高考物理二轮复习考点题型归纳训练专题29 动量观点在电磁感应中的应用（2份，原卷版+解析版）

这是一份高考物理二轮复习考点题型归纳训练专题29 动量观点在电磁感应中的应用（2份，原卷版+解析版），共12页。试卷主要包含了动量定理在电磁感应中的应用，动量守恒定律在电磁感应中的应用等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc23303" 题型一 动量定理在电磁感应中的应用 PAGEREF _Tc23303 \h 1
\l "_Tc18160" 类型1 “单棒＋电阻”模型 PAGEREF _Tc18160 \h 1
\l "_Tc7592" 类型2 不等间距上的双棒模型 PAGEREF _Tc7592 \h 20
\l "_Tc18012" 类型3 “电容器＋棒”模型 PAGEREF _Tc18012 \h 32
\l "_Tc4379" 题型二 动量守恒定律在电磁感应中的应用 PAGEREF _Tc4379 \h 41
\l "_Tc16379" 类型1 双棒无外力 PAGEREF _Tc16379 \h 42
\l "_Tc11507" 类型2 双棒有外力 PAGEREF _Tc11507 \h 65
题型一 动量定理在电磁感应中的应用
【解题指导】导体棒或金属框在感应电流所引起的安培力作用下做非匀变速直线运动时，当题目中涉及速度v、电荷量q、运动时间t、运动位移x时常用动量定理求解．
类型1 “单棒＋电阻”模型
【例1】（2023·河北·模拟预测）如图所示，两根电阻不计的光滑平行金属导轨固定于水平面内，导轨左侧接有阻值恒定的电阻R。一电阻不计的导体棒垂直导轨放置于M点，并与导轨接触良好，导轨间存在垂直于导轨平面向下的匀强磁场。现给导体棒一个水平向右的初速度，第一次速度大小为，滑动一段位移到达N点停下来，第二次速度大小为，滑动一段位移后也会停止运动，在导体棒的运动过程中，以下说法正确的是（ ）

A．先后两次运动过程中电阻R上产生的热量之比为
B．先后两次运动过程中的位移之比为
C．先后两次运动过程中流过R的电量之比为
D．导体棒第二次运动经过N点时速度大小为
【答案】BD
【详解】A．根据能量守恒可知，导体棒从开始运动到停下来，动能全部转化为内能，满足
所以生成的热量之比为，故A错误；
BD．设运动过程中任意时刻的速度大小为v，导体棒质量为m，磁感应强度为B，导轨间距为L，电路的总电阻为R，由牛顿第二定律得
在一段极短时间内
结合速度和加速度的定义可得
方程两边对一段时间累积求和，可知发生一段位移x与速度变化的关系为
对于整个过程，有
所以
第二次运动经过N点时，有
解得
故B、D正确；
C．电量的计算满足
所以
故C错误。
故选BD。
【例2】（2023·云南曲靖·统考二模）如图所示，PQ、MN为两根光滑绝缘且固定的平行轨道，两轨道间的距离为L，轨道斜面与水平面成θ角。在矩形abdc内存在方向垂直轨道斜面向下、磁感应强度为B的匀强磁场，ab、cd间的距离为3d。有一质量为m、长为L、宽为d的矩形金属线圈ABCD放置在轨道上，开始时线圈AB边与磁场边界ab重合。现让线圈由静止出发沿轨道下滑，从线圈AB边进入磁场到CD边离开磁场的过程经历的时间为t，线圈ABCD离开磁场过程中流过线圈的电荷量为，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）

A．线圈在磁场中运动的加速度不可能为gsinθ
B．线圈的电阻为
C．线圈CD边刚好通过磁场下边界时，线圈的速度大小为
D．线圈在时间t内电阻的发热量为
【答案】BC
【详解】A．当线圈全部进入磁场中，磁通量不变，感应电流为0，不受安培力作用，做匀加速直线运动，加速度为gsinθ，故A错误；
B．从AB进入磁场到CD边进入磁场的过程中，通过回路的电荷量
线圈的电阻为
故B正确；
C．设线圈CD边刚好通过磁场下边界时，线圈的速度大小为v，根据动量定理可得
线圈进入磁场和离开磁场过程中磁通量会变化，有感应电流产生，线圈全部在磁场中时，磁通量不变化，没有感应电流，而线圈进入磁场和离开磁场过程中磁通量变化量相同，因此穿过整个磁场过程中，流过线圈的总电荷量为
因此
解得线圈的速度大小为
故C正确；
D．由能量守恒定律有
解得
故D错误。
故选BC。
【例3】如图甲所示，固定放置在水平桌面上的两根足够长的光滑金属导轨间的距离为L＝1 m．质量m＝1 kg的直导体棒放在导轨上，且与导轨垂直．导轨左端与阻值R＝4 Ω的电阻相连，其余电阻不计，整个装置放在竖直向上的匀强磁场内，磁感应强度B＝2 T．在t＝0时，一水平向右的恒定拉力F垂直作用于直导体棒，使直导体棒由静止开始向右做直线运动，图乙是描述导体棒运动过程的v－t图像(设导轨足够长)．求：
(1)拉力F的大小；
(2)t＝1.6 s时，导体棒的加速度大小a；
(3)前1.6 s内导体棒的位移大小x.
【答案】 (1)10 N (2)2 m/s2 (3)8 m
【解析】 (1)导体棒的运动速度为v时产生的电动势E＝BLv，闭合回路中的感应电流I＝eq \f(E,R)
导体棒所受安培力FA＝BIL＝eq \f(B2L2v,R)
由题图乙可知，当速度v＝10 m/s时拉力F＝FA，
得F＝10 N.
(2)由题图乙知，t＝1.6 s时，v＝8 m/s，由牛顿第二定律有F－eq \f(B2L2v,R)＝ma，得a＝2 m/s2.
(3)在导体棒的速度为任意值v的一段极短时间Δt内，发生位移Δx，安培力的冲量ΔI＝
－eq \f(B2L2v,R)·Δt＝－eq \f(B2L2,R)Δx
则前1.6 s内安培力的总冲量I＝－eq \f(B2L2,R)x
由动量定理有Ft－eq \f(B2L2,R)x＝mv－0，得x＝8 m.
【例4】（2023春·安徽合肥·高三校联考期中）如图所示，沿水平固定的平行导轨之间的距离为L=1m，导轨的左侧接入定值电阻，图中虚线的右侧存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B=1T。质量为m=1kg、阻值导体棒PQ垂直导轨放置，由时刻开始在导体棒上施加水平方向F=4N的恒力使导体棒向右做匀加速运动，导体棒进入磁场后立即保持外力的功率不变，经过一段时间导体棒以的速度做匀速直线运动，已知整个过程导体棒的速度随时间的变化规律如图乙所示，导体棒始终与导轨保持良好的接触且没有发生转动。重力加速度g=10m/s2。求：
（1）导体棒与导轨之间的动摩擦因数以及定值电阻的阻值；
（2）前8s内导体棒与导轨间因摩擦而产生的热量Q=75J，则该过程中定值电阻上产生的热量为多少？
（3）在第（2）问的前提下，求导体棒减速过程中通过定值电阻的电量q和前8s内水平外力F对导体棒的冲量。

【答案】（1），；（2）；（3），
【详解】（1）根据图像可知，导体棒做匀加速直线运动的加速度为
根据牛顿第二定律可得
解得动摩擦因数为
导体棒刚进入磁场时的拉力功率为
导体棒最终以的速度在磁场中做匀速直线运动，则有
又
，
联立解得
（2）前8s内外力做功为
设回路产生的焦耳热为，根据功能关系可得
解得
则前8s内定值电阻上产生的热量为
（3）在第（2）问的前提下，设导体棒减速过程中的位移为，则有
其中
，
解得
根据
解得导体棒减速过程中通过定值电阻的电荷量为
设前8s内水平外力F对导体棒的冲量为，根据动量定理可得
又
联立解得
【例5】（2023春·广东广州·高三广东实验中学校考阶段练习）随着航空领域的发展，实现火箭回收利用，成为了各国都在重点突破的技术。其中有一技术难题是回收时如何减缓对地的碰撞，为此设计师在返回火箭的底盘安装了电磁缓冲装置。该装置的主要部件有两部分：①缓冲滑块，由高强绝缘材料制成，其内部边缘绕有闭合单匝正方形线圈abcd；②火箭主体，包括绝缘光滑缓冲轨道MN、PQ和超导线圈（图中未画出），超导线圈能产生方向垂直于整个缓冲轨道平面的匀强磁场。当缓冲滑块接触地面时，滑块立即停止运动，此后线圈与火箭主体中的磁场相互作用，火箭主体一直做减速运动直至达到软着陆要求的速度，从而实现缓冲。现已知缓冲滑块竖直向下撞向地面时，火箭主体的速度大小为v0，经过时间t火箭着陆，此时火箭速度为v′；线圈abcd的电阻为R，其余电阻忽略不计；ab边长为l，火箭主体质量为m，匀强磁场的磁感应强度大小为B，重力加速度为g，一切摩擦阻力不计，求：
（1）缓冲滑块刚停止运动时，线圈ab边两端的电势差U；
（2）缓冲滑块刚停止运动时，火箭主体的加速度大小；
（3）火箭主体的速度从v0减到v′的过程中系统产生的电能。

【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）ab边产生电动势
E＝Blv0
因此
（2）安培力
电流为
对火箭主体受力分析可得
Fab－mg＝ma
解得
（3）设下落t时间内火箭下落的高度为h，对火箭主体由动量定理
mgt－＝mv′－mv0
即
mgt－＝mv′－mv0
化简得
h＝
根据能量守恒定律，产生的电能为
E＝
代入数据可得
【例6】（2023春·湖北·高三安陆第一高中校联考阶段练习）汽车的减震器可以有效抑制车辆振动。某同学设计了一个利用电磁阻尼的减震器，其简化的原理如图所示。匀强磁场宽度为，磁感应强度，方向垂直于水平面。一轻弹簧处于水平原长状态垂直于磁场边界放置，右端固定，左端恰与磁场右边界平齐。一宽也为L，足够长的单匝矩形硬金属线框abcd固定在一塑料小车上（图中小车未画出），右端与小车右端平齐，二者的总质量为，线框电阻为使小车带着线框以的速度沿光滑水平面，垂直磁场边界正对弹簧向右运动，ab边向右穿过磁场区域后小车开始压缩弹簧，弹簧始终在弹性限度内。
（1）线框刚进入磁场左边界时，求小车的加速度大小；
（2）求小车向右运动过程中弹簧的最大弹性势能；
（3）通过增加线框的匝数（质量的增加量忽略不计）可以增大安培力作用。若匝数增为n＝10，小车的初速度增为，小车最终能停下来并保持静止吗？若能，求停下来并保持静止的位置；若不能，求小车最终的速度大小。

【答案】（1）2；（2）0.072J；（3）最终能停下来，停下来并保持静止的位置在距离磁场右边界0.05m的位置
【详解】（1）线框刚进入磁场左边界时
得小车的加速度大小
（2）设线圈的ab边穿过磁场时的速度为v，则由动量定理
线圈ab边出离磁场后压缩弹簧，则弹簧最大弹性势能
得
（3）假设线圈ab边能穿过磁场，从刚进入磁场到最终停止，设ab边在磁场中运动的总路程为，全程根据动量定理
则线框先向右压缩弹簧至停止，然后反向运动进入磁场，最终静止，得停止时ab边距离磁场右边界
d＝0.05m
【例7】（2023·天津·校联考模拟预测）如图甲所示，两光滑的平行导轨与水平放置，、两点间接有电阻，导轨间距为，导轨处有两个匀强磁场区域Ⅰ、Ⅱ（分别是和），磁场方向均垂直于导轨平面竖直向上，Ⅱ区是磁感应强度为的恒定磁场区。Ⅰ区磁场的宽度为x1，磁感应强度随时间变化规律如图乙所示。一质量为、长度为、电阻也为的导体棒垂直于导轨放置在Ⅰ区磁场正中央，从时刻开始，导体棒在安培力的作用下向左运动，时刻离开Ⅰ区时速度为，最后离开Ⅱ区时速度为。求：
（1）时刻，导体棒受到的安培力大小；
（2）导体棒穿越Ⅱ区磁场的过程中，电阻上产生的焦耳热；
（3）Ⅱ区磁场的宽度。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）时刻，导体棒所在回路的感应电动势
回路的电流
导体棒受到的安培力大小
解得
（2）导体棒穿越Ⅱ区磁场的过程中，产生的总的焦耳热
电阻上产生的焦耳热
（3）金属棒经过磁场Ⅱ过程中有动量定理
其中
解得
【例8】（2023春·广东深圳·高三红岭中学校考阶段练习）如图所示，两根足够长的平行光滑金属导轨、间距，其电阻不计，两导轨及其构成的平面均与水平面成角，、两端接有的电阻。一金属棒垂直导轨放置，两端与导轨始终有良好接触，已知的质量，电阻，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度大小。在平行于导轨向上的拉力作用下，以初速度沿导轨向上开始运动，可达到最大速度。运动过程中拉力的功率恒定不变，重力加速度。
（1）求金属棒速度最大时所受安培力的大小及拉力的功率；
（2）开始运动后，经速度达到，此过程中电阻中产生的焦耳热为，求该过程中沿导轨的位移大小；
（3）金属棒速度达到后，立即撤去拉力，棒回到出发点时速度大小，求该过程中棒运动的时间。
【答案】（1），；（2）；（3）
【详解】
（1）在棒运动过程中，由于拉力功率恒定，棒做加速度逐渐减小的加速运动，加速度为零时，速度达到最大，设此时拉力大小为，安培力大小为，由平衡条件得
此时棒产生的感应电动势为
设回路中感应电流为，根据闭合电路欧姆定律得
棒受到的安培力大小为
拉力的功率
联立以上各式解得
，
（2）ab棒从到的过程中，由动能定理得
电阻中产生的焦耳热为
因，则金属棒产生的焦耳热也为
则此过程中克服安培力做功
解得
（3）设撤去拉力后，金属棒上滑的位移大小为，所用时间为，下滑时所用时间为。撤去拉力后，金属棒上滑的过程，取沿导轨向上为正方向，由动量定理得
此过程中通过金属棒的电荷量为
解得
金属棒下滑的过程，取沿导轨向下为正方向，由动量定理得
此过程中通过金属棒的电荷量为
所求的棒运动的时间
联立解得
【例9】（2023·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）如图，P、Q是两根固定在水平面内的光滑平行金属导轨，间距为L，导轨足够长且电阻可忽略不计。图中EFHG矩形区域有一方向垂直导轨平面向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。在0时刻，两均匀金属棒a、b分别从磁场边界EF、GH进入磁场，速度大小均为；一段时间后，金属棒a、b没有相碰，且两棒整个过程中相距最近时b棒仍位于磁场区域内。已知金属棒a、b长度均为L，电阻均为R，a棒的质量为2m、b棒的质量为m，最终其中一棒恰好停在磁场边界处，在运动过程中两金属棒始终与导轨垂直且接触良好。求：
（1）0时刻a棒的加速度大小；
（2）两棒整个过程中相距最近的距离s；
（3）整个过程中，a棒产生的焦耳热。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）由题知，a进入磁场的速度方向向右，b的速度方向向左，根据右手定则可知，a产生的感应电流方向是E到F，b产生的感应电流方向是H到G，即两个感应电流方向相同，所以流过a、b的感应电流是两个感应电流之和，则有
对a，根据牛顿第二定律有
解得
（2）取向右为正方向，相距最近时，根据系统动量守恒有
解得
此时，电路中感应电流为0，a、b棒一起向右匀速运动，直到b棒出磁场区域；之后b棒不受安培力、a棒受安培力减速直到停下，对a，有
解得
（3）对a、b组成的系统，最终b棒一直做匀速直线运动，根据能量守恒有
解得回路中产生的总热量为
对a、b，根据焦耳定律有
因a、b流过的电流一直相等，所用时间相同，故a、b产生的热量与电阻成正比，即
∶=1∶1
又
解得a棒产生的焦耳热为
类型2 不等间距上的双棒模型
【例1】（2023·山东·模拟预测）如图所示，固定在水平面内的光滑不等距平行轨道处于竖直向上、大小为B的匀强磁场中，ab段轨道宽度为2L，bc段轨道宽度是L，ab段轨道和bc段轨道都足够长，将质量均为m、接入电路的电阻均为R的金属棒M和N分别置于轨道上的ab段和bc段，且与轨道垂直。开始时金属棒M和N均静止，现给金属棒M一水平向右的初速度，不计导轨电阻，则（ ）
A．M棒刚开始运动时的加速度大小为
B．金属棒M最终的速度为
C．金属棒N最终的速度为
D．整个过程中通过金属棒的电量为
【答案】CD
【详解】A．由法拉第电磁感应定律以及闭合电路欧姆定律得
由牛顿第二定律得
联立解得
故A错误；
BC．最终回路中的电流为0，有
对金属棒M和N分别应用动量定理得
联立解得
故B错误；C正确；
D．又
联立解得
故D正确。
故选CD。
【例2】．（2023春·湖北襄阳·高三襄阳五中校考阶段练习）如图所示，用金属制作的曲线导轨与水平导轨平滑连接，水平导轨宽轨部分间距为，有竖直向下的匀强磁场，窄轨部分间距为。有竖直向上的匀强磁场，两部分磁场磁感应强度大小均为。质量均为金属棒M、N垂直于导轨静止放置，现将金属棒M自曲线导轨上h高度处停止释放，两金属棒在运动过程中始终相互平行且与导轨保持良好接触，两棒接入电路中的电阻均为，其余电阻不计，导轨足够长，M棒总在宽轨上运动，N棒总在窄轨上运动，不计所有摩擦。下列说法正确的是（ ）
A．棒刚进入磁场时N棒的加速度
B．N棒的最终速度大小
C．通过M棒的电量
D．N棒产生的热量
【答案】AD
【详解】A．M棒在曲线导轨滑下过程，根据动能定理可得
M棒刚进入磁场时，回路电动势为
回路电流为
对N棒，根据牛顿第二定律可得
解得
故A正确；
BCD．两金属棒最终分别匀速直线运动，则有
，，
可得
分别对M、N应用动量定量，对M有
对N有
解得
、，
全过程能量守恒
且
解得
故BC错误，D正确。
故选AD。
【例3】．（2023·福建泉州·福建省德化第一中学校联考一模）如图，水平面内固定着足够长的光滑平行导轨，导轨宽度是导轨宽度的2倍，导轨宽度为L，导轨处于方向垂直于轨道平面向里的匀强磁场中，金属棒PQ和MN分别垂直导轨放置在导轨段和段上，金属棒PQ和MN的质量之比为2:1，长度分别为2L和L，两金属棒电阻均为R。现给金属棒MN一个向右的初速度，运动过程中两棒始终没有离开各自的导轨段，并与导轨接触良好，其余部分的电阻均不计，则（ ）
A．运动过程中金属棒PQ和MN的加速度大小之比为1:2
B．运动过程中金属棒PQ和MN所受的安培力的冲量大小之比为2:1
C．运动到速度稳定时金属棒PQ和MN的速度之比为1:2
D．运动到速度稳定时金属棒PQ和MN两端的电压之比为2:1
【答案】BC
【详解】A．运动过程中对PQ有
对MN有
所以运动过程中加速度大小之比为1∶1，故A错误；
B．因为运动过程中PQ所受安培力大小为MN的两倍，在相同时间内安培力的冲量大小之比，故B正确；
C．金属棒运动到速度稳定时有
故运动到速度稳定时，金属棒PQ和MN的速度之比
故C正确；
D．P、M两点电势相等，Q、N两点电势相等，任意时刻都有
即金属棒PQ和MN两端的电压之比为1∶1，故D错误。
故选BC。
【例4】（2023·河北邯郸·统考三模）两金属棒a、b垂直放置在如图所示足够长的光滑水平导轨上，金属棒a、b的质量分别为m和2m，电阻分别为r1和r2，导轨左边间距为l，右边间距为3l，两导轨所在的区域处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度为B。两金属棒与导轨接触良好且运动时始终与导轨垂直。某时刻金属棒a受到水平向右的恒力F作用，a始终在导轨MN上运动，b始终在导轨PQ上运动，不计导轨电阻，经过足够长的时间后，下列说法正确的是（ ）
A．金属棒a与b均做匀变速直线运动且距离保持不变
B．金属棒a的加速度为
C．流过金属棒a的电流大小为
D．回路中的感应电动势保持不变，大小为
【答案】BC
【详解】A．由于金属棒 a 和 b 整体受恒定的拉力作用，则最终的稳定状态是两棒都将有固定的加速度值，可得金属棒受恒定的安培力，即回路中有恒定的电流，进而得出回路有恒定的电动势。设金属棒 a 和 b 的速度分别为 和 ，由闭合电路的欧姆定律知
电流的变化率
因为恒定，所以
可得
因为最终两金属棒都做匀加速运动，且加速度不同，两棒的距离逐渐减小，A错误；
B．对金属棒a由牛顿第二定律得
对金属棒b由牛顿第二定律得
可解得
，
B正确；
C．将加速度的结果带入公式
解得
C正确；
D．由
可知
D错误。
故选BC。
【例3】（2023·四川成都·校联考三模）如图，电阻不计的光滑金属导轨由直窄轨AB、CD，直宽轨EF、GH和连接直轨BE、GD构成，整个导轨处于同一水平面内，，BE和GD共线且与AB垂直，窄轨间距为，宽轨间距为L。空间有方向竖直向上的匀强磁场，宽轨所在区域的磁感应强度大小为B，窄轨所在区域的磁感应强度大小为2B。棒长均为L、质量均为m、电阻均为R的金属直棒a、b始终与导轨垂直且接触良好。初始时刻，b棒静止在宽轨上，a棒从窄轨上某位置以平行于AB的初速度向右运动。a棒距窄轨右端足够远，宽轨EF、GH足够长。则（ ）

A．a棒刚开始运动时，b棒的加速度大小为
B．经过足够长的时间后，a棒的速度大小为v0
C．整个过程中，通过回路的电荷量为
D．整个过程中，b棒产生的焦耳热为
【答案】AC
【详解】A．a棒刚开始运动时，回路电动势
回路总电阻
由
，
可得b棒的加速度大小为
故A正确；
B．分析知，a棒、b棒向右分别做加速度减小的减速和加速运动，回路电动势
当后，，两棒均做匀速运动，对两棒组成的系统，合外力
系统动量守恒，有
故经过足够长的时间后，a棒的速度大小为，故B错误；
C．整个过程，对b棒由动量定理有
可得通过回路的电荷量为，故C正确；
D．整个过程，对系统由能量守恒定律有
解得
故b棒产生的焦耳热为
故D错误。
故选AC。
【例5】（2023·湖南·模拟预测）如图所示，光滑水平导轨分为宽窄两段（足够长，电阻不计），相距分别为0.5 m和0.3 m，两个材料、粗细都相同的导体棒分别放在两段导轨上，导体棒长度分别与导轨等宽，已知放在窄端的导体棒的质量为0.6 kg，电阻为0.3 Ω，整个装置处于垂直导轨平面向下的匀强磁场中，磁感应强度为1 T，现用的水平向右的恒力拉动，一段时间后，回路中的电流保持不变，下列说法正确的是（ ）

A．在整个运动过程中，两棒的距离先变大后不变
B．回路中稳定的电流大小为5 A
C．若在回路中的电流不变后某时刻，的速度为4 m/s，则的速度为20 m/s
D．若在回路中的电流不变后某时刻，的速度为4 m/s，则整个装置从静止开始运动了3.5 s
【答案】BC
【详解】A．由题意可知，的质量，电阻，分析可知，当电流不变时，有
即
故
所以的加速度始终比的大，两棒的距离一直变大，故A错误；
B．当电流不变时，由牛顿第二定律可知
解得
故B正确；
C．当时，由
可知
故C正确；
D．分别对两导体棒根据动量定理有
联立解得
故D错误。
故选BC。
【例6】(2022·福建龙岩市质量检测)如图所示，两根足够长且电阻不计的平行金属导轨MNPQ和M1N1P1Q1，固定在倾角为θ的斜面上，MN与M1N1距离为L，PQ与P1Q1距离为eq \f(2,3)L。金属棒A、B质量均为m、阻值均为R、长度分别为L与eq \f(2,3)L，金属棒A、B分别垂直放在导轨MM1和PP1上，且恰好都能静止在导轨上。整个装置处于垂直于导轨平面向上、磁感应强度大小为B0的匀强磁场中。现固定住金属棒B，用沿导轨向下的外力F作用在金属棒A上，使金属棒A以加速度a沿斜面向下做匀加速运动。此后A棒一直在MN与M1N1上运动，B棒一直在PQ与P1Q1上静止或运动，重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求：
(1)外力F与作用时间t的函数关系式；
(2)当A棒的速度为v0时，撤去F并解除对B的固定，一段时间后A棒在MN与M1N1上匀速运动，求A棒匀速运动的速度大小。
【答案】 (1)F＝eq \f(Beq \\al(2,0)L2a,2R)t＋ma (2)eq \f(4,13)v0
【解析】 (1)金属棒A、B刚好都能静止在导轨上，对金属棒，有mgsin θ－Ff＝0
金属棒A沿斜面向下做匀加速运动，对金属棒A，有F＋mgsin θ－Ff－F安＝ma
由安培力公式有F安＝ILB0
对金属棒与导轨构成的回路，根据欧姆定律，有I＝eq \f(E,R＋R)
金属棒A切割磁感线，根据法拉第电磁感应定律，有E＝B0Lv
又因为v＝at，联立解得F＝eq \f(Beq \\al(2,0)L2a,2R)t＋ma。
(2)A棒匀速时，安培力为零，电流为零，两棒产生的电动势大小相等，有
B0LvA＝B0(eq \f(2,3)L)vB
在撤去F到A棒匀速的过程中，对A，根据动量定理，有
(mgsin θ－Ff－B0eq \(I,\s\up6(－))L)t1＝mvA－mv0
对B，根据动量定理，有
(mgsin θ－Ff＋B0eq \(I,\s\up6(－))·eq \f(2,3)L)t1＝mvB－0
联立可解出vA＝eq \f(4,13)v0。
类型3 “电容器＋棒”模型
1．无外力充电式
【例1】(多选)如图甲所示，水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨MN和PQ，两导轨间距为l，电阻均可忽略不计．在M和P之间接有阻值为R的定值电阻，导体杆ab质量为m、电阻为r，与导轨垂直且接触良好．整个装置处于方向竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场中．现给杆ab一个初速度v0，使杆向右运动．则( )
A．当杆ab刚具有初速度v0时，杆ab两端的电压U＝eq \f(Blv0R,R＋r)，且a点电势高于b点电势
B．通过电阻R的电流I随时间t的变化率的绝对值逐渐增大
C．若将M和P之间的电阻R改为接一电容为C的电容器，如图乙所示，同样给杆ab一个初速度v0，使杆向右运动，则杆ab稳定后的速度为v＝eq \f(mv0,m＋B2l2C)
D．在C选项中，杆稳定后a点电势高于b点电势
【答案】 ACD
【解析】 当杆ab刚具有初速度v0时，其切割磁感线产生的感应电动势E＝Blv0，杆ab两端的电压U＝eq \f(ER,R＋r)＝eq \f(Blv0R,R＋r)，根据右手定则知，感应电流的方向为b到a，杆ab相当于电源，a相当于电源的正极，则a点电势高于b点电势，A正确；通过电阻R的电流I＝eq \f(Blv,R＋r)，由于杆ab速度减小，则电流减小，所受安培力减小，所以杆ab做加速度逐渐减小的减速运动，速度v随时间t的变化率的绝对值逐渐减小，则通过电阻R的电流I随时间t的变化率的绝对值逐渐减小，B错误；当杆ab以初速度v0开始切割磁感线时，电路开始给电容器充电，有电流通过杆ab，杆在安培力的作用下做减速运动，随着速度减小，安培力减小，加速度也减小，当电容器两端电压与感应电动势相等时，充电结束，杆以恒定的速度做匀速直线运动，电容器两端的电压U＝Blv，而q＝CU，对杆ab，根据动量定理得－Beq \x\t(I)l·Δt＝－Blq＝mv－mv0，联立可得v＝eq \f(mv0,m＋B2l2C)，C正确；杆稳定后，电容器不再充电，回路中没有电流，根据右手定则知，a点的电势高于b点电势，D正确．
【例2】（2023春·安徽·高三校联考阶段练习）如图所示，间距为的足够长平行光滑金属导轨固定在水平面内，导轨左端接有电容的电容器，整个空间存在着垂直于导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度，质量的金属棒垂直放置在导轨上，金属棒和导轨的电阻不计，给金属棒一个向右的大小为的初速度，当金属棒的加速度变为零时，立即给金属棒一个水平向左的大小为的恒力，则（ ）

A．当金属棒加速度为零时，速度也恰好为零
B．当金属棒加速度为零时，电容器两端的带电量为
C．给金属棒施加一个水平向左的恒力后，金属棒向右运动的过程是匀减速直线运动
D．给金属棒施加一个水平向左的恒力后，金属棒向右运动的最大距离为
【答案】BCD
【详解】AB．当金属棒加速度为零时，设金属棒的速度为，电容器带电量为，根据动量定理有
加速度为零时，金属棒中电流为零，则
解得
电容器带电量
选项A错误，B正确；
C．给金属棒施加一个水平向左的恒力后
又
解得
选项C正确；
D．加力后，金属棒向右运动的最大距离
选项D正确。
故选BCD。
2．无外力放电式
【例3】（2023·湖北·模拟预测）我国第三艘航母福建舰已正式下水，如图甲所示，福建舰配备了目前世界上最先进的电磁弹射系统。图乙是一种简化的电磁弹射模型，直流电源的电动势为E，电容器的电容为C，两条相距L的固定光滑导轨，水平放置处于磁感应强度B的匀强磁场中。现将一质量为m，电阻为R的金属滑块垂直放置于导轨的滑槽内处于静止状态，并与两导轨接触良好。先将开关K置于a让电容器充电，充电结束后，再将K置于b，金属滑块会在电磁力的驱动下加速运动，达到最大速度后滑离轨道。不计导轨和电路其他部分的电阻，忽略空气阻力。下列说法正确的是（ ）

A．金属滑块在轨道上运动的最大加速度为
B．金属滑块在轨道上运动的最大速度为
C．金属滑块滑离轨道的整个过程中流过它的电荷量为
D．金属滑块滑离轨道的整个过程中电容器消耗的电能为
【答案】AC
【详解】A．开关K置于b的瞬间，流过金属滑块的电流最大，此时
对应的安培力最大，以金属滑块为研究对象，根据牛顿第二定律
解得
故A正确；
BC．金属滑块运动后，切割磁感线产生电动势，当电容器电压与滑块切割磁感线产生电动势相等时，滑块速度不再变化，做匀速直线运动，此时速度达到最大，设金属滑块加速运动到最大速度时两端电压为U，电容器放电过程中的电荷量变化为，放电时间为，流过金属滑块的平均电流为I，在金属块滑动过程中，由动量定理得
由电流的定义
由电容的定义
电容器放电过程的电荷量变化为
所以
金属滑块速度最大时，根据法拉第电磁感应定律可得
联立解得
故B错误，C正确；
D．金属滑块滑离轨道的整个过程中，电容器消耗的电能一部分转化为金属滑块的动能
另一部分转化为了金属滑块的内能（焦耳热），故D错误。
故选AC。
【例3】(2022·1月江苏新高考适应性考试，10)如图所示，光滑的平行长导轨水平放置，质量相等的导体棒L1和L2静止在导轨上，与导轨垂直且接触良好。已知L1的电阻大于L2的电阻，两棒间的距离为d，不计导轨电阻，忽略电流产生的磁场。将开关S从1拨到2，两棒运动一段时间后达到稳定状态，则( )
A．S拨到2的瞬间，L1中的电流大于L2
B．S拨到2的瞬间，L1的加速度大于L2
C．运动稳定后，电容器C的电荷量为零
D．运动稳定后，两棒之间的距离大于d
【答案】 D
【解析】 S拨到1时，电源给电容器充电，S拨到2的瞬间，电容器放电(相当于“电源”)，导体棒L1、L2并联，则棒两端电压相等，根据I＝eq \f(U,R)和RL1>RL2知，IL1