新高考物理二轮复习题型分类精讲精练专题33 动量观点在电磁感应中应用-（精讲）（2份，原卷版+解析版）

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考点梳理1 “单棒＋电阻”模型与“单棒＋电容器”模型
母题考点一 “单棒＋电阻”模型与“单棒＋电容器”模型
举一反三
【练1】（2025·广西·模拟预测）如图，一半径为r=0.5m的水平固定金属圆环内存在竖直向上的磁感应强度大小为B=1T的匀强磁场，长为0.5m的金属棒ab可绕着圆环圆心转动。从圆环边缘和圆心所在竖直轴用细导线连接足够长的水平固定平行金属导轨P、Q，两导轨间存在垂直导轨平面向上的磁感应强度大小为B=1T的匀强磁场，在两导轨间接有电容为C=0.06F的电容器。质量m=0.1kg的金属棒cd垂直放在导轨上处于静止状态，导轨的宽度和金属棒cd的长度均为l=1m，金属棒cd与导轨之间的动摩擦因数为μ=0.5，金属棒cd的电阻R1=1Ω，金属棒ab的电阻R2 =1Ω，其余电阻不计，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10m/s2。开关S1、S2、S3均断开，金属棒ab始终以恒定的角速度ω= 10rad/s逆时针（俯视）转动。现闭合开关S1、S2，断开开关S3，求：
(1)金属棒ab中的电流方向；
(2)电容器的最大电荷量；
(3)当电容器电荷量达到最大值后，立即断开开关S2，闭合开关S1、S3，此后经t1=0.08s金属棒cd达到最大速度，求金属棒cd的最大速度。
【练2】（2025·浙江·一模）如图所示，在水平面上固定两间距为、长度足够的平行导轨，导轨间存在方向垂直水平面向上、磁感应强度大小为的匀强磁场。一质量为的导体棒搁置于导轨间，通过水平绝缘细绳跨过轻质定滑轮与质量为的重物相连。在导轨左侧，通过开关可分别与电容、电阻和电感的支路连接。在各种情况下导体棒均从静止开始运动，且在运动过程中始终垂直于导轨，不计其他电阻、空气阻力、摩擦阻力和电磁辐射。（当电感中通有电流时，电感线圈存储的磁场能为）
(1)若开关掷向1，串接一不带电的电容器，电容为，求导体棒的加速度；
(2)若开关掷向2，串接电阻，已知电阻阻值为，且在静止释放导体棒的时间内，导体棒位移大小为，求导体棒在这段过程中的末速度大小；
(3)若开关掷向3，串接一阻值为的电阻和电感为电感线圈相串联的电路，当重物下降时，重物运动速度可视为匀速。
①求匀速运动速度大小；
②重物从静止开始下降的过程中，回路产生的焦耳热。
【练3】（2025·浙江·一模）如图所示，两平行绝缘支架上固定着间距的两平行光滑直导轨，其间接有的电阻，导轨上静止放置一质量的金属棒。光滑水平面上放置一磁场发生装置，可产生一方向竖直向上，长，宽也为L的有理想边界的匀强磁场，磁感应强度B随时间t变化规律为：
时刻，棒离边界的水平距离为。棒与两平行导轨始终接触良好，棒和导轨的电阻均不计。
(1)若磁场保持不动，在时间内，棒在水平外力作用下保持静止，求：
①棒中电流大小和电阻R产生的焦耳热Q；
②水平外力的方向和大小随时间变化的规律；
(2)末，撤去外力F，同时磁场发生装置以匀速向右运动，求：
①棒最终获得的速度；
②磁场匀速运动过程中施加在磁场发生装置的外力所做的功W。
考点梳理2 导线框模型
母题考点二 导线框模型
举一反三
【练1】（2025·黑龙江大庆·一模）如图甲，固定在光滑绝缘水平面上的单匝正方形导体框abcd，置于虚线AB左侧始终竖直向下的磁场中，bc边与虚线AB重合，虚线AB右侧为的匀强磁场。导体框的质量，电阻、边长，磁感应强度随时间t的变化图像如图乙所示。在时，导体框解除固定，给导体框一个向右的初速度，下列说法正确的是（ ）
A．时流过ad边的电流方向由a到d
B．时流过ad边的电流大小为0.4A
C．导体框的bc边刚越过虚线AB时受到的安培力的大小为0.024N
D．当线框速度减为0.02m/s时ad边移动的距离为
【练2】（2025·辽宁葫芦岛·二模）磁悬浮电梯是基于电磁学原理使电梯的轿厢悬停及上下运动的，如图甲所示，它主要由磁场和含有导线框的轿厢组成。其原理简化为：竖直面上相距为的两根绝缘平行直导轨，置于等距离分布的方向相反的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面，磁感应强度大小均为，每个磁场分布区间的长度都是，相间排列，如图乙所示。当这些磁场在竖直方向匀速平动时，跨在两导轨间的宽为、长为、总电阻为的导线框（固定在轿厢上）将受到安培力。当磁场平动速度为时，轿厢悬停；当磁场平动速度为时，轿厢最终竖直向上做匀速运动。重力加速度为，下列说法中正确的是（ ）
A．磁场平动的速度方向竖直向上
B．磁场平动的速度方向竖直向下
C．导线框和电梯轿厢的总质量为
D．当磁场以速度平动时，轿厢最终速度为
【练3】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）如图（a），光滑且足够长的固定斜面与水平面的夹角为，斜面上两平行水平虚线和之间有垂直斜面向下的匀强磁场，以下区域有垂直于斜面向上的匀强磁场。两磁场的磁感应强度大小相等。正方形导线框的电阻均匀。时刻将处于斜面上的导线框由静止释放，开始时边恰好与虚线重合。之后导线框的运动方向始终垂直于虚线，运动的图像如图（b），时间内导线框的速度大小为，重力加速度为，则（ ）
A．时间内，导线框的边未经过虚线
B．时间内，导线框速度大小为
C．时间内，导线框、两点间的电势差为
D．时间内，导线框的位移大小为
考点梳理3 双棒在外力作用下模型
母题考点三 法拉第电磁感应定律的理解及应用
举一反三
【练1】（2025·贵州·模拟预测）如图，两根足够长的平行光滑金属导轨MN、PQ固定在水平面上，导轨间距为l=1m，其间存在方向垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B=2T。两根长度相同的金属棒a、b垂直于导轨放置，金属棒的质量为ma=mb=1kg，其接入电路的电阻分别为Ra=1Ω、Rb=3Ω。初始时刻金属棒a、b间距离足够大，同时给两金属棒方向相反、大小分别为v0a=2m/s，v0b=6m/s的初速度，两金属棒相向运动。两金属棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，不计导轨电阻。下列说法正确的是（ ）
A．初始时刻金属棒b的加速度大小为8m/s2
B．整个运动过程中通过金属棒a的电荷量为1C
C．整个运动过程中金属棒b产生的焦耳热为12J
D．为使两金属棒不相碰，则初始距离最小为2m
【练2】（2025·安徽·模拟预测）如图，间距为的平行导轨由倾斜部分和足够长的水平部分组成，固定放置在地面上，两部分在E、F处通过光滑绝缘圆弧小段连接。倾斜导轨光滑，倾角，上端连接一个阻值的电阻，倾斜导轨上的矩形区域KMEF间存在垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度，且MK与EF相距；水平导轨上的矩形区域EFGH部分无磁场，且EF与GH相距为d=1m，该部分导轨粗糙，GH右侧导轨光滑，处于竖直向上、磁感应强度大小为的匀强磁场中。质量、电阻的导体棒a静置于水平轨道上GH处，现让质量、电阻的导体棒b从距磁场边界MK为处静止释放，已知导体棒b到达倾斜导轨底部前已匀速，滑到水平轨道上与a棒发生弹性碰撞，碰后a棒向右运动后停下，已知，重力加速度，导轨电阻不计，求：
(1)导体棒b刚进入磁场时b棒两端的电压；
(2)导体棒b在倾斜导轨上运动的时间；
(3)导体棒b与水平粗糙导轨间的动摩擦因数。
【练3】（2025·浙江嘉兴·一模）如图所示，AB、CD是固定在水平桌面上，相距的光滑平行金属导轨（足够长），导轨间存在着竖直向下的磁感应强度为的匀强磁场。AC间串接一阻值的定值电阻，质量分别为，的两导体棒a、b垂直导轨放置，其长度比导轨间距略大，其中a棒阻值，b棒为超导材料。以a棒初始所在位置为坐标原点O，水平向右为正方向建立x轴（x轴平行于两金属导轨），b棒初始所在位置坐标。在两导轨间x轴坐标处存在一个弹性装置，金属棒与弹性装置碰撞会瞬间等速率回弹。现锁定b棒，闭合电键S，a棒在水平向右的恒力F作用下，以的速度向右匀速运动，当a棒即将与b棒碰撞前瞬间，b棒的锁定被解除，且同时撤去外力F。已知a、b两棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻、接触电阻不计。求：
(1)恒力F的大小；
(2)若a、b两棒相碰后即粘合在一起，两棒最终静止时的x轴坐标？
(3)由于环境温度上升，导体棒b的超导属性消失，电阻变为，将恒力F变为，使a棒仍以的速度向右匀速运动。在碰撞前一瞬间，将开关S断开并给b棒一个向左的初速度2m/s，a棒与b棒发生弹性碰撞，则最终a、b两棒的速度大小各为多少？从a、b两棒发生弹性碰撞至最终稳定的过程中，导体棒b上产生的焦耳热？
考点梳理4 不等间距上的双棒模型
母题考点四 不等间距上的双棒模型
举一反三
【练1】（2025·湖南·一模）如图所示，AB、CD和EI、GH为固定的平行且足够长的光滑金属导轨，AB、CD相距2L且与水平面的夹角为，EI、GH相距L水平放置，导轨之间都有大小为B、垂直向下的匀强磁场。质量均为m，长度分别为2L、L的金属棒MN和PQ垂直放置在导轨上。已知两杆在运动过程中始终垂直于导轨并与导轨保持接触良好，MN和PQ的电阻分别为2R、R，导轨的电阻不计，重力加速度大小为g。现MN从静止释放，在稳定之前还没到底部，则（ ）
A．若PQ固定，MN的最大速度为
B．若PQ固定，则最终PQ两端的电压为
C．若PQ不固定，则最终PQ的速度是MN的两倍
D．若PQ不固定，则最终PQ的加速度是MN的两倍
【练2】（2025·云南昆明·模拟预测）如图，光滑平行轨道abcd的曲面部分是半径为R的四分之一圆弧，水平部分位于竖直向上、大小为B的匀强磁场中，导轨Ⅰ部分两导轨间距为2L，导轨Ⅱ部分两导轨间距为L，将质量均为m的金属棒P和Q分别置于轨道上的ab段和cd段，且与轨道垂直。P、Q棒电阻均为r，导轨电阻不计。Q棒静止，让P棒从圆弧最高点静止释放，当P棒在导轨Ⅰ部分运动时，Q棒已达到稳定运动状态。两棒在运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，重力加速度为g，求；
(1)P棒刚进入磁场时，Q棒的加速度大小；
(2)Q棒从开始运动到第一次速度达到稳定，该过程通过P棒的电荷量；
(3)从P棒进入导轨Ⅱ运动到再次稳定过程中，P棒中产生的热量。
【练3】（2025·湖南·一模）如图所示，固定的两条足够长的倾斜光滑平行导轨和，上部宽轨间距为，下部窄轨间距为，导轨电阻不计，两导轨与水平方向的夹角。宽轨与窄轨分别处于垂直导轨平面方向向上、向下的匀强磁场中，磁感应强度大小均为。两根金属棒分别垂直导轨放置在宽轨和窄轨上。金属棒被锁定，、两棒接入导轨间的电阻分别为和，质量分别为和，金属棒a用绝缘轻质细线跨过光滑定滑轮和一个质量为的小物块相连。金属棒距离滑轮足够远，导轨上方的细线与导轨平行。物块开始时距地面足够远并在外力作用下保持静止。现撤去外力，物块由静止开始竖直向下运动。当物块的速度为（未匀速）时，立即烧断细线且解除金属棒的锁定，再经过时间，金属棒沿导轨下滑的距离为，金属棒沿斜面上滑的速率第一次变为。已知重力加速度为，两金属棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好。则（ ）
A．撤去外力瞬间，细线对的拉力大小为
B．烧断细线后的瞬间，金属棒的加速度大小为
C．烧断细线后经过时间棒的速度大小为
D．烧断细线后经过时间，金属棒上滑的距离为
模拟演练
1．（2025·海南海口·模拟预测）如图所示，在水平面上固定光滑导轨、，之间用导线连接，两导轨间距是。两导轨间有磁感应强度大小为、方向竖直向上的匀强磁场，虚线是匀强磁场的左、右边界，在磁场左边导轨上有一根质量为、有效电阻为的导体棒，导体棒以初速度向右进入磁场，并以速度从右边穿出磁场，其余电阻不计，下列说法正确的是（ ）
A．导体棒在磁场中做匀减速直线运动
B．通过导体棒的电量是
C．导体棒穿过磁场的过程中产生的热量是
D．匀强磁场左、右边界之间的距离是
2．（2025·云南昭通·模拟预测）如图所示，两条相同的半圆弧形光滑金属导轨固定在水平桌面上，其所在平面竖直且平行，导轨最高点到水平桌面的距离等于半径，最低点的连线与导轨所在竖直面垂直。空间充满竖直向下的匀强磁场（图中未画出），导轨左端由导线连接。现将具有一定质量和电阻的金属棒平行放置在导轨上图示位置，由静止释放。运动过程中始终平行于且与两导轨接触良好，不考虑自感影响，下列说法正确的是（ ）
A．最终在附近做简谐运动
B．从释放到第一次到达位置过程中，、两端中端电势更高
C．从释放到第一次到达位置过程中，的速率先减小后增大
D．从释放到第一次到达位置过程中，的速率先增大后减小
3．（2025·甘肃甘南·模拟预测）如图所示，与水平面夹角为θ的绝缘斜面上固定有光滑U型金属导轨，导轨间距为L，导轨底端接阻值为R的定值电阻。质量为m、阻值也为R的导体杆MN沿导轨向下运动，以大小为v的速度进入方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场区域，在磁场中运动一段时间t后，达到最大速度2v。运动过程中杆与导轨垂直并接触良好，导轨的电阻忽略不计，重力加速度为g，则杆在磁场中沿导轨加速下滑的距离为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2025·湖南湘潭·模拟预测）我国自主研发的“电磁阻尼器”广泛应用于高速列车制动系统。其简化模型如图所示，水平平行光滑金属导轨间距为L，导轨间接有阻值为R的定值电阻，整个装置处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度为B。一质量为m的金属棒垂直置于导轨上.现给金属棒一个水平向右的初速度，运动过程中金属棒始终与导轨垂直且接触良好，不计导轨和金属棒的电阻，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．金属棒运动过程中，通过定值电阻的感应电流方向由b到a
B．金属棒运动过程中，加速度大小随速度减小而增大
C．金属棒从开始运动到停止，通过定值电阻的电荷量为
D．金属棒运动的最大距离为
5．（2025·宁夏吴忠·二模）如图所示，绝缘平面上固定两条足够长的“”字型光滑平行导轨，导轨间距为，左右两侧导轨与水平面夹角分别为，均处在竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度分别为，不计导轨电阻。两侧顶端分别用外力固定质量为，的导体棒、，电阻分别为，导体棒垂直于导轨，且运动过程中始终未脱离导轨，重力加速度为，以下说法正确的是（ ）
A．若棒具有沿斜面向上的初速度，则棒由静止释放瞬间加速度可能为零
B．若棒具有沿斜面向上的初速度，则棒由静止释放瞬间加速度可能为零
C．若棒始终固定，棒由静止释放后的稳定速度为
D．若两导体棒同时静止释放，两棒最终不可能同时匀速下滑
6．（2024·广西柳州·一模）如图所示，在竖直向下的匀强磁场中，水平放置的足够长的粗糙U型金属框右端连接一阻值为R的电阻，质量为m、电阻为r的导体棒ab置于金属框上。ab以水平向右的初速度v0开始运动，最终停在金属框上，已知金属框的电阻忽略不计。在此过程中，下列说法正确的是（ ）
A．电阻R的M端的电势比N端的电势低
B．导体棒中感应电流的方向为a→b
C．电阻R消耗的总电能为
D．导体棒克服安培力做的总功小于
7．（2025·河北保定·一模）固定在水平面内足够长的光滑平行金属直导轨与电动势E=12V的直流电源、电容C=0.1F的电容器和阻值R=1Ω的定值电阻组成了如图所示的电路。空间内存在方向竖直向上、磁感应强度大小B=1T的匀强磁场，质量m=0.1kg、阻值r=0.5Ω的金属棒 ab 静置在水平直导轨上，金属棒 ab 的长度和导轨间距均为L=1m。闭合开关，给电容器充电，经足够长时间后断开，同时将 接“1”，金属棒 ab从静止开始先加速后匀速，匀速运动后将接“2”，金属棒 ab 做减速运动并最终静止在导轨上。已知重力加速度 导轨电阻不计，金属棒 ab始终与导轨垂直且接触良好，下列说法正确的是（ ）
A．电容器完成充电时所带的电荷量为 120C
B．金属棒 ab匀速运动时的速度大小为3m /s
C．金属棒 ab 加速过程中电容器放出的电荷量为0.6C
D．金属棒 ab减速过程中运动的位移大小为0.9m
8．（2025·浙江金华·一模）如图甲所示，质量为的金属杆放置在光滑的水平导轨上，接入电路的有效长度为，整个回路的电阻恒为，整个装置处在方向竖直向上、磁感应强度大小为的匀强磁场中。金属棒在水平向右的拉力作用下，向右运动的速度与时间关系图像如图乙所示，图中的曲线是正弦形状，整个过程金属杆始终与导轨垂直且接触良好。图中、均为已知量，下列说法正确的是（ ）
A．若时刻拉力，则此时金属棒的加速度大小为
B．0至时间内，拉力做的功等于
C．若图乙阴影的面积为，则0至时间内，拉力的平均值大小为
D．0至时间内，回路中产生的热量为
9．（2025·河北·三模）如图所示，MN与PQ为在同一水平面内的平行光滑金属导轨，间距l=0.5m，电阻不计，在导轨左端接阻值为R=0.6Ω的电阻。整个金属导轨置于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B=1T。将质量m=2kg，电阻的金属杆 ab垂直放置在导轨上。金属杆 ab在水平拉力F 的作用下由静止开始向右做匀加速运动，开始时，水平拉力为，运动过程中金属杆始终垂直导轨并与导轨接触良好，则下列说法正确的是（ ）
A．4s末回路中的电流为2A
B．回路中有顺时针方向的感应电流
C．若4s内电阻R上产生的热量为6J，则水平拉力F做的功为14J
D．4s内通过电阻R电荷量为2C
10．（25-26高三上·海南儋州·阶段练习）如图所示，两条相距d的足够长的平行光滑金属导轨位于同一水平面内，其左端接阻值为R的定值电阻。电阻为R长为d的金属杆ab在导轨上以初速度v0水平向左运动，其左侧有边界为PQ、MN的匀强磁场，磁感应强度大小为B。该磁场以恒定速度v0匀速向右运动，金属杆进入磁场后，在磁场中运动t时间后达到稳定状态，导轨电阻不计，则（ ）
A．当金属杆刚进入磁场时，电流方向为顺时针
B．当金属杆刚进入磁场时，杆两端的电压为Bdv0
C．t时间后金属杆达到稳定状态时的速度等于0
D．t时间内金属杆所受安培力做的功等于0
11．（18-19高二下·新疆哈密·期中）如图所示，足够长的平行光滑U形导轨倾斜放置，所在平面的倾角θ＝37°，导轨间的距离L＝1.0m，下端连接R＝1.6Ω的定值电阻，导轨电阻不计，所在空间存在垂直于导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度B＝1.0T。质量m＝0.5kg、电阻r＝0.4Ω的金属棒ab垂直放置于导轨上，现用沿导轨平面且垂直于金属棒、大小为F＝5.0N的恒力使金属棒ab从静止开始沿导轨向上滑行且始终与导轨接触良好，当金属棒滑行x＝2.8m后速度保持不变。求：（sin37°＝0.6，cs37°＝0.8，g＝10m/s2）
(1)金属棒匀速运动时的速度大小v；
(2)金属棒从静止开始到匀速运动的过程中，电阻R上产生的热量QR。
12．（2025·天津和平·模拟预测）如图甲所示，光滑且足够长的平行金属导轨、固定在同一水平面上，两导轨间距，导轨的电阻不计，其间连接有固定电阻，导轨上停放一质量为，电阻的金属杆、整个装置处于磁感应强度为的匀强磁场中，磁场的方向竖直向下.现用一外力沿水平方向拉金属杆，使之由静止开始运动，电压传感器可将两端的电压即时采集并输入电脑，获得电压随时间的变化关系如图乙所示.
(1)试证明金属杆做匀加速直线运动，并计算加速度的大小；
(2)求第末外力的瞬时功率；
(3)如果水平外力从静止开始拉动杆所做的功为，求回路中定值电阻上产生的焦耳热是多少？
13．（2025·河北邯郸·模拟预测）某科研小组利用如图所示装置研究动能回收、储能实验。实验装置由等长水平平行光滑金属导轨MN、PQ（导轨间距为L），质量为m、粗细均匀的导体棒，以及磁感应强度大小为B、方向垂直于轨道平面向上的匀强磁场组成。导轨右端通过导线与储能装置连接，该装置工作时可等效为阻值为R的定值电阻。实验中，导体棒以初速度沿导轨水平进入磁场区域，忽略导体棒、导线和导轨的电阻及空气阻力。
(1)求导体棒刚进入磁场时，导体棒中感应电流的大小；
(2)若导体棒离开导轨时速度减为，求导轨MN的长度；
(3)在（2）的条件下，若用始末速度的算术平均值代替平均速度，求该过程中储能装置储能的平均功率。
14．（2025·浙江金华·一模）如图所示，水平面内固定有相互平行的和两条光滑导轨，两导轨相距，段与段长度相同且分别与段和段绝缘，绝缘位置左右两段导轨均足够长，导轨左端与直流电源相连，电源电动势，两根长度均为的导体棒、分别放置在段和段上，与导轨垂直且接触良好。两导体棒质量均为2kg，电阻均为，两导轨所在区域存在与导轨平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小为。现闭合开关S，导体棒向右运动，到达端前已经匀速。不计、与、段电阻，设运动过程中两棒不会相撞。
(1)求导体棒进入段时的速率；
(2)求导体棒的最大速率及到达最大速度时产生的焦耳热；
(3)计算导体棒进入段后到最终稳定的过程中，流过导体棒的电荷量及两导体棒相互靠近的距离。
15．（2025·福建·模拟预测）我国第三艘航母“福建号”已装备最先进的电磁弹射技术。某兴趣小组对其加速和减速阶段简化为下述过程。两根足够长的平直轨道AB和CD固定在水平面上，其中PQ左侧为光滑金属轨道，轨道电阻忽略不计，AC间接有定值电阻R，PQ右侧为粗糙绝缘轨道。沿CD轨道建立x轴、Q点为坐标原点；PQ左侧分布有垂直于轨道平面向下的匀强磁场B0，PQ右侧为沿x轴渐变的磁场，垂直于x轴方向磁场均匀分布。现将一质量为m，长度为L，电阻为R的金属棒ab垂直放置在轨道上，与PQ距离为s。PQ的右方还有质量为3m，各边长均为L的U形框cdef，其电阻为3R，且与左边金属轨道绝缘。ab棒在恒力F作用下向右运动，到达PQ前已匀速，运动到PQ处时撤去恒力F，随后与U形框发生碰撞，碰后连接成“口”字形闭合线框，并一起运动，后续运动中受到摩擦阻力f大小与速度满足。已知m=1kg，F=2N，s=5m，L=1m，R=1Ω，B0=1T，k=1T/m，求：
(1)棒ab与U形框碰撞前速度的大小v0；
(2)棒ab与U形框碰撞前通过电阻R的电量；
(3)“口”字形线框停止运动时，fc边的坐标xfc；
(4)U形框在运动过程中产生的焦耳热。
16．（2025·陕西西安·模拟预测）如图所示为研究电容进行动能回收的实验装置，水平面内足够长的两光滑平行金属直导轨，左侧有C=0.1F的电容器和R=0.1Ω的定值电阻组成的电路。右端和竖直面内两半径r=0.45m的光滑圆弧轨道在P、Q处平滑连接，PQ与直导轨垂直，轨道仅在PQ左侧空间存在竖直向上，磁感应强度大小为B=1T的匀强磁场。将质量为m1=0.1kg、电阻为R0=0.1Ω的金属棒M静置在PQ处，另一质量为m2=0.2kg的绝缘棒N静置于圆弧轨道最高点，图中棒长和导轨间距均为L=1m，M距R足够远，金属导轨电阻不计。开始时，单刀双掷开关S接“1”，择机释放绝缘棒N，M、N在PQ处发生弹性碰撞（碰撞时间极短），随后M在磁场中向左运动并给电容器充电，M、N始终与导轨垂直且接触良好，当M速度稳定时触发单刀双掷开关S接“2”，并锁定N使之停止，取重力加速度g=10m/s2，求：
(1)M、N在PQ处碰撞结束瞬间各自的速度大小；
(2)M稳定时的速度大小v0和电容器的电荷量q；
(3)单刀双掷开关S接“2”后金属棒M向左运动的最大距离的d和R产生的焦耳热。
17．（2025·浙江温州·一模）如图所示，间距的导轨、水平放置，、为半径的半圆弧，其中是一小段的绝缘材料，其余部分均导电，水平轨道和半圆弧轨道平滑连接。处连接一充满电的电容器，电容上垂直导轨放置两根质量均为的导体棒，棒放在绝缘处，棒在棒左侧且相距足够远，连接有一的定值电阻。整个装置处于竖直向上磁感应强度的匀强磁场中，接通开关，a棒被弹射出后与棒发生弹性碰撞，碰后给棒施加外力使其沿轨道匀速率运动，棒运动至最低点时受到的支持力，运动到时撤去外力后使其沿水平轨道自由滑行直至停止，运动过程中a、b棒始终与导轨垂直且接触良好。不计其他电阻，忽略一切阻力，取，求：
(1)棒运动到最低点回路中的感应电流大小；
(2)电容器初始时的电压及弹射棒释放的电荷量；
(3)整个过程中上产生的焦耳热。
核心考点
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc24374" 考点梳理1 “单棒＋电阻”模型与“单棒＋电容器”模型 PAGEREF _Tc24374 \h 1
\l "_Tc1216" 母题考点一 “单棒＋电阻”模型与“单棒＋电容器”模型 PAGEREF _Tc1216 \h 2
\l "_Tc13293" 考点梳理2 导线框模型 PAGEREF _Tc13293 \h 9
\l "_Tc18420" 母题考点二 导线框模型 PAGEREF _Tc18420 \h 10
\l "_Tc25704" 考点梳理3 双棒在外力作用下模型 PAGEREF _Tc25704 \h 16
\l "_Tc3557" 母题考点三 法拉第电磁感应定律的理解及应用 PAGEREF _Tc3557 \h 17
\l "_Tc15248" 考点梳理4 不等间距上的双棒模型 PAGEREF _Tc15248 \h 25
\l "_Tc26" 母题考点四 不等间距上的双棒模型 PAGEREF _Tc26 \h 26
“单棒＋电阻”模型与“单棒＋电容器”模型
模型
示意图
力学观点
模
型
一
导轨水平光滑，间距为L，电阻不计，杆ab初速度为v0，质量为m，电阻不计
导体杆以速度v切割磁感线产生感应电动势E＝BLv，电流I＝eq \f(E,R)＝eq \f(BLv,R)，安培力F安＝BIL＝eq \f(B2L2v,R)，做减速运动，v⇒F安⇒a，当v＝0时，F安＝0，a＝0，杆保持静止
模
型
二
导轨水平光滑，间距为L，电阻不计，单杆ab质量为m，电阻不计，拉力F恒定
开始时a＝eq \f(F,m)，杆ab速度v⇒感应电动势E＝BLv⇒I⇒安培力F安＝BIL，由F－F安＝ma知a，当a＝0时，v最大，vm＝eq \f(FR,B2L2)
模
型
三
导轨水平光滑，间距为L，电阻不计，单杆ab质量为m，电阻不计，拉力F恒定
开始时a＝eq \f(F,m)，杆ab速度v⇒感应电动势E＝BLv，经过Δt速度为v＋Δv，此时感应电动势E′＝BL(v＋Δv)，Δt时间内流入电容器的电荷量Δq＝CΔU＝C(E′－E)＝CBLΔv，电流I＝eq \f(Δq,Δt)＝CBLeq \f(Δv,Δt)＝CBLa，安培力F安＝BLI＝CB2L2a，F－F安＝ma，a＝eq \f(F,m＋B2L2C)，所以杆以恒定的加速度匀加速运动(若回路有电阻，则杆不做匀加速运动)
【母题1】（2025·河北·高考真题）某电磁助推装置设计如图，超级电容器经调控系统为电路提供1000A的恒定电流，水平固定的平行长直导轨处于垂直水平面的匀强磁场中，a可视为始终垂直导轨的导体棒，b为表面绝缘的无人机。初始时a静止于MM′处，b静止于a右侧某处。现将开关S接1端，a与b正碰后锁定并一起运动，损失动能全部储存为弹性势能。当a运行至NN′时将S接2端，同时解除锁定，所储势能瞬间全部转化为动能，a与b分离。已知电容器电容C为10F，导轨间距为0.5m，磁感应强度大小为1T，MM′到NN′的距离为5m，a、b质量分别为2kg、8kg，a在导轨间的电阻为0.01Ω。碰撞、分离时间极短，各部分始终接触良好，不计导轨电阻、摩擦和储能耗损，忽略电流对磁场的影响。
(1)若分离后某时刻a的速度大小为10m/s，求此时通过a的电流大小。
(2)忽略a、b所受空气阻力，当a与b的初始间距为1.25m时，求b分离后的速度大小，分析其是否为b能够获得的最大速度；并求a运动过程中电容器的电压减小量。
(3)忽略a所受空气阻力，若b所受空气阻力大小与其速度v的关系为f = kv2（k = 0.025N·s2/m2），初始位置与（2）问一致，试估算a运行至NN′时。a分离前的速度大小能否达到（2）问中分离前速度的99%，并给出结论。（0.992 = 0.980l）
【答案】(1)500A
(2)25m/s，能，40V
(3)能
【详解】（1）分离后当导体a的速度大小为10m/s时，根据法拉第电磁感应定律有
通过a的电流
解得
（2）规定水平向右为正方向，从运动至b位置过程中，由安培力提供加速度，则
a、b间初始距离
碰撞前a的速度
解得，，
a与b碰撞过程中系统动量守恒，有
储存的弹性势能为
解得，
a、b碰后一起运动至过程中
由安培力提供加速度有
位移为
分离前速度为
解得，，
a、b分离过程，由动量守恒定律有
由能量守恒定律有
解得，
在整个过程中安培力大小恒定，安培力做功大小为一定值，若a、b分离时a的速度为零，则此时b能获得最大速度，最大速度为25m/s；
上述过程中通过导体棒a的电荷量
电容器电压的减少量
解得
（3）规定水平向右为正方向，a、b碰后共同速度为，若无空气阻力，到达的速度为，其图像如图所示
若考虑阻力，则实际图像应在图中所示图像的下方，可知克服阻力做的功为
由动能定理有
解得
可知a、b分离前的速度大小能达到（2）问中分离前速度的99%。
导线框模型
模
型
一
示意图
在安培力作用下穿越磁场
位移
速度
电荷
量的
计算
动量不守恒，可用动量定理分析导线框的位移、速度、通过导线横截面的电荷量：
(1)求电荷量或速度：－Beq \x\t(I)·LΔt＝mv2－mv1，q＝eq \x\t(I)Δt；
(2)求位移：－eq \f(B2L2\x\t(v)Δt,R总)＝0－mv0，即－eq \f(B2L2x,R总)＝0－mv0
模
型
二
示意图
在恒力F(包括重力mg)和安培力作用下穿越磁场
时间的
计算
求时间：①－Beq \x\t(I)LΔt＋F其他·Δt＝mv2－mv1，即－BLq＋F其他·Δt＝mv2－mv1
已知电荷量q，F其他为恒力，可求出变加速运动的时间；
②－eq \f(B2L2\x\t(v)Δt,R总)＋F其他·Δt＝mv2－mv1，即－eq \f(B2L2x,R总)＋F其他·Δt＝mv2－mv1
若已知位移x，F其他为恒力，也可求出变加速运动的时间
【母题2】（2025·江西·高考真题）如图所示，足够长的传送带与水平面的夹角为，速率恒为，宽为的区域存在与传送带平面垂直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。边长为、质量为m、电阻为R的正方形线框置于传送带上，进入磁场前与传送带保持相对静止，线框边刚离开磁场区域时的速率恰为。若线框或边受到安培力，则其安培力大于。线框受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，动摩擦因数，边始终平行于，重力加速度为g。下列选项正确的是（ ）
A．线框速率的最小值为
B．线框穿过磁场区域产生的焦耳热为
C．线框穿过磁场区域的时间为
D．边从进入到离开磁场区域的时间内，传送带移动距离为
【答案】AD
【详解】A．在边进入磁场而边未进入磁场的过程中，线框受到沿传送带平面向上的安培力和沿传送带平面向下的重力分力。若线框相对传送带滑动，则滑动摩擦力为，而，故
已知线框受到的安培力
即
因此线框将相对传送带向上滑动，滑动摩擦力方向沿传送带平面向下。线框在沿传送带平面的安培力、重力分力、摩擦力作用下做减速运动。在边进入磁场到边离开磁场的过程中，因线框速度小于传送带速度，故其所受滑动摩擦力方向沿传送带平面向下。又因线框不受安培力，所以其在沿传送带平面的滑动摩擦力和重力分力作用下做匀加速直线运动。综上分析可知，当边刚进入磁场时，线框有最小速度。设线框加速度为，根据牛顿第二定律有
边离开磁场时速度恰好为，则有
联立解得，故A正确；
B．在边进入磁场到边进入磁场的过程中，由动能定理有
则该过程产生的焦耳热
在边离开磁场到边离开磁场的过程中，线框产生的焦耳热也为。因此，线框穿过磁场区域产生的焦耳热为，故B错误；
C．设边进入磁场到边进入磁场的时间为，根据闭合电路欧姆定律得
根据动量定理有
设边进入磁场到边离开磁场的时间为，有
因为边离开磁场到边离开磁场所用时间也为，所以线框穿过磁场区域的总时间
联立解得，故C错误；
D．边从进入到离开磁场区域的时间
该段时间内传送带移动的距离，故D正确。
故选AD。
1．双棒在外力作用下模型
光滑的平行导轨
不光滑的平行导轨
示意
图
质量mb＝ma
电阻rb＝ra
长度Lb＝La
质量mb＝ma
电阻rb＝ra
长度Lb＝La
摩擦力Ffb＝Ffa
运动
分析
开始时，两杆受安培力做变加速运动；稳定时，两杆以相同的加速度做匀加速运动
开始时，若Ff2Ff，a杆先变加速后匀加速运动，b杆先静止后变加速最后和a杆同时做匀加速运动，且加速度相同
运动
图像
能量
观点
F做的功转化为两杆的动能和内能：WF＝ΔEk＋Q
F做的功转化为两杆的动能和内能(包括电热和摩擦热)：WF＝ΔEk＋Q电＋Qf
动量
观点
两杆组成的系统动量不守恒
对单杆可以用动量定理
两杆组成的系统动量不守恒
对单杆可以用动量定理
【母题3】（2025·海南·高考真题）间距为L的金属导轨倾斜部分光滑，水平部分粗糙并平滑相接，导轨上端有电源和开关，倾斜导轨与水平面夹角，处于垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，水平导轨处于垂直竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小均为。两相同导体棒、与水平导轨的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，两棒的质量均为，接入电路的电阻均为。棒仅在水平导轨上运动，两导体棒在运动过程中始终与导轨垂直并接触良好，且不会碰撞。忽略金属导轨的电阻，重力加速度为。
(1)锁定水平导轨上的棒，闭合开关，棒静止在倾斜导轨上，求通过棒的电流；断开开关，同时解除棒的锁定，当棒下滑距离为时，棒开始运动，求棒从解除锁定到开始运动过程中产生的焦耳热；
(2)此后棒在下滑过程中电流达到稳定，求此时棒与棒速度大小之差；
(3)棒中电流稳定之后继续下滑，从棒运动到水平导轨开始计时，时刻棒速度为0，加速度不为0；此后某时刻棒的加速度为0，速度不为0，求从开始到cd棒加速度为0时刻，棒与的路程之差。
【答案】(1)，
(2)
(3)
【详解】（1）锁定水平导轨上的棒，闭合开关，棒静止在倾斜导轨上，导轨倾斜部分光滑，则棒只受重力、导轨给的支持力、安培力；根据平衡条件可得
又
解得通过棒的电流为
断开开关，同时解除棒的锁定，设当棒下滑距离为时速度为，棒开始运动，此时回路中的电流为，此时对cd棒有
棒切割磁场，产生电动势，
回路电流
对cd棒有
棒从解除锁定到开始运动过程中，导体棒、电阻相同，通过的电流相同，则棒产生的焦耳热与ab棒产生的焦耳热相等，整个过程根据能量守恒可得
联立解得棒产生的焦耳热为
（2）棒从解除锁定到开始运动过程中，棒受到的安培力向左，则cd棒向左运动，则cd棒切割磁场，端为高电势，故回路总电动势
电路中电流
对棒
对棒
有
当电流达到稳定时，两棒的速度差恒定，此时两棒的加速度相等，联立解得此时、棒的速度大小之差为
（3）分析可知从开始到时刻，两棒整体所受的合外力为零，故该过程系统动量守恒，设时刻ab棒的速度为，棒速度为0，可知
解得
设某时刻棒的加速度为0时，ab棒速度为，cd棒速度为，此时棒的加速度为零，可得①
其中
分析可知此时两导体棒产生的电动势方向相反，可得②
从时刻到棒的加速度为0时，对两棒分别根据动量定理有，
通过导体棒的电荷量
则可得，
两式相加得③
同时有 ④
联立①②③④可得从开始到cd棒加速度为0时刻，、的路程之差为
不等间距上的双棒模型
光滑不等距导轨
示意
图
质量mb＝ma
电阻rb＝ra
长度Lb＝2La
运动情况分析
杆b受安培力做变减速运动，杆a受安培力做变加速运动，稳定时，两杆的加速度均为零，两杆的速度之比为1∶2
动量
关系
两杆组成的系统动量不守恒
对单杆可以用动量定理
【母题4】（2023·辽宁·高考真题）如图，两根光滑平行金属导轨固定在绝缘水平面上，左、右两侧导轨间距分别为d和2d，处于竖直向上的磁场中，磁感应强度大小分别为2B和B。已知导体棒MN的电阻为R、长度为d，导体棒PQ的电阻为2R、长度为2d，PQ的质量是MN的2倍。初始时刻两棒静止，两棒中点之间连接一压缩量为L的轻质绝缘弹簧。释放弹簧，两棒在各自磁场中运动直至停止，弹簧始终在弹性限度内。整个过程中两棒保持与导轨垂直并接触良好，导轨足够长且电阻不计。下列说法正确的是（ ）

A．弹簧伸展过程中，回路中产生顺时针方向的电流
B．PQ速率为v时，MN所受安培力大小为
C．整个运动过程中，MN与PQ的路程之比为2：1
D．整个运动过程中，通过MN的电荷量为
【答案】AC
【详解】A．弹簧伸展过程中，根据右手定则可知，回路中产生顺时针方向的电流，选项A正确；
B．任意时刻，设电流为I，则PQ受安培力
方向向左；MN受安培力
方向向右，可知两棒系统受合外力为零，动量守恒，设PQ质量为2m，则MN质量为m， PQ速率为v时，则
解得
回路的感应电流
MN所受安培力大小为
选项B错误；
C．两棒最终停止时弹簧处于原长状态，由动量守恒可得
可得则最终MN位置向左移动
PQ位置向右移动
因任意时刻两棒受安培力和弹簧弹力大小都相同，设整个过程两棒受的弹力的平均值为F弹，安培力平均值F安，则整个过程根据动能定理
可得
选项C正确；
D．两棒最后停止时，弹簧处于原长位置，此时两棒间距增加了L，由上述分析可知，MN向左位置移动，PQ位置向右移动，则
选项D错误。
故选AC。
【点睛】