山东邹城市2025-2026学年度第二学期期中教学质量检测高一数学试卷（含答案）

这是一份山东邹城市2025-2026学年度第二学期期中教学质量检测高一数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.i10的值为( )
A. −1B. iC. 1D. −i
2.已知a=3,1,b=1−2λ,2+λ，若a⊥b，则λ=( )
A. −1B. −7C. 1D. 7
3.如图，▵A′B′C′为▵ABC水平放置的直观图，其中B′O′=C′O′=3,A′O′=2，则▵ABC的面积为( )
A. 6B. 12C. 14D. 24
4.下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A. e1=2,1,e2=23,13B. e1=−2,6,e2=1,−3
C. e1=0,0,e2=−4,3D. e1=3,2,e2=5,3
5.已知a,b,c分别为▵ABC三个内角A,B,C的对边，若满足B=π6,a=4的三角形有两个，则b的取值范围为( )
A. 0,2B. 2,4C. 2 3,4D. 4,+∞
6.在▵ABC中，点D,E分别为边AB,BC的中点，若EF=14DF，则( )
A. AF=14AB+34ACB. AF=12AB+23AC
C. AF=23AB+12ACD. AF=13AB+23AC
7.已知a,b,c分别为▵ABC三个内角A,B,C的对边，且b−c=acsC−csB，则▵ABC的形状为( )
A. 直角三角形B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形D. 直角三角形或等腰三角形
8.一个圆台的上､下底面半径分别为r1,r2，且r1:r2=1:4，圆台轴截面为底角是π3的等腰梯形.若该圆台内有一个球，当球的体积最大时，球的表面积与圆台的侧面积比值为( )
A. 3245B. 103C. 910D. 23
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知下列说法正确的是( )
A. 棱台的侧面都是等腰梯形
B. 圆柱的任意两条母线所在的直线都是互相平行的
C. 一个棱锥至少有4个平面围成
D. 以直角梯形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台
10.下列说法正确的是( )
A. 4−2i>3−2i
B. 复数−2−i的虚部为−1
C. 若z为复数，则z⋅z为实数
D. 若z+3+4i=1，则z的最大值为6
11.如图，正八边形ABCDEFGH的边长为 2,P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列说法正确的是( )
A. AB=FE
B. OA+OC= 2OB
C. AP⋅AB的取值范围−2+ 2,2+ 2
D. PA⋅PB的最大值为6+4 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数a+b−4+1+ai=0a,b∈R，则b= ．
13.已知三棱锥的各棱长均为a，且其外接球的体积为 6π，则a= ．
14.已知点A,B,C均位于单位圆O上，弦长AB= 2，点D为弦BC的中点，当点C在圆O上运动时，则向量AB⋅OD的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z=2m2−7m+6+m−2i，其中m∈R
(1)若z在复平面内对应的点位于第一象限，求实数m的取值范围；
(2)若z是纯虚数，求1+mi1−i的模．
16.(本小题15分)
已知两个单位向量e1与e2的夹角为2π3，设向量m=2e1−e2,n=3e1+λe2,λ∈R．
(1)若m//n，求λ的值；
(2)若m与n的夹角为π3，求λ的值．
17.(本小题15分)
如图，一个正四棱锥的底面边长为4，高为6，该正四棱锥内有一个底面边长为x的内接正四棱柱(正四棱柱的上底面四个顶点都在棱锥的侧棱上，下底面在棱锥底面内)．
(1)求该正四棱锥的表面积与体积；
(2)求正四棱柱侧面积的最大值，并求此时x的值．
18.(本小题17分)
已知a,b,c分别为▵ABC三个内角A,B,C的对边，且B=π3,b=6．
(1)若a+c=12，求a,c；
(2)若 2asinC=csin2A，求▵ABC周长；
(3)若▵ABC为等边三角形，点D为边AC上一点，且AD=2DC,E为BC边的中点，AE与BD交于点F，求cs∠DFE．
19.(本小题17分)
已知为落实乡村振兴基础设施提质增效专项工作部署，某县农业农村局对辖区连片平坦农用地块开展集散路网科学规划，拟设置A,B,C三处农产品冷链集散岗亭，三处岗亭俯视落点构成▵ABC(如图)，岗亭间物资转运距离均按地表直线距离统一核算.经实地测绘发现sinC=2sinB，为结合惠民工程实施要求，规划从岗亭A出发，沿∠BAC的角平分线修建专用中转便民通道AD，中转节点D设置在主干连通道路BC上，且中转通道AD的长度为A,C两处岗亭间距离的k倍.
(1)若中转节点D到岗亭C的距离为52km，求B,C两处岗亭之间主干连通道路BC的长度；
(2)求实数k的取值范围；
(3)若规划地块▵ABC的面积为1平方千米，当k为何值时，B,C岗亭间距离最短？
参考答案
1.A
2.C
3.B
4.D
5.B
6.B
7.D
8.A
9.BC
10.BCD
11.ABD
12.5
13.2
14.1+ 22
15.解：(1)因为z在复平面内对应的点位于第一象限，
所以2m2−7m+6>0m−2>0,
由2m2−7m+6=2m−3m−2,得2m−3m−2>0.
又m−2>0⇒m>2,此时2m−3>0,m−2>0,
从而2m−3m−2>0成立，故实数m的取值范围为m>2.
(2)因为z是纯虚数，所以2m2−7m+6=0,且m−2≠0.
解方程2m2−7m+6=0得2m−3m−2=0,
所以m=32或m=2.又因为纯虚数的虚部不能为0，
故m−2≠0,所以m≠2.因此m=32.
于是1+mi1−i=1+32i1−i=1+32i1−i.
其中1+32i= 12+322= 1+94= 132,
1−i= 12+−12= 2.
所以1+mi1−i= 132 2= 132 2= 264.

16.解：(1)解：因为m=2e1−e2,n=3e1+λe2,λ∈R，则基底为e1与e2，
若m//n，则由对应基底系数成比例可得，32=λ−1，解得λ=−32．
(2)因为单位向量e1与e2的夹角为2π3，
则e1⋅e2=e1⋅e2⋅cs2π3=1×1×−12=−12．
而m= 2e1−e22= 4e12−4e1⋅e2+e22= 4+2+1= 7，
n= 3e1+λe22= 9e12+6λe1⋅e2+λ2e22= 9−3λ+λ2，
则m⋅n=2e1−e2⋅3e1+λe2=6e12+2λ−3e1⋅e2−λe22=152−2λ，
所以cs m,n=cs π3=m⋅n|m||n|=152−2λ 7(9−3λ+λ2)=12>0，
即15−4λ2=7λ2−3λ+9，且152−2λ>0，
化简得λ2−11λ+18=0，且λ