初中数学华东师大版（2024）八年级上册（2024）12.2 三角形全等的判定备课课件ppt

这是一份初中数学华东师大版（2024）八年级上册（2024）12.2 三角形全等的判定备课课件ppt，共61页。PPT课件主要包含了对应点，对应边，对应角，第十二章全等三角形，22边角边，边角边，边边角，三角形全等判定方法1，24边边边等内容，欢迎下载使用。
1、通过创设情境使学生了解全等形的存在意义，通过类比使学 生了解全等三角形的概念并掌握表示方法. 2、通过使学生经历在平移、旋转、翻折的图形变换中识别全等 三角形的对应点、对应边和对应角的过程，探索并发现全等三 角形对应元素的确定方法；通过练习使学生熟悉全等三角形的 基本图形，理解并应用全等三角形的性质. 3、通过观察、猜想、实践等数学活动，培养学生的动态思维能 力和创新能力，在相互启发中体验合作.
∠A-∠D ∠B-∠E ∠C-∠F
1、什么是全等三角形？
能够完全重合的两个三角形是全等三角形.
2、 全等三角形的元素有哪些?
AB-DE BC-EF CA-FD
如图，以直线L为对称轴，画出三角形ABC的对称图形，并指出它们的对应顶点、对应边、对应角.
若∠A=800，∠B=700
一个三角形经过平移、旋转、翻折后所得到的三角形与原三角形全等.
1.怎么判定两个三角形全等呢？
根据全等三角形的定义可知：能够完全重合的两个三角形全等，即两个三角形的三对边、三对角分别对应相等，则两个三角形全等.
2.能否减少条件，找到更简便的判定三角形全等的方法呢？
即对两个三角形来说，六个元素（三条边、三对角）中至少要有几个元素对应相等，这两个三角形才会全等呢？
1.只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等）.
可以发现按这些条件画的三角形都不能保证一定全等.
由以上探索发现，我们知道两个三角形只有一组或两组对应相等的元素(边或角)，那么这两个三角形不一定全等.
例1 如图，△ABC ≌△CED， ∠B和∠ DEC是对应角，BC与ED是对应边，说出另两组对应角和对应边.
解： 对应角： ∠ A= ∠ DCE, ∠ ACB=∠ D ; 对应边： AC=CD,AB=CE.
例2 如图，已知点A，D，B，F在同一条直线△ABC≌△FDE，AB=8 cm，BD=6 cm.求FB的长．
解：∵△ABC≌△FDE，∴AB=FD=8 cm.∵BD=6 cm，∴FB=FD-BD=8－6=2(cm)．∴FB的长为2cm.
12.2全等三角形的判定
1.探索并掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；2.能利用基本事实“边角边”判定两个三角形全等或进行相关计算， 解决一些实际问题，提高推理论证及运算能力.3.经历如何总结出全等三角形识别方法，体会如何探讨、实践、总结， 培养学生的合作能力.
在上节课的学习中，我们知道了仅有一组或两组对应元素相等无法判定两个三角形全等.还记得上节课的课后思考题吗：如果有三组元素对应相等，能判定两个三角形全等吗？三组元素对应相等有几种可能？
选取三组对应元素相等，可能出现的情况：
两边一角对应相等；两角一边对应相等；三条边对应相等；三个角对应相等.
我们将会对四种情况分别进行讨论.今天我们就先讨论两个三角形有两条边和一个角分别对应相等，那么这两个三角形一定全等吗？又有几种情况呢？
如图，已知两条线段和一个角，试画一个三角形，使这两条线段为其两边，这个角为这两边的夹角.
1.画一条线段AB，使它等于4 cm；2.画∠ MAN=45°；3.在射线AN上截取AC =3 cm；4.连接BC.△ABC即为所求.
发现：剪下所得的△ABC，与周围同学所剪的比较它们是全等的.
(2)换两条线段和一个角试试，你发现了什么？
解:对于已知的两条线段和一个角，若该角为夹角， 则所画的三角形都是全等的.
基本事实:两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等.（简记为SAS).
在△ABC 和△ A′B′C′中，
∴　△ABC ≌△ A′B′ C′（）．
文字语言：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 （简写成“边角边”或“SAS”）．
【例1】 如图，已知线段AC，BD相交于点E，AE=DE，BE=CE， 求证：△ABE≌△DCE.
【例2】 如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到点D，使CD＝CA，连接BC并延长到点E，使CE＝CB．连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离，为什么?
证明：在△ABC 和△DEC 中，
∴△ABC ≌△DEC（SAS）.∴AB =DE （全等三角形的对应边相等）.
【归纳】证明线段相等或者角相等时，常常通过证明三角形全等来解决.
如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形.
把你画的三角形与其他同学画的三角形进行对比，所画的三角形都全等吗？此时，符合条件的三角形有多少种？
两边及其一边所对的角相等，两个三角形不一定全等.
1.通过画图、操作、实验、发现等教学活动,探索出三角形全等 的判定方法（ASA，AAS.）让学生体会知识来源于实践 ， 用于实践的观念.2.使学生理解ASA与AAS的内容,能运用ASA和AAS的 判定方法判定两个三角形全等.3.灵活地运用所学的判定方法判定两个三角形全等，从而解决 线段或角相等的问题.
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.简写成“边角边”或“SAS”
在△ABC与△DEF中
AB=DE∠B=∠EBC=EF
∴△ABC≌△DEF（SAS.）
上节课，我们得到了全等三角形的一种判定方法：
现在我们讨论两角一边的情况：如果两个三角形有两个角、一条边分别对应相等，那么这两个三角形全等吗？
可以分成两种情况：（1）两个角及这两角的夹边； （2）两个角及其中一角的对边.
如图，已知两个角和一条线段，以这两个角为内角，以这条线段为两个角的夹边，画一个三角形.
把你画的三角形与其他同学画的进行比较，所有的三角形都全等吗？
下面我们用叠合的方法，看看你和你同伴所画的两个三角形是否可以完全重合.
1.基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.(简 记为“角边角”或“ASA”）.
例3 已知：∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝ ∠DBC.求证：△ABC≌△DCB,AB=DC．
如图，如果两个三角形有两个角分别对应相等，且其中一组相等的角的对边相等，那么这两个三角形是否一定全等？
分析：因为三角形的内角和等于180°，因此有两个角对应相等，那么第三个角必定对应相等，于是有“角边角”，可证得这两个三角形全等.
已知：如图，∠A＝∠A′,∠B＝∠B′,AC＝A′C′.
求证：　△ABC≌△A′B′C′.
证明：∵∠A＝∠A′，∠B＝∠B′， ∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A′＋∠B′＋∠C′＝180°(三角形内角和等于180°)， ∴∠C＝∠C′（等量代换）． 在△ABC和△A′B′C′中， ∵∠A＝∠A′， AC＝A′C′， ∠C＝∠C′， ∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）
1.基本事实:有两角分别相等且其中一组等角的对边相等的 两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”）.
1、熟练掌握角边角（ASA）角角边（AAS）定理.2、灵活利用判定定理探索全等三角形其他对应元素相等.
1.“角边角”判定方法
基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(简写 成“角边角”或“ASA”）.
2.“角角边”判定方法
定理:有两角分别相等且其中一组等角的对边相等的 两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”）.
例4 如图，在△ABC中，D是边BC的中点,过点C 画直线CE, 使CE//AB, 交AD的延长线于点 E. 求证:AD=ED.
证明：∵ CE//AB(已知）， ∴ ∠ ABD = ∠ECD，∠BAD= ∠ CED(两直线平行，内错角相等).在△ ABD与△ ECD中，∵∴ △ ABD≌△ ECD (AAS)，∴ AD= ED (全等三角形的对应边相等）.
∠ ABD = ∠ECD， ∠BAD= ∠ CED(已证)，BD = CD(已知），
例5 求证：全等三角形对应边上的高相等.
已知：如图，△ABC ≌△A′B′C′ ，AD，A′ D′ 分别是△ABC 和△A′B′C′的高.求证：AD＝ A′D′ .
分析:从图中可以看出,AD、A'D'分别属于△ABD与△A'B'D',要证AD = A'D',只需证明这两个三角形全等即可.
证明： ∵ △ABC≌△A′B′C′ (已知）， ∴ AB=A′B′（全等三角形的对应边相等）. ∵∠ B= ∠B′ （全等三角形的对应角相等）. 在△ABD和△A′B′D′中，∵∴ △ABD≌△A′B′D′（AAS）.∴AD = A′D′ (全等三角形的对应边相等).
∠ADB=∠A′D′B′ = 90 °（已知），∠B=∠B′ （已证），AB=A′B′（已证），
已知：如图，△ABC≌△A′B′C′， AD、A′D′是∠BAC和∠B′A′C′的平分线，求证：AD=A′D′，
证明：∵△ABC≌△A′B′C′，∴∠B=∠B′，AB=A′B′，∠BAC=∠B′A′C′.∵ AD、A′D′是∠BAC和∠B′A′C′的平分线，∴∠BAD=∠B′A′D′.在△ABD和△A′B′D′中，∠B=∠B′，AB=A′B′，∠BAD=∠B′A′D′.△ABD≌△A′B′D′（ASA）.∴AD=A′D′.
已知：如图，△ABC≌△A′B′C′，AD、A′D′是△ABC和△A′B′C′的中线，求证：AD=A′D′
证明：∵△ABC≌△A′B′C′，∴∠B=∠B′，AB=A′B′，BC=B′C′.∵ AD、A′D′是△ABC和△A′B′C′的中线，∴BD=B′D′.在△ABD和△A′B′D′中，BD=B′D′,∠B=∠B′，AB=A′B′，△ABD≌△A′B′D′（SAS）.∴AD=A′D′.
全等三角形对应边上的高，对应角的平分线,对应边上的中线都对应相等.
1.理解并应用三角形全等的“SSS”判定，解决一些简单的实际问题.2.会运用“边边边”条件证明两个三角形全等。进一步培养学生 观察图形、分析问题和逻辑推理的能力，规范书写证明过程。3.由探索三角形全等条件的过程，体会由“操作归纳，提出猜想， 理性证明”数学的过程在研究数学问题中的重要作用。
前面我们已经学习了几种可以判断两个三角形全等的方法?
有：SAS、ASA、AAS；
若两个三角形有三个角对应相等，那么这两个三角形是否全等？
画△ABC，其中∠A=50°,∠B=60°, ∠C=70°.
如图，很容易发现三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图，已知三条线段a，b，c，试画一个三角形，使这三条线段分别为其三边.
1.画一线段AB使它的长度等于c(4.5 cm).
2.以点A为圆心,以线段b(3cm)的长为半径画弧;以点B为圆心,以线段a(4cm)的长为半径画弧;两弧交于点C.
3.连接AC、BC，△ABC即为所求.
1.基本事实：三边分别相等的两个三角形全等．简记为“边边边”或“SSS” ．
例6 如图，四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB，求证：∠B=∠D.
证明:在△ABC 和△CDA中,∵ AB=CD(已知)，BC=DA(已知)，AC=CA(公共边),∴△ABC≌△CDA(SSS).∴∠B=∠D(全等三角形的对应角相等).
如图所示，我们曾利用尺规作图作出一个角∠A'O'B'等于已知角∠AOB，现在你能证明这两个角确实相等吗？.
证明：连接CD、C'D' ，由作法可知∵OC=O'C'，OD=O'D'，CD=C'D'∴△COD≌△C'O'D'(SSS).∴∠C'O'D'=∠COD(全等三角形的对应角相等).即∠A'O'B'=∠AOB.
例7 按如图所示的尺规作图的作法，证明∠A′O′B′= ∠AOB.
思考 如图所示，我们还曾利用尺规作图作出已知角∠AOB的平分线，现在你能证明射线OP确实是∠AOB的平分线吗？
由作法，可知OM=ON，MP=NP.再借助线段OP，就可以证明△OMP和△ONP全等，从而∠MOP=∠NOP,射线OP即是∠AOB的平分线.
关于全等三角形判定的探索得到的结论归纳成下表
12.2 全等三角形的判定
12.2.5 斜边直角边
1. 探索并掌握两个直角三角形全等的条件：HL，并能应用 它判别两个直角三角形是否全等；2. 经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归 纳、表达、逻辑推理等能力；并通过对知识方法的总结， 培养反思的习惯，培养理性思维；3. 经历如何总结出全等三角形识别方法，体会如何探讨、实 践、总结，培养学生的合作能力.
有：SAS，ASA，AAS，SSS.
我们已经知道，对于两个三角形，如果有“边边角”分别对应相等，那么不能保证这两个三角形全等. 在两个直角三角形中，当斜边和一条直角边分别对应相等时，也具有“边边角”对应相等的条件，这时这两个直角三角形是否全等呢？
下面，让我们一起去验证这个结论.
1.画一条线段AB，使它等于2cm；
2.画∠MAB=90°（用量角器或三角尺）；
3.以点B为圆心、3cm长为半径画圆弧，交射线AM于点C；
如图，已知两条线段，试画一个直角三角形，使长的线段为其斜边、短的线段为其一条直角边.
把你画的直角三角形与其他同学画的直角三角形相比较，它们全等吗？换两条线段，试试看，是否有同样的结论？
由以上操作，可以发现它们完全重合，所画的直角三角形都全等.
定理:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.简写成“斜边直角边”或“HL”.
”斜边直角边”判定方法
∴在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′ 中，
∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL).
∵∠C=∠C′=90°,