江西省吉安市九校联考2025-2026学年高二下学期6月阶段检测数学试卷（Word版附解析）

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数学试题
一、单选题
1．已知函数，当自变量由1变到时，的平均变化率为（ ）
A．1B．C．2D．
2．已知数列，下列不是该数列的通项公式的是（ ）
A．B．C．D．
3．已知数列的前项和，则（ ）
A．B．C．D．
4．函数的图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（ ）

A．B．C．D．
5．已知等差数列的前项和分别为，若，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知为坐标原点，抛物线的准线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．某工厂制作一个底面为正方形的无盖长方体储物箱，容积为48立方米，底面每平方米的造价为15元，侧面每平方米的造价为10元，当总造价最低时，底面正方形的边长为（ ）
A．1米B．2米C．3米D．4米
8．某班某日共5节课，计划安排上语文、数学、外语、美术、体育这5门课，若体育课必须安排在第4节或第5节，且语文课、数学课相邻，则不同的安排方案共有（ ）
A．种B．种C．种D．种
二、多选题
9．已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．有3个零点B．当时，
C．既有极大值又有极小值D．的图象关于点中心对称
10．已知随机变量服从二项分布，若，则（ ）
A．B．
C．D．
11．已知数列满足，且存在实数，使得恒成立，则（ ）
A．是递增数列B．
C．D．的取值范围为
三、填空题
12．在等比数列中，，则______．
13．已知函数在上单调递增，则的取值范围为__________．
14．在三棱锥中，底面，分别为棱的中点，为三棱锥内切球球面上的动点，则点到平面的距离的最大值为__________．
四、解答题
15．在数列中，，．
(1)求的通项公式；
(2)求的前项和．
16．如图，圆柱的轴截面是边长为的正方形，点均在圆柱的下底面圆周上，与交于点，点在线段上，平面，点在圆柱的上底面圆周上，，．
(1)求的长度；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
17．已知函数．
(1)若，求的值；
(2)若，求的取值范围．
18．已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．
(1)求的方程；
(2)已知分别为的左、右顶点，是上的一个动点，且在第一象限．
①证明：直线与直线的斜率的乘积为定值．
②为坐标原点，是的上顶点，求四边形面积的最大值．
19．已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在上单调递减，求的取值范围；
(3)已知，若存在，使得在上恰有3个零点，求的取值范围．
附：．
参考答案
1．D
解析：.
2．D
解析：对于A：当为奇数时，；当为偶数时，，与数列的对应项一致，所以是该数列的通项公式；
对于B：当时，；时，；时，，以此类推，与数列的对应项一致，所以是该数列的通项公式；
对于C：根据余弦函数性质，，与B相同，所以是该数列的通项公式；
对于D：，与数列的对应项不符，故不是该数列的通项公式．
3．A
解析：因为，则，
所以.
4．C
解析：由图象可得，
在上单调递增，所以时，；
在上单调递减，
所以当时，；
当时，；
在上单调递增,当时，．
综上，的解集为．
5．B
解析：因均为等差数列，
则.
6．D
解析：抛物线的准线方程为，
因为为等边三角形，所以，
而双曲线的渐近线方程为，
所以双曲线的一条渐近线的倾斜角为，即，
所以离心率．
7．D
解析：设底面边长为米，高为米，则，总造价，，
当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，
所以当时总造价最低，即此时底面正方形的边长为4米．
8．C
解析：若体育课安排在最后1节，则其余4节课的安排方案有种，
若体育课安排在倒数第2节，则语文课、数学课可以安排在第1，2节或第2，3节，
再安排剩余2节课，不同的安排方案有种，
故共有种不同的安排方案．
9．BCD
解析：，
当时，，
当时，，
在和上单调递增，在上单调递减，
既有极大值又有极小值，的极小值为，
当时，，只有1个零点，A错误，B，C均正确．
，
，
，
所以的图象关于点中心对称，D正确．
10．AB
解析：随机变量服从二项分布，则．
因为，所以，A选项正确，C选项错误；
因为，所以，B选项正确，D选项错误．
11．BD
解析：选项A：，当且仅当时取等号，
若，则，是递增数列；
若，则，以此类推，是常数列，不是递增数列，故A错误.
选项B：当时，，故，
则，对任意实数恒成立，
故恒成立，故B正确.
选项C：由A知，当时，，此时，不能是，故C错误.
选项D：由B可知，为递增数列或常数列，若数列有界，则存在极限值，
设极限为，对两边取极限，则，
解得，则，即，满足必要性；
若，利用数学归纳法，假设，则，
则数列有界，满足充分性；
综上，，故D正确．
12．
解析：因为数列是等比数列，设公比为，则，又，
则，得到，所以.
13．
解析：．
当时，在上单调递增，符合题意．
当时，令，解得或，
所以在和上单调递增，符合题意．
当时，令，解得或，令，解得，
所以在和上单调递减，在上单调递增，不符合题意．
故的取值范围为．
14．1
解析：在三棱锥中，底面，，设三棱锥内切球的球心为，半径为，
，，，
中边上的高为，则，
三棱锥的体积，解得，
以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，
设平面的法向量为，则，取，得，
因此点到平面的距离，
所以点到平面的距离的最大值为．
15．(1)
(2)
解析：（1）由，得，
又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，解得；
（2）①，
②，
①②得，
，
所以．
16．(1)
(2)．
解析：（1）
连接，
因为平面，平面，所以，
在正方形中，
，，
所以，，
所以，即，解得；
（2）
连接，过点作，垂足为，
在中，
，，，
所以，，
在中，
，，
以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
因为平面，所以是平面的一个法向量，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
17．(1)0
(2)．
解析：（1）当时，，符合题意；
对于，则，
当时，，则在上单调递增，且时，
故，当时，
所以，若时，取，此时，不符合，
同理，当时，若时，取，此时，不符合，
综上，的值为0．
（2）不等式等价于，
令函数，则原不等式等价于，
而，则函数在上单调递增，
因此，即恒成立，由，解得，
所以的取值范围为.
18．(1).
(2)①证明：设，则．
因为，所以直线与直线的斜率分别为．
，
所以直线与直线的斜率的乘积为定值，且定值为．
②．
解析：（1）由离心率，得，则.
又点在椭圆上，代入得，即，
即，解得，，故椭圆的方程为.
（2）①略
②
设，则，．
四边形的面积
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以四边形面积的最大值为．
19．(1)
(2)
(3)
解析：（1）当时，．
．所求切线方程为，即．
（2）法一：．
令函数．
记的两个根为，且．
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
因为在上单调递减，所以在上恒成立，
即在上恒成立，所以极大值，又当时，．
由，解得，此时，．
若，则，即．
综上，的取值范围为．
法二：．
因为在上单调递减，所以在上恒成立，
即在上恒成立．
令函数，则．
记的两个根为，且．
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
，当时，，即，
所以的最大值为，所以，故的取值范围为．
（3）结合（2）可得，当时，在上单调递减，不符合题意．
当时，，若，则，若，则．
记的两个根为，且，则．
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
若，则．
．
．
因为，所以，则，在上单调递增．
，同理可得在上单调递增．
．
要使得在上恰有3个零点，则，且当时，．
，即．
当时，，即．
记，则．
在上单调递减．，可得在上单调递增．
，所以的最大值为，所以．