球，其中一个金属球恰好与圆台的上､下底面及所有母线都相切（即内切球），存储舱上底面直径，下底面直径，且，则下列说法正确的是（ ）
A．存储舱的高为
B．存储舱的表面积为
C．存储舱的体积为
D．舱中另一个球半径最大时，它的表面积为
三、填空题
12．向量，则实数的值为__________.
13．正三棱锥的底面边长为6，体积为18，则该正三棱锥的侧棱长为__________.
14．如图，中，，为边靠近的三等分点，为中点，过作垂线交于点，则__________.
四、解答题
15．如图，已知正八边形中.
(1)建立适当的坐标系，求的坐标；
(2)请用表示.
16．如图，在梯形中，，，，，过点作，以为轴旋转一周得到一个旋转体．
(1)求此旋转体的体积．
(2)求此旋转体的表面积．
17．在中，角的对边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若的面积为，求的周长.
18．已知复数满足，且.
(1)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求；
(2)在第（1）问条件下，若复数，且复数在复平面内对应点在第三象限，求实数的取值范围；
(3)在（1）问条件下，求的值.
19．在中，角所对的边分别是，且.
(1)求角的大小；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围；
(3)若角的角平分线交于点，求长度的最大值.
答案
1．A
【详解】因为平行四边形中，
则.
2．D
【详解】复数，则的虚部为
3．C
【详解】因为，所以，即，
又因为，为单位向量，所以，即，
所以向量在向量上的投影向量为.
4．B
【详解】
设长方体的长、宽、高分别为，即，，，
由长方体，得两两垂直，
所以，
所以剩下的几何体体积．
5．D
【详解】因为，所以，所以，
即得，，解得，
又因为为锐角，且，
所以且，即得且，
所以的取值范围是.
6．B
【详解】因为梯形的面积为，则梯形的面积为，
又，且，，所以，解得，
又，所以，解得.
7．A
【详解】中，，
如图所示：由题意连接交于，分别为中点，
则，
同时平方得
，
则，
又，
同时平方得，
则；
.
所以.
8．C
【详解】在中，，所以，
又因为，所以，所以为等腰直角三角形，
因为，所以，
因为，所以，
所以在中，，可得，
因为，
所以，
在中，由余弦定理可得，
所以.
9．ABD
【详解】当，则，但是或可能不成立，A选项错误；
若满足，但是可能不成立，B选项错误；
若与反向，则，C选项正确；
若，且是非零向量，则不存在唯一的实数，使得，D选项错误；
10．BCD
【详解】设，
对于A，，，二者不相等，A错误；
对于B，
表示复平面内点在以为圆心，半径为的圆上，
表示点到点的距离．
圆心到的距离为，所以的最大值为，B正确；
对于C，
表示复平面内点在以为圆心、内半径、外半径的圆环内，
圆环面积，C正确；
对于D，实系数二次方程有虚根，则，解得，
实系数方程的虚根共轭成对，，，且，
由韦达定理得，，所以，，
因为，所以，D正确．
11．BCD
【详解】对于选项A，如图所示，
由题，存储舱的轴截面是上底为6,下底为2的等腰梯形且有内切圆，如上图，
设内切圆半径为，则梯形两腰长为，
梯形面积公式可以用两种方式表示为
，
故存储舱的高为，A错误；
对于选项B，侧面积公式为，
存储舱的表面积为，故B正确；
对于选项C，存储舱的体积为，故C正确；
对于选项D，当球与球、舱盖、舱壁均相切时，球的半径最大，设为，
如下图，在轴截面ABCD中，由，
则，
可求得它的表面积为，D选项正确；

12．
【详解】由题意得，，
由可得，得.
13．
【详解】如图所示的正三棱锥，过点作平面,
所以，，
解得：，由于,
所以,
即该正三棱锥的侧棱长为
14．4
【详解】以为原点，以为轴，为轴，建立平面直角坐标系，
则，，，
因为为的中点，所以，
因为为边上靠近的三等分点，，所以，
的横坐标与相同，即，
又因为，所以，
所以，
设，所以，
设，所以，
所以，
，则，
则，所以，
，，
.
15．(1)
(2)
【详解】（1）如图，连接，以所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系，正多边形的中心即为坐标原点，
，
所以，根据对称性可得，
，又，
所以.
（2）由（1）得，
设可得，
即解得，
所以.
16．(1)
(2)
【详解】（1）旋转后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥，
，
所以小圆锥的半径，
圆柱的体积
圆锥的体积
旋转体的体积；
（2）圆柱的侧面积
圆锥的侧面积
圆柱的底面积，
圆锥的底面积
旋转体上底面的面积
旋转体的表面积.
17．(1)
(2)
【详解】（1）根据正弦定理及，得
，
，即，，
在中，，，又.
（2），.
由余弦定理得，.
，.
故的周长
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设，
，即，
由，得，则，
又，则，解得，
又复数在复平面内对应的点在第二象限，，
所以.
（2）由（1）知，
所以，
因为复数在复平面内对应点在第三象限，所以，解得.
（3）由（1）知，
.
19．(1)
(2)
(3)
【详解】（1），
则由和正弦定理可得，，
因为，所以，又，所以，
因为，所以，所以，所以.
（2）由正弦定理，，
所以
.
由三角形为锐角三角形可知，，解得，
所以，
所以的取值范围为.
（3）由余弦定理，，
即，当且仅当时，等号成立.
又，
化简可得，.
所以，当且仅当时等号成立.
故长度的最大值为.