2025-2026学年福建省漳州市高二（下）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年福建省漳州市高二（下）期中数学试卷，共6页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在空间直角坐标系中，点A（0，2，5），B（-1，3，4），则=（ ）
A. （1，-1，1）B. （-1，1，-1）C. （1，1，1）D. （-1，5，9）
2.已知函数，则f（x）的导函数f′（x）=（ ）
A. B. C. D.
3.已知函数f（x）=2ex-3ax的极值点为0，则a=（ ）
A. 0B. C. D.
4.在空间直角坐标系中，O是平面ABC外一点，平面ABC的一个法向量为，△ABC的面积为3，且，则三棱锥O-ABC的体积为（ ）
A. 1B. C. 2D. 3
5.若函数为减函数，则必有（ ）
A. f′（x）≤f（x）B. f′（x）≥f（x）
C. f′（x）≤3f（x）D. f′（x）≥3f（x）
6.某企业的一个产品的月均产量y（单位：百件）与月份数x（x∈N*）的关系式为y=x3-6x2+95，则该企业这个产品的月均产量的最小值为（ ）
A. 56件B. 63件C. 5600件D. 6300件
7.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，AD=4，AA1=2，，∠A1AB=∠A1AD=60°，则∠ABC=（ ）
A. 60°B. 90°C. 120°D. 150°
8.函数f（x）=e2x-（2x+1）ex+x2+x的最小值为（ ）
A. B. ln2C. 1D. 0
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.在四面体P-ABC中，，则（ ）
A. B.
C. D.
10.若∃x∈（0，4]，3x2-a2＜x3+10a,则a的取值可以为（ ）
A. -10B. C. -4D. 1
11.在空间直角坐标系Oxyz中，已知正四面体SABC的四个顶点的坐标为A（0，0，0），，，S（m,n,t）（t＞0），点N（x1，y1，z1）在四面体SABC外接球的球面上，且CN⊥平面ABC，点H（x2，y2，z2）在四面体SABC内切球的球面上，则下列结论正确的有（ ）
A.
B. 的最大值是最小值的2倍
C. 四面体SABC外接球的体积为108π
D. 当取得最小值时，点H的坐标为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在标准正交基底下，已知向量，，则向量在上的投影长为 .
13.在空间直角坐标系中，已知A（0，1，2），B（2，3，2），C（3，3，1），则点A到直线BC的距离为 .
14.若a6-2a4+2a2≥8b-22b+1+2b+1（a＞0，b＞0），则的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f（x）=x-2sinx.
（1）求值；
（2）求f（x）在上的极值.
16.(本小题15分)
将正方体ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到如图所示的几何体，且H为AC的中点.
（1）证明：A1H∥平面B1CD1.
（2）求二面角A-B1H-A1的正弦值.
17.(本小题15分)
已知函数f（x）=a3x-lnx.
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）讨论f（x）的单调性.
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA=AB=2，PA⊥AB，底面ABCD是正方形，E，F分别为AD，PC的中点.过点D的直线l与PA平行，且l⊥BE.
（1）证明：PA⊥底面ABCD.
（2）已知平面PAB与平面BEF的夹角为α.
（Ⅰ）求sinα；
（Ⅱ）若Q是l上的一个动点，直线BQ与平面BEF所成的角为β，证明：α＞β.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=ex-e-x-ax.
（1）证明：当a=2，x∈[0，+∞）时，f（x）≥0.
（2）讨论f（x）的零点个数.
（3）若a＞2，正数x0满足f（x0）=0，证明：.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】AD
10.【答案】ABD
11.【答案】ABD
12.【答案】9
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】-1 极小值为，无极大值
16.【答案】取B1D1的中点M，连接A1M，MC，

易证A1M∥AC，且，
又H为AC的中点，所以A1M∥HC，且A1M=HC，
则四边形A1MCH是平行四边形，
所以A1H∥MC，
因为A1H⊄平面B1CD1，MC⊂平面B1CD1，
所以A1H∥平面B1CD1
17.【答案】y=7x+1 当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，f（x）在上单调递减，在上单调递增
18.【答案】因为l∥PA，l⊥BE，
所以PA⊥BE，
因为PA⊥AB，AB∩BE=B，AB⊂底面ABCD，BE⊂底面ABCD，
所以PA⊥底面ABCD （Ⅰ）；（Ⅱ）设Q（0，2，a），得，
则，
因为，函数y=sinx在上单调递增，
所以要证α＞β，只需要证，即证a2+4a+12＞0，
因为Δ=42-4×12=-32＜0，
所以a2+4a+12＞0恒成立，
故α＞β
19.【答案】当a=2，x∈[0，+∞）时，f（x）=ex-e-x-2x，
f′（x）=ex+e-x-2≥2-2=0，当且仅当ex=e-x，即x=0 时，等号成立，
所以f′（x）≥0，f（x）在[0，+∞）上单调递增．
又f（0）=e0-e0-0=0，所以当x≥0时，f（x）≥f（0）=0，即f（x）≥0 当a≤2 时，f（x）的零点个数为1，当a＞2 时，f（x）的零点个数为3 证明：由f（x0）=0，得，即．
要证，只需证，
即证，即证，
设k（x）=xex+x-ex+e-x，x＞0，
则k′（x）=ex+xex+1-ex-e-x=xex+1-e-x．
因为x＞0，所以xex＞0，1-e-x＞0，
所以k′（x）＞0，k（x）在（0，+∞）上单调递增．
又k（0）=0+0-1+1=0，且x0＞0，所以k（x0）＞k（0）=0，
即，故得证