2025--2026学年山东滕州市第二中学等校高二下册期中质量检测数学试题 [含答案]

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1. 一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设汽车在某一段路内时的速度（单位：）为，则汽车在第2s时的瞬时加速度为（ ）
A. B. C. D.
2. 书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书，从书架上任取1本书，则不同的选法共有（ ）
A. 5B. 6C. 11D. 30
3. 若，则（ ）
A. B. C. D.
4. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
6. 城区某中学安排2位数学老师、4位英语老师到，两所乡村中学任教，要求两个乡村中学各安排3位老师，其中中学至少需要安排1位数学老师，那么有（ ）种不同的安排方式
A. 9B. 12C. 14D. 16
7. 若，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知是函数的导数，且，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ）
A. 如果甲乙丙按从左到右的顺序（可以不相邻），则不同排法共有20种
B. 如果甲乙不相邻，则不同排法共有36种
C. 如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有36种
D. 如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有48种
10. 已知函数的导函数的图象如下图所示，则（ ）
A. 函数的图象在处的切线斜率小于零
B. 函数在区间上单调递增
C. 当时，函数取得极值
D. 当时，函数取得极值
11. 已知，函数有两个极值点，，则（ ）
A. 可能是负数
B.
C. 曲线在点处的切线方程为
D. 为定值
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的单调递减区间为__________.
13. 从个不同小球（其中个白球，1个黑球）中取出个球共有种不同取法，还可换一个角度考虑：若取出个球全是白球，则有种不同取法，若取出个球中含有黑球，则有种不同取法，从而共有种不同取法．因此，可以得到组合恒等式：．请你运用类比推理的方法，可以得到排列恒等式：____．
14. 已知函数，，则的值域为______．
四､解答题：本题共5小题，共T7分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 某个学习小组有4个男生，6个女生．
（1）从中任选出4个学生，要求男生的个数不比女生少的选法有多少种？（用数字作答）
（2）现安排4个男生参加运动会志愿者服务活动，有翻译､导游､礼仪三项工作可以安排，
（i）若每人都安排一项工作，则不同的选法有多少种？（用数字作答）
（ii）若每项工作至少有1人参加，则不同的选法有多少种？（用数字作答）
16. （1）已知，求实数的值
（2）解方程.
17. 已知两地的距离是100 km．根据交通法规，两地之间的公路车速应限制在 km/h，油价为8元/L．假设汽车以x km/h的速度行驶时，耗油率为 L/h，司机的人工费为40元/h．
（1）请将总费用表示为车速x的函数；
（2）试确定x的值，使总费用最小．
18. 已知函数.
（1）判断函数的单调性，并求出的极值；
（2）在图中画出函数的大致图象.
19. 已知函数，.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在区间上有唯一极值点，求的取值范围.
数学
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设汽车在某一段路内时的速度（单位：）为，则汽车在第2s时的瞬时加速度为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：对速度函数求导得加速度函数，然后代入求值.
解答过程：由已知，所以.
2. 书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书，从书架上任取1本书，则不同的选法共有（ ）
A. 5B. 6C. 11D. 30
答案：C
解析：
思路：由分类加法计数原理计算.
解答过程：任取一本书可能从上层取1本书，有6种方法，也可能从下层取1本书，有5种方法，
所以不同的选法有种.
3. 若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据导数的定义求解.
解答过程：令，则
所以.
4. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：
解答过程：对于A，因为，故A错误；
对于B，因为，故B错误；
对于C，因为，故C错误；
对于D，因为，故D正确.
5. 函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：B
解析：
思路：结合图象，利用曲线上两点所在直线的斜率和过两点的切线斜率的比较即可得到.
解答过程：
如图，设函数的图象上有两点，经过点的切线分别为，
则直线的斜率依次为，，，
由图可知直线的倾斜角，
因函数在上单调递增，故，
即.
6. 城区某中学安排2位数学老师、4位英语老师到，两所乡村中学任教，要求两个乡村中学各安排3位老师，其中中学至少需要安排1位数学老师，那么有（ ）种不同的安排方式
A. 9B. 12C. 14D. 16
答案：D
解析：
解答过程：情况1：中学安排1位数学老师，2位英语老师的方式：，
情况2：中学安排2位数学老师，1位英语老师的方式：，
所以中学至少需要安排1位数学老师的方式为：（种）.
7. 若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：先通过求导判断函数的单调性，再利用单调性比较和的大小．
解答过程：因为．当时，，所以，所以在上为单调递减函数．故．
故选：A.
8. 已知是函数的导数，且，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：令，对函数求导，利用的单调性可得答案.
解答过程：设，因为，所以，
对函数求导，得，因为，所以，
所以函数是实数集上的增函数，
因此由.
故选：D.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ）
A. 如果甲乙丙按从左到右的顺序（可以不相邻），则不同排法共有20种
B. 如果甲乙不相邻，则不同排法共有36种
C. 如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有36种
D. 如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有48种
答案：ACD
解析：
思路：由倍缩法即可判断A，由插空法即可判断B，由特殊元素优先法即可判断C，由捆绑法即可判断D.
解答过程：对于A，由于甲乙丙按从左到右的顺序固定了，故有种方法，故A正确；
对于B，甲乙不相邻，先把其他人排成一排有种方法，有个空，然后将甲乙插空有种方法，故共有种，故B错误；
对于C，甲，乙都不排两端，则先从中间个位置选择两个将甲，乙安排好，有种方法，其他人安排到剩下的个位置，有种方法，所以共有种方法，故C正确.
对于D，甲，乙必须相邻，将甲，乙捆绑到一起有种方法，看成一个大元素然后与其他人排成一排有种方法，故共有种，故D正确；
故选：ACD
10. 已知函数的导函数的图象如下图所示，则（ ）
A. 函数的图象在处的切线斜率小于零
B. 函数在区间上单调递增
C. 当时，函数取得极值
D. 当时，函数取得极值
答案：BC
解析：
思路：根据导数的几何意义判断Ａ；利用导函数的正负，分析函数的单调性，判断Ｂ；利用极值点的定义判断Ｃ，Ｄ.
解答过程：由图可知，所以函数的图象在处的切线斜率大于零，所以Ａ错误.
当时，恒成立，所以函数在区间上单调递增，所以Ｂ正确.
由图可知，在的附近，当时，；当时，.
即是的一个变号零点，所以在处取得极值.所以Ｃ正确.
在的附近，恒成立，所以单调递增，所以不是的极值点，所以Ｄ错误.
故选：BC.
11. 已知，函数有两个极值点，，则（ ）
A. 可能是负数
B.
C. 曲线在点处的切线方程为
D. 为定值
答案：BCD
解析：
思路：求导，分析函数的单调性，即可求解判断ABD；根据导数的几何意义求解判断C.
解答过程：由，则，
当时，，则在上单调递减，没有极值，故A错误，
当时，令，得，
不妨设，则，故B正确，
当时，，当时，，
所以在和上单调递增，在区间上单调递减，
所以是的极大值点，是的极小值点，
而，则，
所以
为定值，故D正确；
对于C，由，则，而，
则曲线在点处的切线方程为，故C正确.
故选：BCD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的单调递减区间为__________.
答案：
解析：
解答过程：函数的定义域为，，
，解得，
故函数的单调递减区间为.
13. 从个不同小球（其中个白球，1个黑球）中取出个球共有种不同取法，还可换一个角度考虑：若取出个球全是白球，则有种不同取法，若取出个球中含有黑球，则有种不同取法，从而共有种不同取法．因此，可以得到组合恒等式：．请你运用类比推理的方法，可以得到排列恒等式：____．
答案：
解析：
解答过程：分析：找到两类事物的相似性，然后根据类比推理的方法得到结论即可．
详解：从 个不同小球（其中个白球，1个黑球）中取出 个球的所有排列数为共有种；换个个角度考虑，从不同的小球中取出个小球的排列数可分为两类：第一类，不取黑球，则不同的排列数为种；第二类，一定取黑球，由于黑球有个位置任其选择，则不同的排列数为种．由分类加法计数原理可得 ．
点睛：类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤为：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．
14. 已知函数，，则的值域为______．
答案：
解析：
思路：求导，结合常见三角不等式判断得单调性，进而分析值域.
解答过程：当时，，所以，
因为，
由若，则，得当时，，
即，则，可知在上单调递减，
则．
综上所述，的值域为．
故．
四､解答题：本题共5小题，共T7分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 某个学习小组有4个男生，6个女生．
（1）从中任选出4个学生，要求男生的个数不比女生少的选法有多少种？（用数字作答）
（2）现安排4个男生参加运动会志愿者服务活动，有翻译､导游､礼仪三项工作可以安排，
（i）若每人都安排一项工作，则不同的选法有多少种？（用数字作答）
（ii）若每项工作至少有1人参加，则不同的选法有多少种？（用数字作答）
答案：（1）
（2）（i）（ii）
解析：
思路：（1）从中任选出4个学生，要求男生的个数不比女生少共有2个男生2个女生、3个男生1个女生、4个男生三种情况，再求每种情况的选法有分类加法计数原理可得答案；
（2）（i）利用分步乘法计数原理可得答案；
（ii）先把4个男生分三组，再把三项活动分给三组，再利用分步乘法计数原理可得答案.
（1）从中任选出4个学生，要求男生的个数不比女生少有三种情况，
①2个男生2个女生，有种；
②3个男生1个女生，有种；
③4个男生0个女生，有种；
故男生的个数不比女生少的选法有种；
（2）（i）每人从三项工作可以选其中一项，4个男生共有选法；
（ii）若每项工作至少有1人参加，4个男生必须有两个人一组，其余两个人一人一组，
共有种分法，然后再把这三组分配到翻译､导游､礼仪三项工作，
共有种选法.
16. （1）已知，求实数的值
（2）解方程.
答案：（1）或；（2）
解析：
思路：（1）根据组合数的性质计算即可；
（2）利用排列数公式计算即可.
解答过程：（1）因为，
所以或，
解得或，
经检验，都符合题意，
所以或；
（2）由，
得，
化简得，解得或（舍去），
所以.
17. 已知两地的距离是100 km．根据交通法规，两地之间的公路车速应限制在 km/h，油价为8元/L．假设汽车以x km/h的速度行驶时，耗油率为 L/h，司机的人工费为40元/h．
（1）请将总费用表示为车速x的函数；
（2）试确定x的值，使总费用最小．
答案：（1）（）
（2）解析：
思路：（1）根据题中给出的车速和油耗之间的关系式，结合已知条件，即可表示出汽车的总费用；
（2）对求导，讨论与的大小，即可得出的单调性，进而得出答案.
（1）汽车的运行时间为 h．
汽车的油耗费用为元．
汽车的总费用为元（）．
（2）函数的导函数为，
令，解得．
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增．
故当时，总费用最小．
18. 已知函数.
（1）判断函数的单调性，并求出的极值；
（2）在图中画出函数的大致图象.
答案：（1）的单调增区间是，单调减区间是，有极大值1，无极小值.
（2）图象见解析.
解析：
思路：（1）求出导数，由导数的正负确定单调性，确定极值点，计算出极值.，
（2）结合（1）中的单调性作图，注意变化趋势.
（1）由已知，
时，，函数递增，时，，函数递减，
所以的单调增区间是，单调减区间是，
有极大值且极大值为，无极小值.
（2），，时，，
时，，且时，，
因此图象如下：
19. 已知函数，.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在区间上有唯一极值点，求的取值范围.
答案：（1）；
（2）解析：
思路：（1）利用导数的几何意义求解；
（2）由在上有唯一的变号零点，令，通过讨论在的正负，确定的单调性，得出结论．
（1）时，，，
，，
所以所求切线方程为，即；
（2），
令，显然，
因为在区间上有唯一极值点，所以在上有唯一零点，且在零点两侧符号相反，
，
①时，在上恒成立，此时是增函数，
因为，，
所以在上存在唯一变号零点，，从而，
时，，，递减，
时，，，递增，
是在上的唯一极值点．
②时，在上恒成立，从而恒成立，在上递增，无极值点；
③时，，，恒成立，此时恒成立，在上递增，无极值点；
综上，的取值范围是．