沪教版（五四制）（2024）八年级下册（2024）第23章 四边形23.2 平行四边形学案及答案

这是一份沪教版（五四制）（2024）八年级下册（2024）第23章 四边形23.2 平行四边形学案及答案，共70页。

TOC \ "1-4" \h \z \u \l "_Tc201321763" PAGEREF _Tc201321763 \h 1
\l "_Tc201321764" 模型来源 PAGEREF _Tc201321764 \h 1
\l "_Tc201321765" 真题现模型 PAGEREF _Tc201321765 \h 2
\l "_Tc201321766" 提炼模型3
\l "_Tc201321768" 模型运用 PAGEREF _Tc201321768 \h 4
\l "_Tc28484" 模型1.瓜豆模型（原理）-直线轨迹4
\l "_Tc201321773" 10
“瓜豆原理”的名称源自中国传统文化，其数学模型则源于现代几何学对动点轨迹规律的总结，“瓜豆原理”直接借用了中国古代农谚“种瓜得瓜，种豆得豆”的因果关联意象，强调从动点（豆）轨迹与主动点（瓜）轨迹的相似性：即主动点沿直线运动则从动点轨迹亦为直线；主动点沿圆周运动则从动点轨迹亦为圆。
21世纪初中数学教育者将此类主从联动轨迹问题命名为“瓜豆原理”，借农谚的通俗性帮助学生理解几何变换（旋转、位似）的抽象规律。典型案例包括动点最值、路径相似性证明等。如今瓜豆原理成为解决动点最值、路径证明等中考几何问题的核心工具，典型案例如求线段最小值、轨迹长度比例关系等。
（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，在矩形中，，，为上一点，，为边上动点且，连接，，则的最小值为（ ）
A．5B．C．D．
【答案】D
【分析】根据矩形性质证明四边形为矩形，得出，将求的最小值转化为求的最小值，利用轴对称性质（将军饮马模型）结合勾股定理求解
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
作点关于直线的对称点，连接交于点，
此时最小，即最小，
∵与关于对称，
∴，，
∵，，，
∵，
∴，
过点作交的延长线于点，
则，，
∴，
在中，，
∴的最小值为．
条件：1）如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？

结论：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．
证明：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，
因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．
条件：2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？

结论：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。
证明：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，
比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。
模型1.瓜豆模型（原理）-直线轨迹
瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。
解题策略：1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值；
2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下方法进行确定：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②某动点所在与某直线所成夹角为定值时，该动点的轨迹为直线； = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线；⑤若动点轨迹用上述方法都不合适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。
例1（2025·四川绵阳·一模）如图，矩形中，，，与相交于为边上任意一点，将线段绕点O顺时针旋转后得到线段，则线段的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了旋转性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质. 取的中点，连接并延长交于点，连接，分别过点和点作的垂线，垂足分别点和点，设直线交于点，证明，推出，得到点在直线上运动，当在线段上即时，此时线段有最小值，据此即可求解.
【详解】解：如图，取的中点，连接并延长交于点，连接，分别过点和点作的垂线，垂足分别点和点，
设直线交于点，
∵点是中点，
∴，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵P为边上任意一点，将线段绕点O顺时针旋转后得到线段，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴点在直线上运动，
∴当在线段上即时，此时线段有最小值，
同理可得四边形是矩形，
∴，
故选：D.
例2（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，正方形，E是对角线上的一点，以为边作正方形，阴影部分面积为5，若，，则下列值不变的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查正方形的性质，动点问题，瓜豆原理，平行线间的距离，掌握知识点是解题的关键．
根据瓜豆原理可得点F的运动轨迹在直线上，即点F到的距离为边的长，连接，推导出，得到，即可解答．
【详解】解：∵四边形为正方形，，
∴，
当点E在点A时，点F在点B，如图
当点E在的中点时，点F在点C，如图
由瓜豆原理，可得点F的运动轨迹在直线上，即点F到的距离为边的长，
如图，连接，
∴，，
∴，
即，
∴的值不变．
故选：D．
例3（2025·江苏苏州·二模）如图，菱形的边长为4，，E是的中点，F是对角线上的动点，连接．将线段绕点F按逆时针旋转，G为点E对应点，连接，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了旋转的性质、菱形的性质、等边对等角、全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．将线段绕点F按顺时针旋转，得到，连接、，由旋转的性质得到，，，，通过证明得到，利用菱形的性质和等边对等角得到，，则有，分析可得点在过点且与夹角为的直线上运动，当时，有最小值，再利用等腰直角三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：将线段绕点F按顺时针旋转，得到，连接、，
由旋转的性质得到，，，，
，即，
，
，
菱形的边长为4，
，
，
，
E是的中点，
，
，，
，
，
点在过点且与夹角为的直线上运动，
当时，有最小值，此时为等腰直角三角形，则，
的最小值为，即的最小值为．
故选：A．
例4（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在正方形中，对角线、相交于点O，，P为上的一点，，则的长度为____；若M为上一动点，连接并将线段绕点C顺时针旋转得，连接，则的最小值为____．
【答案】
【分析】过P作于G，延长使，作直线，延长交于Q， 过D作于E，连接，交于H，根据正方形的性质和勾股定理即可求出；设，则，根据求出，证明，可得，则点N在直线上运动，当时，的值最小，再证明可得，即可得解．
【详解】解：过P作于G，延长使，作直线，延长交于Q， 过D作于E，连接交于H，
四边形是正方形，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，即，
，
线段绕点C顺时针旋转得，
，
，
，
，
，
点N在直线上运动，
过D作，
当时，的值最小，
，，
∴∠AQF=∠ACF=90°，
∴AQ⊥FN，
∵DN′⊥FN，
∴DN′∥AQ，
∴∠FDN′=∠DAE，
∵∠AED=∠FN′D=90°，，
，
∴DN′=AE=655，
的最小值为．
例5（2026·山东淄博·一模）如图，在中，，，，，线段绕点旋转，点为的中点，则的最大值是_____．
【答案】
【分析】本题主要考查了轨迹圆问题、中位线性质、三角形三边关系，熟练掌握这些性质是解此题的关键．由且绕点旋转，知点的轨迹为以为圆心、为半径的圆；取的中点，连接，利用三角形中位线定理得，再由勾股定理得，根据三角形三边关系，即可求出的最大值．
【详解】解：取的中点，连接，
，线段绕点旋转，
点的运动轨迹是以点为圆心、为半径的圆，
点是的中点，
，
点是的中点，点是的中点，
是的中位线，
，
即点的运动轨迹是以为圆心、为半径的圆，
在中，，，，
由勾股定理得：，
根据三角形三边关系：，
当且仅当三点共线，且点在的延长线上时，取得最大值，
．
1．（24-25九年级下·江苏盐城·月考）如图，矩形中，，，点是边上一动点，将线段绕点逆时针旋转至，且，连接，则的最小值为______．
【答案】
【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理及垂线段最短等知识．解题的关键是利用瓜豆原理确定点的运动轨迹，再通过矩形的性质转化线段长度，求出最小值．由旋转确定定点与定比，推出从动点的轨迹为直线；再根据点到直线的距离垂线段最短，求出的最小值．
【详解】解：如图，矩形中，，，
，，，
由勾股定理得：，
将线段绕点逆时针旋转至，
，，
，即
在上取点，使，连接，
在和中，
，
，
，即，
点的运动轨迹在过点且垂直于的直线上，
过点作于，过点作直线于，
则当与重合时，取得最小值，最小值为的长，
，
，解得，
在中，由勾股定理得：
，
，
，
，，，
四边形为矩形，
，即的最小值为．
故答案为：．
2．（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，在直角坐标系中，点的坐标是，点是轴上的一个动点．以为边向右侧作等边三角形，连接，在运动过程中，的最小值为__________．
【答案】4
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形等知识的综合，理解等边三角形的性质，构造三角形全等，数形结合分析是解题的关键．
如图所示，以为边，在左边作等边三角形，连接，证明，得到，当时，的值最小，根据等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，结合坐标与图形即可求解．
【详解】解：如图所示，以为边，在左边作等边三角形，连接，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴的值最小时，的值最小，
当时，的值最小，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
在中，，
故答案为：4 ．
3．（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，等边三角形ABC中，AB=4，高线AH=2，D是线段AH上一动点，以BD为边向下作等边三角形BDE，当点D从点A运动到点H的过程中，点E所经过的路径为线段CM，则线段CM的长为_______，当点D运动到点H，此时线段BE的长为__________．
【答案】
【分析】由“SAS”可得△ABD≌△CBE，推出AD=EC，可得结论，再由勾股定理求解 当重合时， 从而可得答案.
【详解】解：如图，连接EC．
∵△ABC，△BDE都是等边三角形，
∴BA=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=60°，
∴∠ABD=∠CBE，
在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD=EC，
∵点D从点A运动到点H，
∴点E的运动路径的长为，
当重合，而（即）为等边三角形，




故答案为：．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，动点的轨迹等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
4．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，正方形的边长为4，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为_____．
【答案】
【分析】由题意分析可知，点为主动点，为从动点，所以以点为旋转中心构造全等关系，得到点的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得最小值．
【详解】由题意可知，点是主动点，点是从动点，点在线段上运动，点也一定在直线轨迹上运动
将绕点旋转，使与重合，得到，
从而可知为等边三角形，点在垂直于的直线上，
作，则即为的最小值，
作，可知四边形为矩形，
则.
故答案为．
【点睛】本题考查了线段极值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点的运动轨迹，是本题的关键．
5．（24-25八年级下·重庆大足·期末）已知：在菱形中，，点E为直线上的一点，连接．
(1)如图1，，若，求的长；
(2)如图2，与对角线交于点F，，求证：；
(3)如图3，将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接，，当取最小值时，直接写出的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）先由得，从而得出的值，再根据勾股定理得，然后在中，可得，最后再根据勾股定理即可解答；
（2）由菱形中，可得，延长，在上取点，作，可证，可证得， ，从而得出，进而证得，从而得出；
（3）由旋转可得，可证，当时取最小值，作交于点，如图，再证可证，最后由三角形的面积公式即可解答．
【详解】（1）解：∵菱形中，，
∴ ，
∵
在中，，
∴ ，则，根据勾股定理得：
∵
∴
在中，
∴
∴
（2）∵菱形中，
∴ ，，
∵，
∴
∴
如图；延长，在上取点，作
∵ ，
∴ ，
∵ 是菱形的对角线，
∴
在与中

∴
∴，
在与

∴
∴
∵
∴
（3）如图；∵点E为直线上的一点，线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接，，当时取最小值；
∴
∵
∴
∴ ，即：
∴
∴
∴
∵
∴
∴
作交于点，
∵ ，
∴ ，即
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形的面积，直角三角形的性质和判定等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
6．（2026·四川成都·二模）如图，的直角边，斜边，点P为线段上动点．若F为线段上一点，且，连接，将线段绕点F顺时针方向旋转得线段，连接，则的最小值为______．
【答案】4
【分析】连接，以为边作等边，连接，证明，得出，说明点G在上运动，根据垂线段最短，得出当时，取得最小值，过点F作于点N，证明四边形为矩形，得出，，根据直角三角形的性质得出，求出，即可得出答案．
【详解】解：连接，以为边作等边，连接，如图所示：
则，，
根据旋转可得：，，
∴是等边三角形，，
∴，即，
∴，
∴，即点G在上运动，
∵垂线段最短，
∴当时，取得最小值，过点F作于点N，如图所示，
则，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴的最小值为4．
7．（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）如图，矩形中，，E是边上一动点，连接，过点C作于点P，连接，则的最小值为________．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是正确添加辅助线．
取中点，连接，根据直角三角形斜边中线可得，然后由勾股定理求解，再由三角形三边关系即可求解最值．
【详解】解：取中点，连接，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当点在上时，取得最小值为．
8．（25-26八年级下·河南洛阳·期中）如图，在矩形中，，，点E是边上一点，连接，将沿折叠，使点D落在点F处，当为直角三角形时，______．
【答案】1或
【分析】本题考查了矩形的折叠问题，涉及了勾股定理，解题的关键是分类讨论．
根据折叠的性质可得，，，，再设，则，分两种情况，或，根据线段的和差关系以及勾股定理分别求解即可．
【详解】解：将沿折叠，使点D落在点F处，则，，，
设，则，
当为直角三角形时，有两种情况，
①，如下图：
可得四边形为正方形，，
∴，
∴，
②，如下图，
点在线段上，
由勾股定理可得，，
∴，
在中，，即，解得，
综上，或．
9．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）如图，在正方形与正方形中，，．连接，为的中点，连接．正方形绕着点旋转过程中，的最小值是_____．
【答案】
【分析】延长至点，使得，连接、，根据中位线的性质得到，将的最小值问题转化为的最小值问题，利用勾股定理可得的长，当点、、三点共线时，且点在线段上时，取最小值，最小值为，即可得解．
【详解】解：如图，延长至点，使得，连接、，
为的中点，为的中点，
是的中位线，
，故要求的最小值，即需求的最小值即可，
四边形是正方形，
，，
，
，为定值，
当点、、三点共线时，且点在线段上时，取最小值，最小值为，
的最小值是．
10．（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图，在菱形中，，E为上的动点，，且，若的最小值为，则菱形的边长是______．
【答案】
【分析】过点作，作点关于的对称点，连接交于点，延长交于点，设交点为点，证明四边形是矩形，四边形是平行四边形，四边形是矩形，设，则，由对称的性质得，，求出，，当三点共线时，有最小值，最小值为的长，即，利用勾股定理求出的值，即可求解．
【详解】解：过点作，作点关于的对称点，连接交于点，延长交于点，设交点为点，
在菱形中，，即，
∵，
∴，即，
由对称的性质得，即，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，即，
∵，即，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
设，
∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
由对称的性质得，，
∴，
∴，，
当三点共线时，有最小值，最小值为的长，即，
在中，，
∴，
解得（负值舍去），
∴，
∴，即菱形的边长是．
11．（25-26八年级下·四川成都·阶段检测）如图，在平行四边形中，，，点是射线上一点，连接，以为腰作等腰直角三角形，，连接，则的最小值是________．
【答案】/
【分析】过点作，且，连接，利用证明，得出，过点作于，交延长线于，过点作，交延长线于，可得时，取最小值，最小值为的长，根据含角的直角三角形的性质及勾股定理求出，，进而求出的长即可．
【详解】解：如图，过点作，且，连接，
∵，，
∴，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
过点作于，交延长线于，过点作，交延长线于，
∴时，取最小值，最小值为的长，即的最小值为的长，
∵平行四边形中，，，
∴，，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为．
12．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，是等边三角形，，是的中点，是直线上一动点，线段绕点逆时针旋转，得到线段，当点运动时，则的最小值为________．
【答案】
【分析】过点分别作的三条垂线，垂足为，过点作平行线交的两条垂线于点，过点作，得到四边形均为长方形，进而确定相关角度与线段的等量关系，由等边三角形性质求出，，再判定、，得到相关线段长度，最后由题意确定点的运动轨迹，结合垂线段最短得到最小值为，代入线段长度计算即可．
【详解】解：过点分别作的三条垂线，垂足为，过点作平行线交的两条垂线于点，过点作，如图所示：
四边形均为长方形，
则，，，，，，，
在等边中，，则是边的中线，
，
在中，由勾股定理可得，
是的中点，
，
在和中，
，
，，
由旋转性质可知，，
，
，
在和中，
，
∴EJ=EK=3，则由题意可知，点在直线上运动，
由垂线段最短可知，当AF⊥HG时，有最小值，为，
∵IG=KH=EJ=3，
∴AG=AI+IG=1+3．
13．（25-26八年级下·重庆巴南·期中）如图，矩形纸片中，，，点、分别在边、上，将纸片沿折叠，使点的对应点在边上，点的对应点为，则的最小值为______．

【答案】
【分析】根据折叠的性质，结合线段垂直平分线的性质得出，可得当点与点重合时，取最大值，取最小值，则，利用勾股定理列方程求出的值即可得出答案．
【详解】解：如图，连接、，

∵将矩形纸片沿折叠，使点的对应点在边上，点的对应点为，
∴是的垂直平分线，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当最大时，取最小值，
∵当点与点重合时，取最大值，
∴当点与点重合时，取最大值，取最小值，
设则，
∵，
∴，
解得：，
∴的最小值为．
14．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，菱形的边长为2，，点E为边的中点，点F为边上一动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为________．
【答案】/
【分析】由题意分析可知，点F为主动点，点G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等关系，得到点G的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得最小值．
【详解】解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动．
如图，将绕E点沿顺时针方向旋转，使与重合，得
则是等边三角形，
∴，，
又∵，
∴H点在上，且，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
延长交于K点，
则G点在线段上运动，且，
又∵四边形是菱形，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
作，
则的长就是的最小值，
∴，
∴，
，
∴的最小值为．
15．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）如图，矩形中，，对角线相交于，．点关于的对称点为，点是直线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转后得到对应线段，连接CF，则线段长的最小值为______．
【答案】
【分析】连接，，，，由矩形性质可得，，，，然后证明是等边三角形，则，又点与关于对称，所以，，从而可得四边形是菱形，所以，又将线段绕点顺时针旋转后得到对应线段，所以，，证明，所以，要使最小，则需最小，根据垂线段最短可知，当时，最小，然后通过勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，连接，，，，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，，
∴，
∵点与关于对称，
∴，，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
∵将线段绕点顺时针旋转后得到对应线段，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
要使最小，则需最小，根据垂线段最短可知，当时，最小，如图，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴线段长的最小值为．
16．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，在中，，D是AB的中点，点E是边BC上一动点，将沿DE翻折，使点B落在点处，连接AE、，若，则面积的最大值为______．
【答案】18
【分析】本题考查翻折的性质，三角形外角的性质，平行线的性质和判定，三角形的面积公式，垂线段最短；设，由翻折可得：，，可得，再由D是AB的中点，是的外角，可得，从而得出，得出，面积的最大值即为面积的最大值，过点作，利用即可求出面积的最大值．
【详解】解：设，由翻折可得：，，
∴，
∵D是AB的中点，，
∴，
∴，
由等腰三角形的定义可得：是等腰三角形，即，
∵是的外角，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴面积的最大值即为面积的最大值，
如图所示，过点作，
∴，
∵，当时，，
∴当时，取最大值为，
∴面积的最大值为．
17．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在中，，，点N在直线上运动，以为边向的右侧作菱形，且，M为中点，连接，则点N在运动过程中，_____，的长度存在最小值为______．
【答案】 /
【分析】根据三角形全等的判定和性质，菱形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，垂线段最短求解即可；
【详解】解：，，
，
，
，
取的中点Q，连接，
M为中点，
，
∵四边形是菱形，
∴
∴在和中，
∴，
∴，
根据垂线段最短，当时，取得最小值，
此时也取得最小值，
此时；
18．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，正方形中，，点为对角线上的动点，以为边作正方形，点是上一点，且，连接，则的最小值为__________．
【答案】2
【分析】连接，根据正方形的性质得到，证明，得到点的运动轨迹是射线，故当时，取最小值，此时，求出，再根据勾股定理求出答案即可．
【详解】解：连接，
四边形是正方形，四边形是正方形，
，，，
，
，
，
点的运动轨迹是射线，故当时，取最小值，
此时，
，
，
．
19．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）如图，已知中，，，点为平面内一点，满足，分别以，为边作平行四边形，连接，则
（1）的最小值是__________；
（2）的最大值是__________．
【答案】 6 6
【分析】（1）在延长线上截取，连接，，由平行四边形的性质得到，，证明四边形是平行四边形，得到，求出，根据三角形三边关系求出的最小值；
（2）由（1）求出的最大值即可．
【详解】解：（1）如图，在延长线上截取，连接，，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
的最小值是；
（2）由（1）得，
，
的最大值是．
20．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，在平行四边形中，，点为边上的一动点，连接．过点作，则的最小值为______．
【答案】
【分析】根据平行四边形的性质和三角形面积公式，可知的面积为定值，由，可得.要使最小，需最大；当点与点重合时，取得最大值，通过构造直角三角形利用勾股定理求出的长，进而求出的最小值．
【详解】解：过点作交的延长线于点，连接，，
∵四边形是平行四边形，，
，
，
，
，，
在中，，，
∴，
∴，
在中，，
，
，
又，
∴，
∴要使最小，则需最大，
∵点为边上的一动点，
∴点与点重合时，最大此时，
的最小值为，
故答案为．
21．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，正方形和正方形的边长分别为6和4，连接，H为的中点，连接．将正方形绕点A旋转一周，则的取值范围是________．
【答案】
【分析】在的上方作正方形， 连接，求出的取值范围，再利用三角形中位线定理求解即可．
【详解】解：如图，在的上方作正方形，
四边形和四边形是正方形，
，，
H为的中点，
，
，
，，
，
，
，
；