2025--2026学年四川省射洪中学校高二下册（强基班）第一次月考数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年四川省射洪中学校高二下册（强基班）第一次月考数学试题 [含答案]，共4页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知，则方程可表示的不同圆的个数是（ ）
A．6B．9C．16D．24
4．城区某中学安排2位数学老师、4位英语老师到，两所乡村中学任教，要求两个乡村中学各安排3位老师，其中中学至少需要安排1位数学老师，那么有（ ）种不同的安排方式
A．9B．12C．14D．16
5．已知是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．某厂生产了一批固态电池，已知该批次固态电池的“循环寿命”（单位：千次）服从正态分布，且．现从该批固态电池中随机抽取1组，则“循环寿命”在区间的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．若的展开式中各项系数和为，则其展开式中的常数项为（ ）
A．B．C．D．
8．函数，方程有6个不同的实根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知随机变量，且，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知变量与变量的一组观测数据如下表，根据表格数据得到经验回归直线为，则下列选项正确的是（ ）
A．变量与变量的中位数之和为10
B．变量与变量成正相关
C．
D．直线必过点
11．已知是函数的极值点，则（ ）
A．实数a的取值范围是
B．函数的图象关于点对称
C．存在实数a，使得是的极大值点
D．若，则
三、填空题
12．函数的最大值为__________.
13．两位游客准备分别从古汉台、拜将台、兴汉胜境、石门栈道风景区4个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件“两位游客中至少有一人选择古汉台”，事件“两位游客选择的景点不同”，则______．
14．已知函数恰有1个极值点，则实数的取值范围为___________．
四、解答题
15．已知函数，其中，且曲线在点处的切线平行于直线．
(1)求a的值；
(2)求函数的单调区间与极值．
16．2025年春节期间，电影《哪吒之魔童闹海》掀起全民观影热潮，连续7天票房逆势攀升，单日最高突破8.6亿元，吸引部分家庭扶老携幼共赴影院，缔造中国影史春节档票房与观影人次双冠王的奇迹．某电影院为了解民众对一部热映电影的喜欢程度，随机采访了140名观影人员，得到下表：
(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢电影《哪吒之魔童闹海》与是否成年有关？
(2)用频率估计概率，现随机采访一名成年人和一名未成年人，设表示这两人中喜欢电影《哪吒之魔童闹海》的人数，求的分布列和数学期望．
参考公式：（其中）．
17．有标号为1，2，3，4，5的五个不同的小球，标号为，，的三个不同的盒子，现在要把球全部放入盒内.
(1)共有多少种不同的放法？
(2)若每个盒子不空，则共有多少种不同的放法？
(3)若标号为1，2的两个小球必须放号盒子，每个盒子不空，则共有多少种不同的放法？
（注意：请写出式子再写计算结果）
18．甲､乙两名同学进行传统文化知识比赛，规则如下：连续胜两局者获胜，比赛结束；比赛最多五局，若五局结束时两人均未能连续获胜两局，则五局中胜局数多者获胜．在一局比赛中，若甲胜，则甲下一局胜的概率为；若甲输，则甲下一局胜的概率为．已知第一局甲胜的概率为，假设每局比赛没有平局，记比赛结束时的局数为．
(1)求第2局比赛甲胜的概率；
(2)在的条件下，求甲胜的概率；
(3)求比赛结束时甲胜的概率．
19．已知函数.
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)若时，证明；
(3)若，恒成立，求的取值范围.
答案
1．B
【详解】已知，函数定义域为，
可得，
此时，
所以曲线在点处的切线方程为，
即；
故选：B.
2．B
【详解】设为点，为点，
由题图可知函数的图象在处的切线的斜率比在处的切线的斜率大，且均为正数，
所以，而直线的斜率为，其比在处的切线的斜率小，
但比在处的切线的斜率大，所以．
3．D
【详解】根据题意，确定一个圆的方程可分为三个步骤：
第一步，确定，有3种选法；
第二步，确定，有2种选法；
第三步，确定，有4种选法，
由分步乘法计数原理得，不同圆的个数为．
故选：D.
4．D
【详解】情况1：中学安排1位数学老师，2位英语老师的方式：，
情况2：中学安排2位数学老师，1位英语老师的方式：，
所以中学至少需要安排1位数学老师的方式为：（种）.
5．A
【详解】，，
因为在上单调递增，所以在上恒成立，
所以，解得.
故选：A.
6．C
【详解】，，，
则.
7．C
【详解】令得：，解得：，
则展开式通项为：，
令得：，展开式中的常数项为.
故选：C.
8．A
【详解】由方程得或，
则方程有6个不同的实根，等价于的图象与直线有6个不同的交点，
当时，，则，
令，得：，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
故时，取极小值，
当时，，
当时，单调递增；当时，单调递减，
且，
根据以上信息，作出的大致图象如图，
由图可知，的图象与直线有2个不同的交点，
由题意，只需的图象与直线有4个不同的交点，则，
综上得：的取值范围是．
故选：A．
9．ACD
【详解】由题意可得，
则，，
故A，C，D均正确，B错误．
故选：ACD.
10．AC
【详解】对于A，将数据从小到大排列，因数据有5个，则中位数为第三个数据，则变量与变量的中位数分别为：3,7.从而中位数之和为10，故A正确；
对于B，由题设可得随着变量增大，变量呈现减小趋势，故变量与变量负相关，故B错误；
对于C，由B分析可得，又，，，从而，故C正确；
对于D，由题可得，，从而过点，故D错误.
11．ACD
【详解】因为，
是函数的极值点，
所以是的两个不等的实数根，
所以，解得或，由，
所以，故A正确；
在函数的图象上取点,则关于点的对称点为，
而，显然不恒等于，
故函数的图象关于点不对称，故B错误；
当是的极大值点时，，解得，
当时，，
所以当时，，在区间上单调递增，
当时，，在区间上单调递减，
所以是的极大值点，故C正确；
由A选项知，是的两个不等的实数根，
所以，
所以
，
由，
因为，所以，故D正确.
12．54
【详解】对求导得，
令，得，都在区间内.
因为，，
，，
这四个值中最大值为，所以的最大值为.
13．
【详解】两位游客从4个景点中任选，每人有4种选择，总事件数：种．
事件的对立事件为“两位游客都不选择古汉台”，的事件数：种，
事件分为两种情况：甲选古汉台，乙选其余3个景点，3种；
乙选古汉台，甲选其余3个景点，3种；
共种事件，
所以．
14．
【详解】函数的定义域为.
.
由函数恰有1个极值点，得恰有一个变号实数根.
即方程恰有一个变号实数根.
令，则直线与函数的图象恰有一个交点.
.
当时，，，，函数单调递增；
当时，，，，函数单调递减.
所以当时，取得极大值，即最大值为.
又当时，，所以；，
所以函数的图象如下：
所以或.
当时，.
令，则，在上单调递减.
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
所以当时，取得极大值，即最大值为，即恒成立.
所以是减函数，无极值点.
所以实数的取值范围为.
15．(1)4
(2)单调增区间为，单调减区间；极大值，极小值
【详解】（1）求导得：，
，
；
（2）由（1）可得：
令得：或，令得：
于是函数的单调增区间为，单调减区间
当变化时，的变化情况如下表：
于是：当时，有极大值；当时，有极小值．
16．(1)不能，理由见解析
(2)
【详解】（1）由表格数据可知，.
所以，
当时，.
由于，所以没有足够的证据拒绝原假设，即不能认为喜欢电影《哪吒之魔童闹海》与是否成年有关.
（2）由题意可知，未成年人喜欢电影的概率是，不喜欢的概率是；
成年人喜欢电影的概率是，不喜欢的概率是.
由题意，的可能取值为，则
；；.
所以的分布列为
数学期望为.
17．(1)243；
(2)150；
(3)12.
【详解】（1）依题意，每个球有3种放法，所以不同放法种数是.
（2）将5个球分成3组，有种方法，再将分成的3组放到3个不同盒子，有种放法，
所以每个盒子不空的不同放法种数是.
（3）号盒子放3个球，且每个盒子不空，共有种放法；
号盒子放2个球，且每个盒子不空，将另3个球分成2组，放入余下两个盒子，共有种放法，
所以所求不同放法种数是.
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设表示第1局甲胜，表示第2局甲胜，
由全概率公式得．
（2）表示比赛在第3局结束，即前2局无连续两胜，第3局形成连续连胜：
乙胜：序列为“甲、乙、乙”，概率为，
甲胜：序列为“乙、甲、甲”，概率为，
，
甲胜的概率为．
（3）时，甲胜的概率为；
时，甲胜的概率为；
时，甲胜序列为“甲、乙、甲、甲”的概率为；
时，甲胜序列为“乙、甲、乙、甲、甲”或“甲、乙、甲、乙、甲”，
概率为，
甲胜的概率为．
19．(1)；
(2)证明见解析；
(3).
【详解】（1）若，则，，
求导得，则，
所以曲线在处的切线方程为，即.
（2）函数定义域为，
当，时，，则对任意成立，
令函数，求导得，
当时，；当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，
，，因此，
所以.
（3）不等式，
令函数，而函数都是R上的增函数，则函数是R上的增函数，
不等式，则，即，
令函数，求导得，当时，；当时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，，
则，即，所以的取值范围为.
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