江西吉安市九校联考2025-2026学年高二下学期6月阶段训练数学试题（含解析）

这是一份江西吉安市九校联考2025-2026学年高二下学期6月阶段训练数学试题（含解析），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知函数，当自变量由1变到时，的平均变化率为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【详解】.
2. 已知数列，下列不是该数列的通项公式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】对于A：当为奇数时，；当为偶数时，，与数列的对应项一致，所以是该数列的通项公式；
对于B：当时，；时，；时，，以此类推，与数列的对应项一致，所以是该数列的通项公式；
对于C：根据余弦函数性质，，与B相同，所以是该数列的通项公式；
对于D：，与数列的对应项不符，故不是该数列的通项公式．
3. 已知数列的前项和，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】因为，则，
所以.
4. 函数的图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】通过的单调性，判断的正负，即可求得的正负.
【详解】由图象可得，
在上单调递增，所以时，；
在上单调递减，
所以当时，；
当时，；
在上单调递增,当时，．
综上，的解集为．
5. 已知等差数列的前项和分别为，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】因均为等差数列，
则.
6. 已知为坐标原点，抛物线的准线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用等边三角形的几何特征，得到双曲线渐近线的斜率，再结合双曲线的离心率公式即可求得.
【详解】抛物线的准线方程为，
因为为等边三角形，所以，
而双曲线的渐近线方程为，
所以双曲线的一条渐近线的倾斜角为，即，
所以离心率．
7. 某工厂制作一个底面为正方形的无盖长方体储物箱，容积为48立方米，底面每平方米的造价为15元，侧面每平方米的造价为10元，当总造价最低时，底面正方形的边长为（ ）
A. 1米B. 2米C. 3米D. 4米
【答案】D
【解析】
【详解】设底面边长为米，高为米，则，总造价，，
当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，
所以当时总造价最低，即此时底面正方形的边长为4米．
8. 某班某日共5节课，计划安排上语文、数学、外语、美术、体育这5门课，若体育课必须安排在第4节或第5节，且语文课、数学课相邻，则不同的安排方案共有（ ）
A. 种B. 种C. 种D. 种
【答案】C
【解析】
【详解】若体育课安排在最后1节，则其余4节课的安排方案有种，
若体育课安排在倒数第2节，则语文课、数学课可以安排在第1，2节或第2，3节，
再安排剩余2节课，不同的安排方案有种，
故共有种不同的安排方案．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数，下列结论正确的是（ ）
A. 有3个零点B. 当时，
C. 既有极大值又有极小值D. 的图象关于点中心对称
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据导函数可以将原函数的大致图像画出来，从图像可以直接判断A，B，C三个选项，用对称中心的定义可以直接判断D选项.
【详解】，
当时，，
当时，，
在和上单调递增，在上单调递减，
既有极大值又有极小值，的极小值为，
当时，，只有1个零点，A错误，B，C均正确．
，
，
，
所以的图象关于点中心对称，D正确．
10. 已知随机变量服从二项分布，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】利用二项分布的期望和方差公式将期望和方差用概率表述出来，然后比较大小即可．
【详解】随机变量服从二项分布，则．
因为，所以，A选项正确，C选项错误；
因为，所以，B选项正确，D选项错误．
11. 已知数列满足，且存在实数，使得恒成立，则（ ）
A. 是递增数列B.
C. D. 的取值范围为
【答案】BD
【解析】
【分析】对递推式作差得出，先分析原数列单调性判断选项A；利用递推式讨论数列的单调性，判断选项B；采用特殊值法，判断选项C；利用数列的性质，结合数列有界性，讨论的取值范围，判断选项D．
【详解】选项A：，当且仅当时取等号，
若，则，是递增数列；
若，则，以此类推，是常数列，不是递增数列，故A错误.
选项B：当时，，故，
则，对任意实数恒成立，
故恒成立，故B正确.
选项C：由A知，当时，，此时，不能是，故C错误.
选项D：由B可知，为递增数列或常数列，若数列有界，则存在极限值，
设极限为，对两边取极限，则，
解得，则，即，满足必要性；
若，利用数学归纳法，假设，则，
则数列有界，满足充分性；
综上，，故D正确．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在等比数列中，，则______．
【答案】
【解析】
【详解】因为数列是等比数列，设公比为，则，又，
则，得到，所以.
13. 已知函数在上单调递增，则的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】求导得，再分三种情况，利用导数得到单调区间，结合题意求解．
【详解】．
当时，在上单调递增，符合题意．
当时，令，解得或，
所以在和上单调递增，符合题意．
当时，令，解得或，令，解得，
所以在和上单调递减，在上单调递增，不符合题意．
故的取值范围为．
14. 在三棱锥中，底面，分别为棱的中点，为三棱锥内切球球面上的动点，则点到平面的距离的最大值为__________．
【答案】1
【解析】
【分析】利用体积法求出三棱锥内切球半径，再建立空间直角坐标系并求出相关点的坐标，利用向量法求出球心到平面的距离即可.
【详解】在三棱锥中，底面，，设三棱锥内切球的球心为，半径为，
，，，
中边上的高为，则，
三棱锥的体积，解得，
以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，
设平面的法向量为，则，取，得，
因此点到平面的距离，
所以点到平面的距离的最大值为．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在数列中，，．
（1）求的通项公式；
（2）求的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）观察递推式，通过变形构造新数列，可发现其为等比数列，求出首项和公比后，即可得到新数列通项，进而还原出的表达式；
（2）通项是等差数列乘等比数列，采用错位相减法：先写出的展开式，两边同乘公比后与原式相减，对差式中的等比数列部分求和，化简整理即可得到．
【小问1详解】
由，得，
又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，解得；
【小问2详解】
①，
②，
①②得，
，
所以．
16. 如图，圆柱的轴截面是边长为的正方形，点均在圆柱的下底面圆周上，与交于点，点在线段上，平面，点在圆柱的上底面圆周上，，．
（1）求的长度；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）利用线面垂直的性质，由平面得，结合轴截面是正方形的直角条件，推出，再通过相似三角形的比例关系直接求解；
（2）建立空间直角坐标系，先根据已知条件确定点的坐标，再利用平面得到平面的法向量，最后用向量法计算直线方向向量与平面法向量夹角的余弦值，即为线面角的正弦值．
【小问1详解】
连接，
因为平面，平面，所以，
在正方形中，
，，
所以，，
所以，即，解得；
【小问2详解】
连接，过点作，垂足为，
在中，
，，，
所以，，
在中，
，，
以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
因为平面，所以是平面的一个法向量，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
17. 已知函数．
（1）若，求的值；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）0 （2）．
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，按分类，结合导数确定单调性求解.
（2）由给定不等式构造函数，再利用导数确定单调性，结合一元二次不等式恒成立列式求解.
【小问1详解】
当时，，符合题意；
对于，则，
当时，，则在上单调递增，且时，
故，当时，
所以，若时，取，此时，不符合，
同理，当时，若时，取，此时，不符合，
综上，的值为0．
【小问2详解】
不等式等价于，
令函数，则原不等式等价于，
而，则函数在上单调递增，
因此，即恒成立，由，解得，
所以的取值范围为.
18. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．
（1）求的方程；
（2）已知分别为的左、右顶点，是上的一个动点，且在第一象限．
①证明：直线与直线的斜率的乘积为定值．
②为坐标原点，是的上顶点，求四边形面积的最大值．
【答案】（1）.
（2）①证明：设，则．
因为，所以直线与直线的斜率分别为．
，
所以直线与直线的斜率的乘积为定值，且定值为．
②．
【解析】
【分析】（1）由离心率和点在椭圆上建立方程组，求出即可；
（2）①设，利用椭圆方程化简斜率乘积即可证明.
②四边形可分割为和，分别用坐标表示面积，利用基本不等式求最值.
【小问1详解】
由离心率，得，则.
又点在椭圆上，代入得，即，
即，解得，，故椭圆的方程为.
【小问2详解】
①略
②
设，则，．
四边形的面积
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以四边形面积的最大值为．
19. 已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在上单调递减，求的取值范围；
（3）已知，若存在，使得在上恰有3个零点，求的取值范围．
附：．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）代入得到函数解析式，再利用导数求切线方程即可；
（2）法一：求导得，令，接着对求导，再利用导数分析函数的单调性，结合在上恒成立，即在上恒成立进行求解；法二：根据题意，利用参变分离得在上恒成立，令，然后利用导数求的最大值即可；
（3）由（2）可知时不符合题意，时，易得在上有两根，设为，进而得到函数在上的单调性，再结合零点个数求参数范围即可．
【小问1详解】
当时，．
．所求切线方程为，即．
【小问2详解】
法一：．
令函数．
记的两个根为，且．
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
因为在上单调递减，所以在上恒成立，
即在上恒成立，所以极大值，又当时，．
由，解得，此时，．
若，则，即．
综上，的取值范围为．
法二：．
因为在上单调递减，所以在上恒成立，
即在上恒成立．
令函数，则．
记的两个根为，且．
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
，当时，，即，
所以的最大值为，所以，故的取值范围为．
【小问3详解】
结合（2）可得，当时，在上单调递减，不符合题意．
当时，，若，则，若，则．
记的两个根为，且，则．
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
若，则．
．
．
因为，所以，则，在上单调递增．
，同理可得在上单调递增．
．
要使得在上恰有3个零点，则，且当时，．
，即．
当时，，即．
记，则．
在上单调递减．，可得在上单调递增．
，所以的最大值为，所以．
综上，的取值范围为．