福建漳州市2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

这是一份福建漳州市2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷，共71页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在空间直角坐标系中，点，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知函数，则的导函数（ ）
A. B. C. D.
3.已知函数的极值点为0，则（ ）
A. 0B. C. D.
4.在空间直角坐标系中，是平面外一点，平面的一个法向量为，的面积为3，且，则三棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
5.若函数为减函数，则必有（ ）
A. B. C. D.
6.某企业的一个产品的月均产量（单位：百件）与月份数的关系式为，则该企业这个产品的月均产量的最小值为（ ）
A. 56件B. 63件C. 5600件D. 6300件
7.在平行六面体中，，，，，，则（ ）
A. B. C. D.
8.函数的最小值为（ ）
A. B. C. 1D. 0
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.在四面体中，，则（ ）
A. B.
C. D.
10.若，则的取值可以为（ ）
A. -10B. C. -4D. 1
11.在空间直角坐标系Oxyz中，已知正四面体SABC的四个顶点的坐标为A（0，0，0），，，S（m,n,t）（t＞0），点N（x1，y1，z1）在四面体SABC外接球的球面上，且CN⊥平面ABC，点H（x2，y2，z2）在四面体SABC内切球的球面上，则下列结论正确的有（ ）
A.
B. 的最大值是最小值的2倍
C. 四面体SABC外接球的体积为108π
D. 当取得最小值时，点H的坐标为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在标准正交基底下，已知向量，，则向量在上的投影长为 ．
13.在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为 ．
14.若，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数.
(1)求值；
(2)求在上的极值.
16.(本小题15分)
将正方体截去三棱锥后得到如图所示的几何体，且为的中点．
(1)证明：平面．
(2)求二面角的正弦值．
17.(本小题15分)
已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性．
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA=AB=2，PA⊥AB，底面ABCD是正方形，E，F分别为AD，PC的中点.过点D的直线l与PA平行，且l⊥BE.
（1）证明：PA⊥底面ABCD.
（2）已知平面PAB与平面BEF的夹角为α.
（Ⅰ）求sinα；
（Ⅱ）若Q是l上的一个动点，直线BQ与平面BEF所成的角为β，证明：α＞β.
19.(本小题17分)
已知函数．
(1)证明：当，时，．
(2)讨论的零点个数．
(3)若，正数满足，证明：．
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】AD
10.【答案】ABD
11.【答案】ABD
12.【答案】9
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：（1），
则.
（2）当时，令，得，
令，得，则在上单调递减，
令，得，则在上单调递增，
所以在上的极小值为，在上无极大值.

16.【答案】解：（1）
取的中点，连接，．
易证，且，
又为的中点，所以，且，
则四边形是平行四边形，所以．
因为平面，平面，所以平面．
（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示．
设，则，，，，，，．
设平面的法向量为，则
令，得．
设平面的法向量为，则
令，得．
设二面角的平面角为，
则，
所以二面角的正弦值为．

17.【答案】解：（1）当时，，可得，
则，且，即切线的斜率为，切点为，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
（2）由函数，其定义域为，且，
当时，，则在上单调递减；
当时，令，可得，
令，得；令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增．

18.【答案】因为l∥PA，l⊥BE，
所以PA⊥BE，
因为PA⊥AB，AB∩BE=B，AB⊂底面ABCD，BE⊂底面ABCD，
所以PA⊥底面ABCD （Ⅰ）；（Ⅱ）设Q（0，2，a），得，
则，
因为，函数y=sinx在上单调递增，
所以要证α＞β，只需要证，即证a2+4a+12＞0，
因为Δ=42-4×12=-32＜0，
所以a2+4a+12＞0恒成立，
故α＞β
19.【答案】解：(1)当，时，，
，当且仅当，即时，等号成立，
所以，在上单调递增．
又，所以当时，，即．
（2）因为，所以为上的奇函数,
，
当时，，在上单调递增,
又，所以的零点个数为1，
当时，令，即，
设，则，即，
解得，即，，
又因为，，
所以，即，，
则当时，，单调递增，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，．
又因为当时，，，当时，，所以的零点个数为3．
综上，当时，的零点个数为1，当时，的零点个数为3．
(3)由，得，即．
要证，只需证，
即证，即证，
设，，
则．
因为，所以，，
所以，在上单调递增．
又，且，所以，
即，故得证．