广东深圳市建文外国语学校2025-2026学年第二学期期中考试高二数学

这是一份广东深圳市建文外国语学校2025-2026学年第二学期期中考试高二数学，共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．双曲线4x2−y2=4的离心率为（ ）
A．3B．2C．52D．5
2．从1，2，3，…，15共15个数字中，甲、乙两人各取一数（不重复），若甲取到的数是5的倍数且甲取到的数大于乙取到的数，则不同的取法共有（ ）
A．27B．28C．29D．30
3．已知数列an的前n项和Sn=2n2−3，则a3=（ ）
A．6B．8C．10D．12
4．已知函数f(x)=ex+2f'(0)sinx ，则f'0= （ ）
A．−2B．−1C．2D．1
5．在1−x5+1−x6+1−x7+1−x8的展开式中，含x2的项的系数为（ ）
A．74B．−74C．64D．−64
6．设函数fx在定义域内可导，y=fx的图象如图所示，则其导函数y=f'x的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知圆C：x2+y2−2x+4y=0，则该圆的面积为（ ）
A．5B．5C．5πD．5π
8．已知曲线y=lnx的切线过原点，则此切线的斜率为（ ）
A．eB．−eC．1eD．−1e
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知等比数列an的前n项和为Sn，公比q=−2，a3=−8，则（ ）
A．a1=−2
B．a4+a5=−12
C．S6=42
D．数列anan+1是公比为4的等比数列
10．已知(1x−2x2)n的展开式中，各项的二项式系数之和为128，则（ ）
A．n=7B．只有第4项的二项式系数最大
C．各项系数之和为1D．x5的系数为560
11．已知函数fx=x2ex，x∈R.下列结论正确的是（ ）
A．函数fx不存在最大值，也不存在最小值
B．函数fx存在极大值和极小值
C．函数fx有且只有1个零点
D．函数fx的极小值就是fx的最小值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12．有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同选法的种数是 ．
13．已知随机事件A,B满足P(A)=13,P(B|A)=12 ， 则P(AB)= ．
14．已知函数fx=alnx+ex在区间1,+∞上单调递增，则a的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知等差数列an中a3=6，a6=12，且bn=an+1,n为偶数2an，n为奇数.
（1）求数列an的通项公式；
（2）记数列bn的前n和为Tn，求T20的值(结果可以用幂的形式表示）.
16．一市级重点中学选中了6名男教师和4名女教师共10名教师，其中1名主任（男）和1名副主任（女），现要组成6人支教小组，依下列条件各有多少种选派方法？
（1）6人支教小组中，有3名男教师和3名女教师；
（2）6人支教小组中，既有男教师，又有女教师；
（3）6人支教小组中，至少有1名主任参加；
（4）6人支教小组中既有主任，又有女教师．
17．甲、乙两队进行一场排球比赛，设各局比赛相互间没有影响且无平局，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一队比另一队多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为p=23．
（1）第二局比赛结束时比赛停止的概率；
（2）设X表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量X的分布列和数学期望．
18．已知函数fx=csx+x2−4 ，f'x是fx的导函数.
（1）求f'0+f'π2的值；
（2）求曲线y=f'x在x=π2处的切线方程；
（3）求fx的最值.
19．已知函数f(x)=lnx+ax2+3,g(x)=kx−k+2,(a、k∈R)，
（1）当a=12时，求函数f(x)的极值；
（2）求函数f(x)的单调区间；
（3）当a=0时，若f(x)>g(x)x在x∈(1,+∞)时恒成立，求整数k的最大值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：因为4x2−y2=4，所以x2−y24=1，
所以a2=1,b2=4，所以双曲线的离心率为e=1+b2a2=1+4=5.
故选：D.
【分析】先将方程转化为双曲线的标准方程，进而利用离心率的公式e=1+b2a2即可求解.
2．【答案】A
【知识点】分类加法计数原理；简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：1—15中，5的倍数为5，10，15，故甲只能取这3个数.
若甲取5时，乙需取比甲小的数，即1，2，3，4，共4种取法；
若甲取10时，乙需取比甲小的数，即1，...，9，共9种取法；
若甲取15时，乙需取比甲小的数，即1，2，3，...，14，共14种取法；
故根据分类加法计数原理共有4+9+14=27种.
故答案为：A
【分析】本题考查分类加法计数原理，关键先找出 1~15 中 5 的所有倍数，按甲的取值分三类，分别统计每种取值下乙的可选数量，最后汇总求和。
3．【答案】C
【知识点】通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：因为Sn=2n2−3，所以a3=S3−S2=15−5=10．
故答案为：C.
【分析】本题考查数列前n项和与通项的关系，关键利用公式an=Sn−Sn−1(n≥2)，代入n=3，通过S3与S2作差求出a3。
4．【答案】B
【知识点】导数的四则运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】f'(x)=ex+2f'(0)csx ，令x=0，得f'(0)=e0+2f'(0)cs0=1+2f'(0)，
所以f'0=−1.
故答案为：B
【分析】本题考查导数的运算，关键先对原函数求导，将x=0代入导函数构造关于f'(0)的一元一次方程，解方程求得结果。
5．【答案】A
【知识点】二项式系数的性质；组合数的基本计算
【解析】【解答】解：由题知x2项的系数为C52+C62+C72+C82=74．
故答案为：A.
【分析】本题考查二项式定理求指定项系数，关键先写出各二项展开式中x2项的系数，再利用组合数公式求和得到总系数。
6．【答案】A
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由fx的图象可知，当x∈−∞,0时，函数单调递增，则f'x≥0，故C，D错误；
当x∈0,+∞时，fx先递增，再递减最后递增，所以所对应的导数值应该先大于0，
再小于0，最后大于0，故B错误.
故答案为：A.
【分析】本题考查原函数单调性与导函数符号的对应关系，关键依据原函数的增减区间判定导数正负：原函数递增则导函数大于 0，原函数递减则导函数小于 0，分区间逐一筛选选项。
7．【答案】C
【知识点】圆的一般方程
【解析】【解答】解：将圆的一般方程C：x2+y2−2x+4y=0化为标准方程x−12+y+22=5，
由此可知圆的半径r=5，所以该圆的面积S=πr2=5π.
故答案为：C
【分析】本题考查圆的一般方程化标准方程与圆面积计算，关键通过配方整理出圆标准式得到半径，再代入圆面积公式S=πr2求解。
8．【答案】C
【知识点】导数的几何意义；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：设切点坐标为a,lna，
曲线y=lnx定义域为0，+∞，y'=1x，则切线的斜率为1a，切线的方程为y−lna=1ax−a，
因为切线过原点，所以0−lna=1a0−a，解得a=e，
故切线的斜率为1e.
故答案为：C.
【分析】设切点坐标为a,lna，求函数的定义域，再求导，利用导数的几何意义，结合点斜式求得切线方程，最后根据切线过原点，代入原点坐标求出a的值，即可得切线的斜率.
9．【答案】A,C,D
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】A，由等比数列通项a3=a1q2，代入q=−2,a3=−8，a1=a3q2=−84=−2，故A正确；
B，a4+a5=a3q+a3q2=a3(q+q2)=−8×(−2+4)=−16≠−12，故B错误；
C，等比数列求和公式Sn=a1(1−qn)1−q，S6=−2×[1−(−2)6]1−(−2)=−2×(1−64)3=42，故C正确；
D，设bn=anan+1，则bn+1bn=an+1an+2anan+1=an+2an=q2=4，首项b1=a1a2=(−2)×4=−8，{anan+1}为公比4的等比数列，故D正确。
故答案为：ACD。
【分析】A：利用通项变形反求首项a1；B：提取公因式a3，结合公比计算两项和；C：代入等比数列前n项和公式运算验证；D：作商求新数列公比，根据比值判定等比数列。
10．【答案】A,D
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：A、由题意可知：各项的二项式系数之和为2n=128，解得n=7，故A正确；
B、由A 可知(1x−2x2)n=(1x−2x2)7，因为n=7，所以展开由8项，第4项和第5项的二项式系数最大，故B错误；
C、令x=1，可得各项系数之和为(1−2)7=−1，故C错误；
D、因为二项展开式的通项为Tr+1=C7r(1x)7−r⋅(−2x2)r=(−2)rC7r⋅x3r−7,r=0,1,2,⋅⋅⋅,7，
令3r−7=5，解得r=4，所以x5的系数为(−2)4C74=560，故D正确；
故答案为：AD.
【分析】根据二项式系数之和为2n运算求解，即可判断A；根据二项式系数的性质分析即可判断B；令x=1，求各项系数之和，疾控科判断C；结合二项式系数的通项分析即可判断D.
11．【答案】B,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数f(x)=x2ex,x∈R，则f'(x)=x(x+2)ex，
令f'(x)0,ex>0，则g'x=−x+1ex0，
所以y=gx在R上单调递增，
因为g0=−0+2×0=0，
所以x∈−∞,0，gx0，fx单调递增，
所以fx的最小值为f0=1+0−4=−3，无最大值.
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1) 先对原函数求导得到f'(x)，代入x=0、x=π2分别求值，再相加得到结果；
(2) 把f'(x)设为新函数g(x)，再次求导得到切线斜率，算出切点纵坐标，代入点斜式整理切线方程；
(3) 由g'(x)>0判断f'(x)在R上单调递增，结合f'(0)=0划分f(x)单调区间，进而求出f(x)最值。
（1）f'x=−sinx+2x，
f'0=−0+2×0=0，f'π2=−1+2×π2=π−1
所以f'0+f'π2=π−1.
（2）设gx=f'x=−sinx+2x，则g'x=−csx+2，
g'π2=−0+2=2，gπ2=f'π2=π−1，
所以y=f'x在x=π2处的切线方程为y−π−1=2x−π2，即2x−y−1=0.
（3）由（2）可知，g'x=−csx+2>0，
所以y=gx在R上单调递增，
因为g0=−0+2×0=0，
所以x∈−∞,0，gx0，fx单调递增，
所以fx的最小值为f0=1+0−4=−3，无最大值.
19．【答案】（1）解：当a=12时，fx=lnx+12x2+3 ，
∵f(x)的定义域为0,+∞，∴f'x=1x+x=1+x2x>0恒成立，
∴f(x)在0,+∞上单调递增，故函数f(x)无极值.
（2）解：∵f'x=1x+2ax=2ax2+1x,x>0，
令g(x)=2ax2+1，
①当a≥0时，g(x)>0，f'x>0，∴fx在0,+∞ 单调递增；
②当a0恒成立，
∴f(x)在0,+∞上单调递增，故函数f(x)无极值.
（2）∵f'x=1x+2ax=2ax2+1x,x>0，
令g(x)=2ax2+1，
①当a≥0时，g(x)>0，f'x>0，∴fx在0,+∞ 单调递增；
②当a