新高考物理二轮复习考点知识讲练与题型归纳专题08 天体运动 宇宙航行（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考物理二轮复习考点知识讲练与题型归纳专题08 天体运动 宇宙航行（2份，原卷版+解析版），共6页。试卷主要包含了开普勒三定律的理解和应用，万有引力定律的理解，天体质量和密度的估算，卫星运行参量的分析，卫星变轨问题，双星问题，天体追及相遇问题，天体自转稳定的临界问题等内容，欢迎下载使用。

TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc206953178" 题型一 开普勒三定律的理解和应用 PAGEREF _Tc206953178 \h 2
\l "_Tc206953179" 题型二 万有引力定律的理解 PAGEREF _Tc206953179 \h 4
\l "_Tc206953180" 类型1 万有引力定律的理解和简单计算 PAGEREF _Tc206953180 \h 5
\l "_Tc206953181" 类型2 不同天体表面引力的比较和计算 PAGEREF _Tc206953181 \h 6
\l "_Tc206953182" 题型三 天体质量和密度的估算 PAGEREF _Tc206953182 \h 9
\l "_Tc206953183" 类型1 利用重力加速度求天体质量和密度 PAGEREF _Tc206953183 \h 9
\l "_Tc206953184" 类型2利用天体的卫星来计算天体质量和密度 PAGEREF _Tc206953184 \h 12
\l "_Tc206953185" 题型四 卫星运行参量的分析 PAGEREF _Tc206953185 \h 14
\l "_Tc206953186" 类型1 卫星运行参量与轨道半径的关系 PAGEREF _Tc206953186 \h 15
\l "_Tc206953187" 类型2 同步卫星、近地卫星及赤道上物体的比较 PAGEREF _Tc206953187 \h 18
\l "_Tc206953188" 类型3 宇宙速度 PAGEREF _Tc206953188 \h 22
\l "_Tc206953189" 题型五 卫星变轨问题 PAGEREF _Tc206953189 \h 25
\l "_Tc206953190" 类型1 卫星变轨问题中各物理量的比较 PAGEREF _Tc206953190 \h 25
\l "_Tc206953191" 类型2 卫星的对接问题 PAGEREF _Tc206953191 \h 28
\l "_Tc206953192" 题型六 双星问题 PAGEREF _Tc206953192 \h 30
\l "_Tc206953193" 题型七 天体追及相遇问题 PAGEREF _Tc206953193 \h 33
\l "_Tc206953194" 题型八 天体自转稳定的临界问题 PAGEREF _Tc206953194 \h 37


题型一 开普勒三定律的理解和应用
1.定律内容
（1）开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是 椭圆 ，太阳处在椭圆的一个 焦点 上。
（2）开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的 面积 相等。
（3）开普勒第三定律：所有行星轨道的 半长轴 的三次方跟它的 公转周期 的二次方的 比都相等 ，即 a3T2＝k 。
2.适用条件：适用于宇宙中一切环绕同一中心天体的运动。
如图1所示，一颗地球的卫星绕以地球为焦点的椭圆轨道运行，轨道远地点为M，近地点为N，卫星受到地球的万有引力大小F随时间t的变化情况如图2所示。则（ ）
A．卫星运动周期为2T0
B．卫星从C→M→D的运动时间大于T02
C．地心与M点间距离是地心与N点间距离的2倍
D．卫星与椭圆中心O点连线在相同时间内扫过的面积相等
【答案】BC
【详解】A．从图乙可知，卫星从近地点N到远地点M再回到近地点N，万有引力F完成一个周期性变化，这个过程所用时间为T0，而卫星运动的周期是完成一次完整的椭圆轨道运动的时间，所以卫星运动周期为T0，故A错误；
B．卫星运动周期为T0，卫星从C→M→D和D→N→C的轨迹长度相等，但经过远地点的速率最小，经过近地点的速率最大，则C→M→D的运动时间大于T02，从D→N→C的运动时间小于T02，故B正确；
C．根据万有引力定律F=GMmr2，设地球与近地点N间的距离为r1，与远地点M再间的距离为r2，则在点FN=GMmr12=8F0，在点FM=GMmr22=2F0，将两式相比可得FNFM=GMmr12GMmr22=r22r12=8F02F0=4，即r2r1=2，所以地球与M点间距离是地球与N点间距离的2倍，故C正确；
D．根据开普勒第二定律可知卫星与地球的连线在相同时间内扫过的面积相等，故D错误。
故选BC。
地球的公转轨道接近圆，哈雷彗星的运行轨道则是一个非常扁的轨道，如图所示，哈雷彗星最近出现的时间是1986年，预计下次飞近地球将在2061年左右。下列说法正确的是（ ）
A．哈雷彗星绕太阳公转的周期大约是85年
B．以太阳为参照系，哈雷彗星目前正在远离太阳
C．以太阳为参照系，哈雷彗星目前运行的速度正在增大
D．不考虑其他星体的影响，哈雷彗星目前运动的加速度正在减小
【答案】C
【详解】A．哈雷彗星绕太阳公转的周期大约是（2061-1986）年=75年，选项A错误；
BCD．目前（2025年）距1986年是39年，大于哈雷彗星绕日公转的半周期，目前哈雷彗星正在靠近太阳，运动的速度、加速度正在增大，选项BD错误，C正确。
故选C。
如图所示，火星探测器从地球到达火星的轨道为霍曼转移轨道，该轨道为椭圆形轨道，其近日点与地球绕太阳的公转轨道相切，远日点与火星绕太阳的公转轨道相切。发射火星探测器时，“地—日”连线与“火—日”连线的夹角为θ，已知当探测器到达火星轨道上时恰好与火星相遇，火星公转轨道约为地球公转轨道的1.5倍。地球的公转周期为一年，则θ约为（ ）（已知5=2.236，24=4.899）
A．π6B．π4C．π3D．π2
【答案】B
【详解】霍曼转移轨道的半长轴为a=R+1.5R2=54R
根据开普勒第三定律可得转移轨道的周期T=（54）3T0=12564T0
火星的公转周期T'=（32）3T0=278T0
根据几何关系，π−θ=2πT'⋅（T2）
解得θ=π−TπT'=π−12564×827π≈0.24π
故选B。
题型二 万有引力定律的理解
1．万有引力定律的表达式：F＝Geq \f(m1m2,r2).
2．万有引力的特性
(1)普遍性：万有引力存在于宇宙中任何两个有质量的物体之间(天体间、地面物体间、微观粒子间)．
(2)相互性：两个物体间相互作用的引力是一对作用力和反作用力，符合牛顿第三定律．
(3)宏观性：天体间万有引力很大，它是支配天体运动的原因．地面物体间、微观粒子间的万有引力很小，不足以影响物体的运动，故常忽略不计．
3．万有引力公式的适用条件
(1)两个质点间．
(2)两个质量分布均匀的球体间，其中r为两个球心间的距离．
(3)一个质量分布均匀的球体与球外一个质点间，r为球心到质点的距离．
4．引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2
(1)物理意义：引力常量在数值上等于两个质量都是1 kg的质点相距1 m时的相互吸引力．
(2)引力常量测定的意义
卡文迪许利用扭秤装置通过改变小球的质量和距离，得到了G的数值及验证了万有引力定律的正确性．引力常量的确定使万有引力定律能够进行定量的计算，显示出真正的实用价值．
5．不同位置的重力加速度
类型1 万有引力定律的理解和简单计算
二十四节气是古人智慧的结晶，他对于我们现在的生产和生活影响意义深远，我们把春分夏至秋分冬至按照如图位置安排，则下列说法中正确的是（ ）
A．地球每年运行到冬至位置时线速度最小
B．由秋分到冬至的时间为周期的四分之一
C．地球经过冬至和夏至位置时速度比为r1r2
D．地球在夏至与冬至位置时受到太阳的万有引力之比为r12r22
【答案】D
【详解】A．由开普勒第二定律可知，地球绕太阳做椭圆运动时，相同时间内，扫过相同的面积，所以冬至时运行速度最大，故A错误；
B．地球不是绕太阳做匀速圆周运动，由秋分到冬至的时间为不等于（小于）周期的四分之一，故B错误；
C．行星从轨道的冬至位置经足够短的时间t，与太阳的连线扫过的面积可看作很小的扇形，其面积S1=12×v1t×r1同理，行星从轨道的夏至位置经足够短的时间t，与太阳的连线扫过的面积可看作很小的扇形，其面积S2=12×v2t×r2
根据开普勒第二定律12×v1t×r1=12×v2t×r2
可得v1v2=r2r1
故C错误；
D．根据万有引力表达式有F=GMmr2可得地球在夏至和冬至时，所受太阳的万有引力之比为F2F1=(r1r2)2，故D正确。
故选D。
我国发射的嫦娥四号成功在月球背面软着陆，实现了人类历史上首次月球背面软着陆与探测，为人类开发月球迈出坚实一步。太空船返回地球的过程中，一旦通过地球、月球对其引力的合力为零的位置后，该合力将有助于太空船返回地球，已知地球质量约为月球的81倍，则该位置距地心的距离和距月球中心的距离之比为（ ）
A．81：1B．10： 9C．9：1D．9：10
【答案】C
【详解】设太空舱质量为m，月球质量为m0，引力合力为零的位置到地心的距离为r1，地球质量为81m0，引力合力为零的位置到月球中心的距离为r2，由万有引力定律和力的平衡有：81Gm0mr12=Gm0mr22
可得r1:r2=9:1
故选C。
海边会发生潮汐现象，潮来时，水面升高；潮退时，水面降低。太阳、月球对某一区域海水引力的周期性变化，就引起了潮汐现象。已知太阳质量约为月球质量的3×107倍，太阳到地球与地球到月球距离的比值约为400。对同一片海水来说，太阳对海水的引力与月球对海水的引力的比值大约为（ ）
A．1∶180B．180∶1C．75000∶1D．1∶75000
【答案】B
【详解】设月球质量为M，则太阳质量为3×107M，地球到月球的距离为r，则太阳到地球的距离为400r，设海水的质量为m，则月球对海水的引力F1=GMmr2
则太阳对海水的引力F2=G3×107Mm400r2
则F2F1≈1801
故选B。
类型2 不同天体表面引力的比较和计算
一部科幻小说中在地球飞向某一新的恒星的过程中，科学家分别测出距该恒星表面高为h、13ℎ的引力加速度大小为a和4a。若最后地球以距离该恒星表面高H处近似做圆周运动，求地球新的一“年”为（ ）
A．4π5ℎℎ2+H3aB．2π3ℎ(ℎ+H)3a
C．3π2ℎℎ3+H3aD．2πℎ(ℎ+H)3a
【答案】C
【详解】设恒星半径r，根据题意
GMm(ℎ+r)2=ma
GMm(13ℎ+r)2=m×4a
地球绕该恒星做圆周运动周期T，有
GMm(H+r)2=m4π2T2(H+r)
T=2π(H+r)3GM
联立得
T=3π2ℎℎ3+H3a
故选C。
如图1所示，一半径为R、密度均匀的球体，在与球心O相距2R的P处有一质量为m的质点，球体对该质点的万有引力大小为F。现从球体中挖去“半径为R2的小球体（球心在OP连线上，右端位于O点），如图2所示，则剩余部分对该质点的万有引力大小为（ ）
A．78FB．716FC．2325FD．2350F
【答案】C
【详解】设球体的密度为ρ，球体的质量为M，可得
M=ρ⋅43πR3
则小球体的质量
M'=ρ⋅43πR23=M8
球体对该质点的万有引力大小
F=GMm(2R)2
故挖去小球体后，剩余部分对该质点的万有引力大小
F剩余=F−GM'm(52R)2
解得
F剩余=2325F
故选C。
上世纪70年代，前苏联在科拉半岛与挪威的交界处进行了人类有史以来最大规模的地底挖掘计划。当苏联人向地心挖掘深度为d时，井底一个质量为m的小球与地球之间的万有引力为F，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，质量分布均匀的地球的半径为R，质量为M，万有引力常量为G，则F大小等于（ ）
A．GMmR−d2B．GMmR−dR3C．GMmR3R−dD．GMmR2
【答案】B
【详解】将地球分为半径为（R－d）的球和厚度为d球壳两部分，球壳对小球的引力为零
则F等于半径为（R－d）的球对小球的引力，有
F=Gm1mR−d2
设半径为（R－d）球的质量为m1，由密度公式得
m=ρV=ρ43πR3
所以
m1M=R−d3R3
解得，F的大小为
F=GMmR−dR3
B正确，ACD错误。
故选B。
题型三 天体质量和密度的估算
1．解决天体(卫星)运动问题的基本思路
(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即
Geq \f(Mm,r2)＝man＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝meq \f(4π2r,T2)
(2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即Geq \f(Mm,R2)＝mg(g表示天体表面的重力加速度)．
2．天体质量和密度的计算
(1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.
由于Geq \f(Mm,R2)＝mg，故天体质量M＝eq \f(gR2,G)，天体密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3g,4πGR).
(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r.
①由万有引力等于向心力，即Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，得出中心天体质量M＝eq \f(4π2r3,GT2)；
②若已知天体半径R，则天体的平均密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3πr3,GT2R3)；
③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝eq \f(3π,GT2).可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度．
类型1 利用重力加速度求天体质量和密度
我国的北斗系统可提供全球导航服务，在轨工作卫星共33颗，包含5颗地球静止同步轨道卫星，7颗倾斜地球同步轨道卫星和21颗中圆地球轨道卫星。如图所示为北斗系统中的两颗卫星，分别是中圆地球轨道卫星A和地球静止同步轨道卫星B，卫星A环绕方向为顺时针，卫星B环绕方向为逆时针。已知地球自转周期为T0，地球的半径为R0，卫星A和卫星B到地球表面的距离分别为34R0、6R0，引力常量为G，某时刻两卫星与地心连线之间的夹角为120°，下列说法正确的是（ ）
A．卫星B的动能一定小于卫星A的动能
B．地球的质量M=4π2(7R0)3GT02
C．卫星A围绕地球做圆周运动的周期TA=17T0
D．从图示时刻开始，经过t=127T0时间两卫星第一次相距最远
【答案】B
【详解】A．因两卫星的质量大小关系未知，则不能确定二者动能的大小关系，故A错误；
B．对于地球静止同步轨道卫星B，有GMm(7R0)2=m4π2T02⋅7R0
解得地球的质量M=4π2(7R0)3GT02，故B正确；
C．对两卫星，由开普勒第三定律，有(R0+34R0)3TA2=(R0+6R0)3T02
解得TA=18T0，故C错误；
D．从图示时刻开始，到两卫星第一次相距最远，且由TA=18T0
有tTA+tT0=120∘+180∘360∘
解得时间t=554T0，故D错误。
故选B。
设想在将来的某一天，一位航天员乘坐中国航天集团的飞行器，成功地降落在火星上。他在离火星地面表面高h（h远小于火星的半径）处无初速释放一小球，认为小球在火星表面做初速度为零的匀加速直线运动，即火星上的自由落体运动，并测得小球落地时速度为v（不计阻力），已知引力常量为G，火星半径为R，下列正确的是（ ）
A．小球下落所用的时间t=ℎ2v
B．火星表面的重力加速度g=v22ℎ
C．火星的质量M=v2R22Gℎ
D．若火星可视为质量均匀分布的球体，则火星的密度ρ=3v24GℎπR
【答案】BC
【详解】AB．根据动力学公式v2=2gℎ
解得火星表面的重力加速度为g=v22ℎ
小球下落所用的时间t=vg=2ℎv，故A错误，B正确；
C．根据万有引力与重力的关系GMmR2=mg
解得火星的质量为M=v2R22Gℎ，故C正确；
D．若火星可视为质量均匀分布的球体，则火星的密度为ρ=MV=M43πR3=3v28GℎπR，故D错误。
故选BC。
如图，在地面上通过一个特制圆筒来估算太阳密度。一长为L=100cm的圆筒一端封上厚纸，中间扎一直径很小的圆孔，另一端封上有刻度的同心圆薄白纸作测量尺度。用目镜（放大镜）观察，将小孔正对着太阳，调整圆筒的方向，在薄白纸上得到太阳实像圆形光斑。若测得光斑的半径r0=5.0mm（小于圆筒半径），已知：G=6.67×10−11N⋅m2/kg2，一年约为T=3.2×107s，取π=3.14，试根据以上数据估算太阳的密度为（ ）
A．1.4×103kg/m3B．1.4×104kg/m3
C．1.4×105kg/m3D．1.4×106kg/m3
【答案】A
【详解】设太阳质量为M、半径为R、体积为V、平均密度为ρ，地球质量为m、日地距离为r，由万有引力定律和牛顿运动定律可以知道GMmr2=m4π2T2r，M=43πR3ρ
由图中几何关系可近似得rR=Lr0
三式联立解得ρ=3πGT2(Lr0)3≈1.1×103kg/m3，故BCD错，A正确。
故选A。
类型2利用天体的卫星来计算天体质量和密度
木星是太阳系中最大的行星，它有众多卫星。观察测出：木星绕太阳做圆周运动的半径为r1、 周期为T1；木星的某一卫星绕木星做圆周运动的半径为r2、 周期为T2。已知万有引力常量为G，则根据题中给定条件（ ）
A．能求出木星的密度
B．能求出木星与卫星间的万有引力
C．能求出太阳与木星间的万有引力
D．可以断定r13T12=r23T22
【答案】C
【详解】A．对于木星的某一卫星绕木星做圆周运动，根据万有引力提供向心力有GM木m卫r22=m卫4π2T22r2
可得M木=4π2r23GT22
但木星的半径未知，故无法计算木星的体积V木，根据ρ木=M木V木
可知，无法计算木星的密度，故A错误；
B．根据木星的某一卫星绕木星做圆周运动的半径和周期可求出卫星的向心加速度a卫=4π2T22r2
木星与卫星间的万有引力F1=m卫a卫
但卫星的质量m卫未知，故无法计算出木星与卫星间的万有引力，故B错误；
C．根据木星绕太阳做匀速圆周运动，可求得木星的向心加速度a木=4π2T12r1
在忽略木星卫星影响的情况下，该力约等于太阳与木星间的万有引力F2=M木a木=4π2r23GT22⋅4π2T12r1=16π4r1r23GT12T22，故C正确；
D．木星绕太阳圆周运动，卫星绕木星圆周运动，开普勒第三定律不适用，即r13T12≠r23T22，故D错误。
故选C。
2024年10月30日，神舟十九号载人飞船点火升空，3名航天员成功进入中国空间站。已知地球半径为R，空间站绕地球做圆周运动的轨道半径为kR，周期为T，引力常量为G。下列说法正确的是（ ）
A．地球的质量为4π2k2R3GT2
B．地球的平均密度为3πk3GT2
C．空间站的线速度大小为2πkRT
D．空间站所在高度处的重力加速度为4π2RT2
【答案】BC
【详解】A．对空间站，万有引力提供向心力，根据GMmkR2=m4π2T2kR
联立解得地球质量M=4π2kR3GT2
故A错误；
B．地球的平均密度ρ=M43πR3
联立以上解得ρ=3πk3GT2
故B正确；
C．空间站的线速度大小v=2πkRT
故C正确；
D．空间站所在高度处的重力加速度为a=g=4π2kRT2
故D错误。
故选BC。
在地球上，可通过天文观测估算太阳的密度。如图，地球上观测太阳的视角θ极小，与观测者眼睛相距为D、视角为θ的物体宽度为d。已知地球公转周期为T，万有引力常量为G，θ极小时sinθ≈tanθ。则太阳密度ρ可表示为（ ）

A．3πGT2Dd3B．6πGT2Dd3C．12πGT2Dd3D．24πGT2Dd3
【答案】D
【详解】设太阳质量为M，地球质量为m，地球绕太阳公转，有GMmr2=m2πT2r
因为太阳密度ρ=M43πR3
由几何关系Rd2=rD
联立可得ρ=24πGT2Dd3
故选D。
题型四 卫星运行参量的分析
（1）卫星的各物理量随轨道半径变化的规律
GMmr2＝ma→a＝GMr2→a∝1r2mv2r→v＝GMr→v∝1rmω2r→ω＝GMr3→ω∝1r3m4π2T2r→T＝4π2r3GM→T∝r3
即r越大，v、ω、a 越小 ，T 越大 。（越高越慢）
类型1 卫星运行参量与轨道半径的关系
如图所示是卫星绕不同行星在不同轨道上运动的lgT−lgr图像，其中T为卫星的周期，r为卫星的轨道半径。卫星M绕行星P运动的图线是a，卫星N绕行星Q运动的图线是b，若卫星绕行星的运动可以看成匀速圆周运动，则（ ）
A．直线a和直线b可能不平行
B．行星P的质量小于行星Q的质量
C．卫星M在1处的向心加速度小于在2处的向心加速度
D．卫星M在2处的线速度大于卫星N在3处的线速度
【答案】B
【详解】A．设中心天体质量为M，由万有引力提供向心力GMmr2=m4π2T2r
得T2=4π2r3GM
两边同时取对数，整理可得lgT=32lgr−12lgGM4π2
由该式可知，lgT−lgr图像的斜率为32 ，与行星的质量无关，故直线a和直线b一定平行，故A错误；
B．由lgT=32lgr−12lgGM4π2
可知，图像与纵轴的交点为−12lgGM4π2，结合图像可知−12lgGMP4π2>−12lgGMQ4π2
故MPTb
可知
Ta=Tc>Tb
故B正确，不符合题意；
C．c为地球静止卫星，根据
v=ωra、c角速度相等，a的轨道半径小一些，则有
vaac
C． a、b、c做匀速圆周运动的周期关系为Ta=Tcac>aa
选项B错误；
C．a、c的角速度相等，周期相等
Ta=Tc
根据开普勒第三定律
r3T2=k
可知
Tc>Tb
即a、b、c做匀速圆周运动的周期关系为
Ta=Tc>Tb
选项C错误；
D．a、c的角速度相等，根据
v=ωr
可知
vavc
可知a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为
ab>ac>aa
选项D正确。
故选D。
地球赤道上有一个观察者a，赤道平面内有一颗自西向东做匀速圆周运动的近地卫星b，a观测发现，每隔时间t卫星b就会从其正上方飞过。已知地球质量为M、半径为R，引力常量为G，下列说法正确的是（ ）
A．a的加速度等于b的加速度
B．a的线速度大于b的线速度
C．近地卫星b的周期为4π2R3GM
D．地球自转的周期为2πtRRtGM−2πRR
【答案】D
【详解】AB．对于任一卫星，根据万有引力等于向心力，得
GMmr2=mv2r=ma
则
a=GMr2，v=GMr
因为地球静止卫星的轨道半径大于b的轨道半径，则地球静止卫星的加速度、线速度小于b的加速度，a的角速度等于地球静止卫星的角速度，根据
v=rω，a=rω2
可知地球静止卫星的线速度和加速度大于a的，则b的线速度和加速度大于a的线速度和加速度，故AB错误；
C．b为近地卫星，可认为其运动半径为R，设其周期为T1，由万有引力提供向心力有
GMmR2=m4π2RT12
解得
T1=4π2R3GM
C错误；
D．设地球自转周期为T0，根据题意得
2πT1t−2πT0t=2π
解得地球自转周期
T0=2πtRRtGM−2πRR
D正确。
故选D。
类型3 宇宙速度
2024年10月24日，第三届北斗规模应用国际峰会在湖南株洲开幕。其中北斗三号系统包括5颗静止轨道卫星和25颗非静止轨道卫星，为全球提供定位和通信服务的系统。静止轨道卫星是轨道倾角（轨道平面和赤道平面的夹角）为零的圆形地球同步卫星。假设第5号非静止轨道卫星离地高度与静止轨道卫星相同，但轨道平面和赤道平面的夹角为30°，自西南向东北绕地球运行。下列说法正确的是（ ）
A．5颗静止轨道卫星在任一时刻的线速度是相同的
B．第5号非静止轨道卫星的发射速度大小约为7.9km/s
C．静止轨道卫星每天都要准时经过首都北京的正上方
D．第5号非静止轨道卫星的运行周期与地球自转周期相同
【答案】D
【详解】A．静止轨道卫星的轨道半径相同，线速度大小相等，但方向不同（分布在赤道不同经度），因此线速度矢量不同，故A错误；
B．7.9km/s是第一宇宙速度（近地轨道运行速度），发射到更高轨道需更大能量，实际发射速度需通过火箭多次加速，最终进入同步轨道的运行速度约为3.07km/s，但发射速度应大于7.9km/s，故B错误；
C．静止轨道卫星位于赤道上空固定点，北京位于北纬约40°，不在赤道上，因此卫星不会经过北京正上方，故C错误；
D．第5号非静止轨道卫星上圆形地球同步卫星，其运行周期与地球自转周期相同，故D正确。
故选D。
华为Mate60Pr成为全球首款支持卫星通话的大众智能手机，在无信号环境下，该手机通过“天通一号”卫星与外界进行联系。已知“天通一号”卫星位于离地球表面约为6R的地球同步轨道上，地球半径为R，地球表面重力加速度大小为g，下列说法正确的是（ ）
A．“天通一号”可以在北京的上空保持相对静止
B．“天通一号”在轨运行的向心加速度约为g7
C．“天通一号”在轨运行的周期约为14π7Rg
D．“天通一号”在轨运行的线速度小于7.9km/s
【答案】CD
【详解】A．地球同步卫星的轨道在赤道上空，故“天通一号”不可能在北京的上空保持相对静止，故A错误；
B．某物体在地球表面上，则有GMm'R2=m'g
“天通一号”在轨运行，则有GMm7R2=ma
联立解得“天通一号”在轨运行的向心加速度a=149g，故B错误；
C．“天通一号”在轨运行，则有GMm7R2=m2πT2⋅7R
又某物体在地球表面上，则有GMm'R2=m'g
联立解得“天通一号”在轨运行的周期T=14π7Rg，故C正确；
D．7.9km/s是第一宇宙速度，是卫星环绕地球做匀速圆周运动的最大速度，故“天通一号”在轨运行的线速度小于7.9km/s，故D正确。
故选CD。
古希腊某地理学家通过长期观测，发现6月21日正午时刻，在北半球A城阳光与竖直方向成7.5∘角下射，而在A城正南方，与A城地面距离为L的B城，阳光恰好沿竖直方向下射，射到地球的太阳光可视为平行光，如图所示，已知地球表面的重力加速度大小为g，万有引力常量为G，则（ ）
A．地球半径的表达式R=12Lπ
B．地球质量是M=144gL2Gπ2
C．地球的平均密度是ρ=g32GL
D．地球的第一宇宙速度是v1=48gLπ
【答案】C
【详解】A．由题意，根据几何关系可得7.5∘360∘×2πR=πR24=L
解得地球半径的表达式是R=24Lπ，故A错误；
B．在地球表面，根据万有引力提供向心力GMmR2=mg
解得M=gR2G
将R的表达式代入解得地球质量为M=576gL2Gπ2，故B错误；
C．地球的平均密度是ρ=M43πR3
代入M的表达式得ρ=g32GL，故 C正确；
D．根据万有引力提供向心力GMmR2=mv12R
又M=gR2G
联立解得地球的第一宇宙速度是v1=gR
代入R的表达式得v1=24gLπ，故D错误。
故选C。
题型五 卫星变轨问题
1．当卫星的速度突然增大时，Geq \f(Mm,r2)meq \f(v2,r)，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v＝ eq \r(\f(GM,r))可知其运行速度比原轨道时增大．
卫星的发射和回收就是利用这一原理．
类型1 卫星变轨问题中各物理量的比较
2024年6月25日14时07分，嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古四子王旗预定区域，工作正常，标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现世界首次月球背面采样返回。如图为返回器着陆地球时的简易图，返回器经地月转移轨道、椭圆轨道3和2，最后到达圆周轨道1，已知N为椭圆轨道的近地点，地球半径约是月球半径的4倍，地球质量约是月球质量81倍，下列说法正确的是（ ）
A．返回器经轨道2和轨道1上的N点时，加速度相同
B．返回器在3轨道和2轨道上，与地球球心连线在相同时间内扫过的面积相等
C．发射嫦娥六号的速度要大于11.2km/s
D．地球第一宇宙速度与月球第一宇宙速度的比值约为2∶9
【答案】A
【详解】A．根据牛顿第二定律GMmr2=ma，所以a=GMr2，可知返回器经轨道2和轨道1上的N点时，加速度相同，故A正确；
B．由于返回器在2轨道、3轨道两个不同轨道上，根据开普勒第二定律，相同时间内扫过的面积并不相同，故B错误；
C．嫦娥六号仍受到地球引力的束缚，发射嫦娥六号的速度要大于第一宇宙速度小于第二宇宙速度，故C错误；
D．在星球表面GMmR2=mv2R，解得v=GMR，可计算得地球的第一宇宙速度与月球第一宇宙速度的比值约为9：2，故D错误。
故选A。
如图所示，轨道1是圆轨道，轨道2是椭圆轨道，轨道3是近火圆轨道，“天问一号”经过变轨成功进入近火圆轨道3，A、B两点是椭圆轨道与两个圆轨道的切点，已知引力常量G，以下选项中正确的是（ ）
A．“天问一号”在A点需要点火加速才能从轨道1进入轨道2
B．只要测出“天问一号”在轨道2上的周期T和半长轴a，即可以计算出火星的质量
C．若只测出“天问一号”在轨道3上的周期T，由于不知道火星的半径，因此不能计算出火星的密度
D．“天问一号”在轨道3上经过B点的速度大于在轨道2上经过B点的速度
【答案】B
【详解】A．“天问一号”在A点从轨道1进入轨道2，相当于向心运动，所以要减速，故A错误；
B．已知引力常量G，只要测出“天问一号”在轨道2上的周期T和半长轴a，根据开普勒第三定律得a3T2=r3T12
设火星的质量为M，由万有引力定律得GMmr2=mr4π2T12
可解得M=4π2a3GT2，故B正确；
C．轨道3是近火圆轨道，轨道半径r可以近似等于火星半径R，若只测出“天问一号”在轨道3上的周期T，根据GMmr2=mr4π2T2可求得火星的质量M=4π2R3GT2
根据密度公式ρ=MV=M43πR3
联立后可得火星的密度ρ=3πGT2，故C错误；
D．“天问一号”在轨道2上要减速才能到轨道3，所以“天问一号”在轨道3经过B点的速度小于在轨道2上经过B点的速度，故D错误。
故选B。
如图是神舟十九号载人飞船与天和核心舱成功对接的示意图。天和核心舱处于半径为r3的圆轨道Ⅲ上；神舟十九号飞船处于半径为r1的圆轨道I上，运行周期为T1，经过A点时，通过变轨操作后，沿椭圆轨道Ⅱ运动到B点与核心舱对接，则神舟十九号飞船（ ）
A．沿轨道Ⅱ运动过程中，vAvB，故A错误；
B．飞船沿轨道Ⅱ从A点运动到B点的过程中，万有引力做负功，神舟十九号飞船动能减小，势能增大，机械能守恒，故B错误；
C．神舟十九号飞船在圆轨道做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，则有GMmr2=mv2r
解得v=GMr
轨道I和轨道III都是圆轨道，且r1v3；飞船从轨道Ⅱ运动到B处时加速做离心运动进入轨道Ⅲ，因此在轨道Ⅰ上的速度大于沿轨道Ⅱ运动经过B点的速度，故C正确；
D．神舟十九号飞船沿轨道Ⅱ运动时，由开普勒第三定律可得r13T12=r1+r323T22
解得T2=T1(r1+r32r1)3
故飞船从A点沿椭圆轨道Ⅱ运动到B点所用的时间t=T22=T12(r1+r32r1)3，故D正确。
故选CD。
类型2 卫星的对接问题
如图所示，某卫星的发射过程经历了3个轨道：轨道2是半径为R的圆轨道，轨道1和3为椭圆轨道且分别与轨道2相切，轨道1和3的长轴在同一直线上。已知轨道3的远地点到地心的距离为R1，轨道1的近地点到地心的距离约等于地球半径R0。则该卫星在轨道1和3上运行时的周期之比为（ ）
A．R1+RR0+RB．R0+RR1+RC．（R1+RR0+R）3D．（R0+RR1+R）3
【答案】D
【详解】由题知，轨道1的半长轴r1=R+R02，轨道3的半长轴r3=R+R12，由开普勒第三定律有r33T32=r13T12
解得该卫星在轨道1和3上运行时的周期之比为T1T3=（R0+RR1+R）3。
故选D。
2025年3月初，随嫦娥六号登月归来的四种饲草种子将进行解封试种。去年嫦娥六号返回器携带来自月背的月球样品安全着陆在内蒙古四子王旗预定区域。若嫦娥六号探测器在月球附近轨道上运行的示意图如图所示，嫦娥六号探测器先在圆轨道上做匀速圆周运动，运动到A点时变轨为椭圆轨道，B点是近月点。下列说法正确的是（ ）
A．嫦娥六号探测器在椭圆轨道上运行的周期比在圆轨道上运行的周期短
B．嫦娥六号探测器在椭圆轨道上从B点运动到A点的过程中动能增大
C．嫦娥六号探测器要想从圆轨道进入椭圆轨道必须在A点加速
D．嫦娥六号探测器被月球捕获的过程中，月球对它的作用力大于它对月球的作用力
【答案】A
【详解】A．令图中圆轨道半径为R1，椭圆轨道的半长轴为R2，根据开普勒第三定律有R13T12=R23T22
由于R1>R2，可知T1>T2，即在椭圆轨道上运行的周期比在圆轨道上运行的周期短，选项A正确；
B．嫦娥六号探测器在椭圆轨道上经过B点时的速度是近月点速率，大于远月点速率即经A点时的速度，故从B点运动到A点的过程中动能减小，选项B错误；
C．图中圆轨道相对于椭圆轨道为高轨道，可知要想从圆轨道进入椭圆轨道必须在A点减速，选项C错误；
D．嫦娥六号探测器被月球捕获的过程中，月球对它的作用力与它对月球的作用力是一对相互作用力，大小始终相等，方向相反，选项D错误。
故选A。
我国现有多款手机支持天通卫星通讯。“天通”卫星发射过程如图：先用火箭将卫星送上椭圆轨道1，P、Q是远地点和近地点，随后变轨，至圆轨道2，再变轨至同步轨道3。轨道1、2相切于P点，轨道2、3相交于M、N两点。忽略卫星质量变化，下列说法正确的是（ ）
A．卫星在轨道2和轨道3上的机械能E2=E3
B．卫星在轨道1和轨道2上的周期T1>T2
C．由轨道1变至轨道2，卫星在P点向前喷气
D．卫星在轨道1上P点的线速度大于在轨道3上的线速度
【答案】A
【详解】A．因为轨道2、3都是圆心相同的圆轨道，且能够相交于M、N点，所以圆轨道2、3半径相同势能相同，根据GMmr2=mv2r
卫星在轨道2、3的速度相同动能相同，故机械能相同E2=E3，故A正确；
B．卫星在轨道2、3的半径相同且都大于轨道1的半长轴，根据开普勒第三定律可知T3＝T2＞T1，故B错误；
C．由轨道1变至轨道2，由近心运动变至圆周运动，故需增加速度，卫星在P点向后喷气获得向前的反推力实现加速，故C错误。
D．卫星在轨道1上P点加速变轨到轨道2，线速度小于在轨道2上P点的线速度，故小于轨道3上的线速度，故D错误。
故选 D。
题型六 双星问题
绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示，双星系统模型有以下特点：
(1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即eq \f(Gm1m2,L2)＝m1ωeq \\al(2,1)r1，eq \f(Gm1m2,L2)＝m2ωeq \\al(2,2)r2
(2)两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2
(3)两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L
(4)两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即eq \f(m1,m2)＝eq \f(r2,r1)
(5)双星的运动周期T＝2π eq \r(\f(L3,Gm1＋m2))
(6)双星的总质量公式m1＋m2＝eq \f(4π2L3,T2G)
(7)常见的多星模型及其规律：
依托我国自主研制的国家重大科技基础设施郭守敬望远镜，我国科学家发现了一颗迄今为止质量最大的恒星级黑洞LB-1。这个黑洞与一颗恒星形成了一个双星系统，黑洞和恒星都绕二者连线上的一点做匀速圆周运动，恒星的质量约为8M0，恒星距黑洞的距离约为r，运动的周期为T，万有引力常量为G。由此计算该黑洞的质量为（ ）
A．4π2r3GT2B．4π2r3GT2−8M0C．4π2r3GT2+8M0D．4π2r2GT2−8M0
【答案】B
【详解】在双星系统中，黑洞和恒星绕共同质心做匀速圆周运动，二者间的万有引力提供向心力。设黑洞质量为M，恒星质量为8M0，轨道半径分别为r1和r2，有r1+r2=r
根据角速度相同和向心力相等，有GM⋅8M0r2=M4π2r1T2，GM⋅8M0r2=8M04π2r2T2
化简得GMr2=4π2Mr8M0+MT2
整理得M=4π2r3GT2−8M0
故选B。
地球和月球可视作一个双星系统，它们同时绕转他们连线上的A点转动。同时在这个转动的平面内存在五个拉格朗日点，在这些点上的卫星能够在地球和月球的共同引力作用下也绕A点转动，并且在转动过程中与地球和月球的相对位置保持不变。如图所示，在拉格朗日点L4处存在一个监测卫星，与地球球心、月球球心的连线恰构成一个等边三角形，其主要作用是监测其他月球卫星的工作情况，已知监测卫星到A点的距离大于月球到A点的距离，地球的质量为月球的81倍，则稳定运行时（ ）
A．监测卫星周期小于月球周期
B．监测卫星速度小于月球速度
C．监测卫星加速度大于月球加速度
D．地球与月球运动半径之比为1:81
【答案】CD
【详解】A．地球、月球以及在任一拉格朗日点上的卫星都具有相同的运行周期，监测卫星的运行周期等于监测卫星的运行周期，故A错误；
B．根据v=2πrT可知，监测卫星速度大于月球速度，故B错误；
C．根据a=4π2T2r可知，监测卫星加速度大于月球加速度，故C正确；
D．设地球质量为M，地球球心到A点的距离为r1。月球质量为月球到月球球心到A点的距离为r2。地球和月球可视作一个双星系统，双星系统实际绕其质心转动，根据相互间万有引力提供向心力得GMmL2=Mω2r1=mω2r2
可得r1r2=181
即地球与月球运动半径之比为1:81，故D正确。
故选CD。
天体观测法是发现潜在黑洞的一种重要方法，我国研究人员通过对双星系统G3425中的红巨星进行天体观测，发现了一个恒星质量级别的低质量黑洞。假设一个双星系统中的两颗恒星a、b绕O点做圆周运动，在双星系统外、与双星系统在同一平面上一点A观测双星的运动，得到a、b的中心到O、A连线的距离x与观测时间的关系图像如图所示，引力常量为G，求：
(1)a、b的线速度之比；
(2)a、b的质量分别为多大？
【答案】(1)4:3
(2)147π2x03Gt02，196π2x02Gt02
【详解】（1）由图像可知， 图示中a、b的中心和O点间距离从零到最远所用时间为四分之一个周期， 可知该双星系统的周期为2t0， a与轨迹中心间的距离为4x0， b与轨迹中心间的距离为3x0，可得ra:rb=4:3
由线速度v=ωr
可知a、b的线速度之比为va:vb=4:3
（2）由题意可知maω2ra=mbω2rb
联立解得ma:mb=3:4
对b由万有引力提供向心力可知mb4π2T2rb=GmambL2
解得ma=147π2x03Gt02，mb=196π2x02Gt02
题型七 天体追及相遇问题
若某时刻两卫星正好同时同向通过地面同一点正上方，经过一定的时间，两星又会相距最近和相距最远。
（1）两星相距最远的条件：ωaΔt－ωbΔt＝(2n＋1)π(n＝0,1,2，…)
（2）两星相距最近的条件：ωaΔt－ωbΔt＝2nπ(n＝1,2,3…)
（3）若反方向转动的天体相距最近的条件：ωaΔt+ωbΔt＝2nπ(n＝1,2,3…)
（4）轨道平面不重合时，两天体只有在同一时刻位于中心天体同一侧的同一直线上时发生相遇。
中国载人登月初步方案已公布，计划 2030年前实现载人登月科学探索。假如在登月之前需要先发射两颗探月卫星进行科学探测，a、b两卫星在同一平面内绕月球的运动可视为匀速圆周运动，且绕行方向相反，如图所示，测得两卫星之间的距离∆r最小为3r、最大为5r，∆r的变化周期为T，不考虑两卫星之间的作用力。下列说法正确的是（ ）
A．a、b两卫星的线速度大小之比 va：vb=5：3
B．a、b两卫星的加速度大小之比 aa：ab=4：1
C．a卫星的运行周期为98T
D．b卫星的运行周期为7T
【答案】C
【详解】A．设a、b两卫星的轨道半径分别为ra、rb，根据题意及题图可知ra+rb=5r，rb-ra=3r
联立解得ra=r，rb=4r
根据GMmr2=mv2r可得v=GMr
可得vavb=rbra=21，A错误；
B．根据GMmr2=ma可得a=GMr2
可得aaab=(rbra)2=161，B错误；
CD．a、b两卫星两次相距最近的时间为T，可知TTa+TTb=1
因TaTb=(rarb)3=18
解得Ta=98T，Tb=9T，C正确，D错误。
故选C。
如图所示，a为极地卫星（周期2h